Giải bài tập SBT Toán 12 Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) \(f\left( x \right)=\sqrt{25-{{x}^{2}}}\) trên đoạn \([-4;4]\);

b) \(f\left( x \right)=|{{x}^{2}}-3x+2|\) trên đoạn \([-10;10]\);

c) \(f\left( x \right)=\dfrac{1}{\sin x}\) trên đoạn \(\left[ \dfrac{\pi }{3};\dfrac{5\pi }{6} \right]\);

d) \(f\left( x \right)=2\sin x+\sin 2x\) trên đoạn \( \left[ 0;\dfrac{3\pi }{2} \right]\).

Phương pháp giải

Cách tìm GTLN, GTNN trên một đoạn.
Bước 1: Tìm \({{x}_{i}}\in \left[ a;b \right]\,\,\,\left( i=1;2;...;n \right)\) tại đó có đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
Bước 2: Tính \(f\left( a \right),f\left( b \right),f\left( {{x}_{i}} \right),\,\,\left( i=1;2;...;n \right)\) 
Bước 3: Tìm \(\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{max}}\,f\left( x \right)=max\left\{ f\left( a \right),f\left( {{x}_{1}} \right),f\left( {{x}_{2}} \right),...,f\left( {{x}_{n}} \right),f\left( b \right) \right\}\)
                      \(\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{min }}\,f\left( x \right)=\min \left\{ f\left( a \right),f\left( {{x}_{1}} \right),f\left( {{x}_{2}} \right),...,f\left( {{x}_{n}} \right),f\left( b \right) \right\}\)

Hướng dẫn giải

a) \(f\left( x \right)=\sqrt{25-{{x}^{2}}}\) trên đoạn \([-4;4]\)
\(f'\left( x \right)=\dfrac{-x}{\sqrt{25-{{x}^{2}}}}\) 
\(f′(x) > 0\) trên khoảng \((-4; 0)\) và \(f’(x) < 0\) trên khoảng \((0; 4)\).

Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\) và \(f_{CĐ} = 5\)

Mặt khác, ta có \(f(-4) = f(4) = 3\)
Vậy \(\underset{\left[ -4;4 \right]}{\mathop{max}}\,f\left( x \right)=5;\,\,\,\underset{\left[ -4;4 \right]}{\mathop{min }}\,f\left( x \right)=3\,\,\,\)
b) \(f\left( x \right)=|{{x}^{2}}-3x+2|\) trên đoạn \([-10;10]\)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(g\left( x \right)={{x}^{2}}-3x+2\)
Ta có: \(g'\left( x \right)=2x-3;\,\,g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2} \)

Vì \(f\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & g\left( x \right)\,\,\,khi\,\,{{x}^{2}}-3x+2\ge 0, \\ & -g\left( x \right)\,\,khi\,{{x}^{2}}-3x+2<0 \\ \end{align} \right.\)
nên ta có đồ thị của \(f(x)\) như sau:

Từ đồ thị suy ra
\(\underset{\left[ -10;10 \right]}{\mathop{max}}\,f\left( x \right)=f\left( -10 \right)=132;\,\,\,\underset{\left[ -10;10 \right]}{\mathop{min }}\,f\left( x \right)=f\left( 1 \right)=f\left( 2 \right)=0\,\,\,\)
c) \(f\left( x \right)=\dfrac{1}{\sin x}\)  trên đoạn \(\left[ \dfrac{\pi }{3};\dfrac{5\pi }{6} \right]\) 
\(f'\left( x \right)=-\dfrac{\cos x}{{{\sin }^{2}}x}; \)
\(f'\left( x \right)<0\) trên \(\left[ \dfrac{\pi }{3};\dfrac{\pi }{2} \right)\)  và \(f'\left( x \right)>0\) trên \(\left( \dfrac{\pi }{2};\dfrac{5\pi }{6} \right]\) nên hàm số đạt cực tiểu tại \(x=\dfrac{\pi }{2}\) và \({{f}_{CT}}=f\left( \dfrac{\pi }{2} \right)=1 \)
Mặt khác, \( f\left( \dfrac{\pi }{3} \right)=\dfrac{2}{\sqrt{3}};\,\,f\left( \dfrac{5\pi }{6} \right)=2 \)
Vậy

 \(\underset{\left[ \dfrac{\pi }{3};\dfrac{5\pi }{6} \right]}{\mathop{max}}\,f\left( x \right)=2;\,\,\,\underset{\left[ \dfrac{\pi }{3};\dfrac{5\pi }{6} \right]}{\mathop{min }}\,f\left( x \right)=1\,\)
d) \(f\left( x \right)=2\sin x+\sin 2x\) trên đoạn \( \left[ 0;\dfrac{3\pi }{2} \right]\) . 
\(\begin{aligned} & f'\left( x \right)=2\cos x+2\cos 2x=4\cos \dfrac{x}{2}\cos \dfrac{3x}{2}; \\ & f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & \cos \dfrac{x}{2}=0 \\ & cos\dfrac{3x}{2}=0\, \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \begin{aligned} & x=\pi \\ & x=\dfrac{\pi }{3} \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \)
Ta có \(f\left( 0 \right)=0,\,\,f\left( \dfrac{\pi }{3} \right)=\dfrac{3\sqrt{3}}{2},\,\,f\left( \pi \right)=0,\,\,f\left( \dfrac{3\pi }{2} \right)=-2 \)
Từ đó ta có:

 \(\underset{\left[ 0;\dfrac{3\pi }{2} \right]}{\mathop{max}}\,f\left( x \right)=\dfrac{3\sqrt{3}}{2};\,\,\,\underset{\left[ 0;\dfrac{3\pi }{2} \right]}{\mathop{min }}\,f\left( x \right)=-2\,\)

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) \(y=\dfrac{x}{4+x^2}\) trên khoảng \((-\infty;+\infty)\);

b) \(y=\dfrac{1}{\cos x}\) trên khoảng \(\left( \dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2} \right)\);

Phương pháp giải

Cách tìm GTLN, GTNN trên một đoạn.
Bước 1: Tìm \({{x}_{i}}\in \left[ a;b \right]\,\,\,\left( i=1;2;...;n \right)\) tại đó có đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
Bước 2: Tính \(f\left( a \right),f\left( b \right),f\left( {{x}_{i}} \right),\,\,\left( i=1;2;...;n \right)\) 
Bước 3: Tìm \(\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{max}}\,f\left( x \right)=max\left\{ f\left( a \right),f\left( {{x}_{1}} \right),f\left( {{x}_{2}} \right),...,f\left( {{x}_{n}} \right),f\left( b \right) \right\}\)
                      \(\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{min }}\,f\left( x \right)=\min \left\{ f\left( a \right),f\left( {{x}_{1}} \right),f\left( {{x}_{2}} \right),...,f\left( {{x}_{n}} \right),f\left( b \right) \right\}\)

Hướng dẫn giải

a) \(y=\dfrac{x}{4+{{x}^{2}}}\) trên \(\left( -\infty ;+\infty \right) \)
\(y'=\dfrac{4-{{x}^{2}}}{{{\left( 4+{{x}^{2}} \right)}^{2}}};y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-2 \\ & y=2 \\ \end{align} \right.\) 
Bảng biến thiên:

Từ đó ta có \(\underset{\mathbb{R}}{\mathop{max }}\,y=\dfrac{1}{4};\,\,\underset{\mathbb{R}}{\mathop{min }}\,y=-\dfrac{1}{4} .\)
b) \(y=\dfrac{1}{\cos x}\)  trên khoảng \(\left( \dfrac{\pi }{2};\dfrac{3\pi }{2} \right) \).
\(y'=\dfrac{\operatorname{sinx}}{{{\cos }^{2}}x\,};\,\,y'=0\Leftrightarrow x=\pi \)
Bảng biến thiên:

Hàm số không có giá trị nhỏ nhất. Giá trị lớn nhất của hàm số là

 \(\underset{\left( \dfrac{\pi }{2};\dfrac{3\pi }{2} \right)}{\mathop{max}}\,y=y\left( \pi \right)=-1\). .

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x)=x+\dfrac{9}{x}\) trên đoạn [2;4].

Phương pháp giải

Cách tìm GTLN, GTNN trên một đoạn.
Bước 1: Tìm \({{x}_{i}}\in \left[ a;b \right]\,\,\,\left( i=1;2;...;n \right)\) tại đó có đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
Bước 2: Tính \(f\left( a \right),f\left( b \right),f\left( {{x}_{i}} \right),\,\,\left( i=1;2;...;n \right)\) 
Bước 3: Tìm \(\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{max}}\,f\left( x \right)=max\left\{ f\left( a \right),f\left( {{x}_{1}} \right),f\left( {{x}_{2}} \right),...,f\left( {{x}_{n}} \right),f\left( b \right) \right\}\)
                      \(\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{min }}\,f\left( x \right)=\min \left\{ f\left( a \right),f\left( {{x}_{1}} \right),f\left( {{x}_{2}} \right),...,f\left( {{x}_{n}} \right),f\left( b \right) \right\}\)

Hướng dẫn giải

TXĐ: \(D=\mathbb{R}\backslash \text{ }\!\!\{\!\!\text{ }0\} \).
\(\begin{align} & f'\left( x \right)=1-\dfrac{9}{{{x}^{2}}}=\dfrac{{{x}^{2}}-9}{{{x}^{2}}} \\ & f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=\pm 3 \\ \end{align} \)
Hàm số nghịch biến trên các khoảng \((-3;0), (0;3)\) và đồng biến trên các khoảng \(\left( -\infty ;-3 \right),\,\left( 3;+\infty \right)\).
Bảng biến thiên:

Ta có \(\left[ 2;4 \right]\,\subset \left( 0;+\infty \right)\,;\,\,f\left( 2 \right)=6,5;\,\,f\left( 3 \right)=6;\,\,f\left( 4 \right)=6,25 \)
Suy ra

\(\underset{\left[ 2;4 \right]}{\mathop{max}}\,f\left( x \right)=6,5\,;\,\,\underset{\left[ 2;4 \right]}{\mathop{min }}\,f\left( x \right)=f\left( 3 \right)=6\).

Tìm các giá trị của tham số m để phương trình \(x^3-3x^2-m=0\) có ba nghiệm phân biệt.

Phương pháp giải

- Đặt \(f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}},\,y=m\).

- Biến đổi phương trình về dạng \(m = {x^3} - 3{x^2}\)

- Xét hàm \(f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2}\), lập bảng biến thiên và suy ra điều kiện m cần tìm.

Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đường thẳng với đồ thị hàm số.

Hướng dẫn giải

Đặt \(f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}},\,\,\,\,\,\,\left( {{C}_{1}} \right) \)
\(y=m \,\,\,\,\, (C_2)\)
Phương trình \({{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-m=0\) có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \((C_1)\) và \((C_2)\) có ba giao điểm.
Ta có \(f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6x=3x\left( x-2 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=2 \\ \end{align} \right. \)
Bảng biến thiên

Suy ra \((C_1), (C_2)\) cắt nhau tại 3 điểm khi \(-4 < m < 0.\)
Kết luận: Phương trình \({{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-m=0\)  có ba nghiệm phân biệt với những giá trị m thỏa mãn điều kiện \(-4 < m < 0.\)

Cho số dương m. Hãy phân tích m thành tổng của hai số dương sao cho tích của chúng là lớn nhất.

Phương pháp giải

- Gọi số thứ nhất là x suy ra số thứ 2 theo m và x.

- Lập hàm số tình tích hai số.

- Tìm GTLN của hàm số trên và kết luận.

Hướng dẫn giải

Cho \(m > 0\). Đặt x là số thứ nhất, \(0 < x < m\), số thứ hai là \(m-x\)
Xét tích \(P\left( x \right)=x\left( m-x \right)\) 
Ta có \(P'\left( x \right)=-2x+m=0\Leftrightarrow x=\dfrac{m}{2} \)
Bảng biến thiên

Từ đó ta có giá trị lớn nhất của tích hai số là
\(\underset{(o,m)}{\mathop{max}}\,P\left( x \right)=P\left( \dfrac{m}{2} \right)=\dfrac{{{m}^{2}}}{4}.\)

Một chất điểm chuyển động theo quy luật \(s=6t^2-t^3\). Tính thời điểm t (giây) tại đó vận tốc \(v (m/s)\) của chuyển động đạt giá trị lớn nhất.

Phương pháp giải

- Tìm hàm số vận tốc \(v\left( t \right) = s'\left( t \right)\)

- Tìm GTLN của hàm số \(v\left( t \right)\) đạt được tại t và kết luận.

Hướng dẫn giải

\(s=6{{t}^{2}}-{{t}^{3}}\,,\,t>0 \)
Vận tốc chuyển động là \(v=s'\) , tức là \(v=12t-3{{t}^{2}}\) 
Ta có \(v'=12-6t=0\Leftrightarrow t=2 \)
Hàm số \(v\) đồng biến trên khoảng \((0;2)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( 2;+\infty \right) \)
Vận tốc đạt giá trị lớn nhất khi \(t=2\). Khi đó \(\underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\max \,}}\,V={{V}_{\text{CĐ}}}=v\left( 2 \right)=12\,\,\left( m/s \right) \).

Hãy tìm tam giác vuông có diện tích lớn nhất nếu tổng của một cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng hằng số a (a > 0).

Phương pháp giải

- Lập hàm số tính diện tích tam giác theo biến là một cạnh góc vuông.

- Xét hàm tìm GTLN và kết luận.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC vuông tại A.

Kí hiệu cạnh góc vuông AB là \(x,\,\,0 < x< \dfrac{a}{2} \)
Khi đó, cạnh huyển \(BC=a-x\), cạnh góc vuông kia là
\(\begin{align} & AC=\sqrt{B{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}}=\sqrt{{{\left( a-x \right)}^{2}}-{{x}^{2}}} \\ & hay\,\,AC=\sqrt{{{a}^{2}}-2ax} \\ \end{align} \)
Diện tích tam giác ABC là
\(\begin{align} & S\left( x \right)=\dfrac{1}{2}x\sqrt{{{a}^{2}}-2ax} \\ & S'\left( x \right)=\dfrac{1}{2}\sqrt{{{a}^{2}}-2ax}-\dfrac{1}{2}\dfrac{ax}{\sqrt{{{a}^{2}}-2ax}}=\dfrac{a\left( a-3x \right)}{2\sqrt{{{a}^{2}}-2ax}} \\ & S'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=\dfrac{a}{3} \\ \end{align} \)
Bảng biến thiên

Tam giác có diện tích lớn nhất khi \(AB=\dfrac{a}{3},\,\,BC=\dfrac{2a}{3}\) . 

Giá trị lớn nhất của hàm số \(y=-x^2+4x-5\) trên đoạn [0;3] bằng:

Phương pháp giải

Cách tìm GTLN, GTNN trên một đoạn.
Bước 1: Tìm \({{x}_{i}}\in \left[ a;b \right]\,\,\,\left( i=1;2;...;n \right)\) tại đó có đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
Bước 2: Tính \(f\left( a \right),f\left( b \right),f\left( {{x}_{i}} \right),\,\,\left( i=1;2;...;n \right)\) 
Bước 3: Tìm \(\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{max}}\,f\left( x \right)=max\left\{ f\left( a \right),f\left( {{x}_{1}} \right),f\left( {{x}_{2}} \right),...,f\left( {{x}_{n}} \right),f\left( b \right) \right\}\)
                      \(\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{min }}\,f\left( x \right)=\min \left\{ f\left( a \right),f\left( {{x}_{1}} \right),f\left( {{x}_{2}} \right),...,f\left( {{x}_{n}} \right),f\left( b \right) \right\}\)

Hướng dẫn giải

Ta có \(y\left( 0 \right)=-5,\,\,y\left( 3 \right)=-2\), tọa độ đỉnh: \(x=-\dfrac{b}{2a}=2 \)
\(\Rightarrow y\left( 2 \right)=-4+8-5=-1;\,\,\underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{max}}\,=max\left( -5;-2;-1 \right)=-1\) 
Cách khác: Vì \(a=-1\) nên parabol \(y=-{{x}^{2}}+4x-5\) đạt cực đại tại đỉnh \((2;-1)\).

Vì vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [0;3] là \(y(2)=-1\).

Chọn A

Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x)=x^3+3x^2-9x-7\) trên đoạn [-4;3] bằng: 

Phương pháp giải

Cách tìm GTLN, GTNN trên một đoạn.
Bước 1: Tìm \({{x}_{i}}\in \left[ a;b \right]\,\,\,\left( i=1;2;...;n \right)\) tại đó có đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
Bước 2: Tính \(f\left( a \right),f\left( b \right),f\left( {{x}_{i}} \right),\,\,\left( i=1;2;...;n \right)\) 
Bước 3: Tìm \(\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{max}}\,f\left( x \right)=max\left\{ f\left( a \right),f\left( {{x}_{1}} \right),f\left( {{x}_{2}} \right),...,f\left( {{x}_{n}} \right),f\left( b \right) \right\}\)
                      \(\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{min }}\,f\left( x \right)=\min \left\{ f\left( a \right),f\left( {{x}_{1}} \right),f\left( {{x}_{2}} \right),...,f\left( {{x}_{n}} \right),f\left( b \right) \right\}\)

Hướng dẫn giải

Ta có  \(f\left( x \right)={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-9x-7\Rightarrow f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+6x-9=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=1 \\ & x=-3 \\ \end{align} \right.\)

\(f\left( -4 \right)=13,\,\,f\left( -3 \right)=20,\,\,f\left( 1 \right)=-12,\,\,f\left( 3 \right)=20\)

Vậy \(\underset{\left[ -4;3 \right]}{\mathop{min }}\,f\left( x \right)=-12\)

Chọn D

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x)=\dfrac{2x-1}{x-3}\) trên đoạnm [0;2] bằng:

Phương pháp giải

Cách tìm GTLN, GTNN trên một đoạn.
Bước 1: Tìm \({{x}_{i}}\in \left[ a;b \right]\,\,\,\left( i=1;2;...;n \right)\) tại đó có đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
Bước 2: Tính \(f\left( a \right),f\left( b \right),f\left( {{x}_{i}} \right),\,\,\left( i=1;2;...;n \right)\) 
Bước 3: Tìm \(\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{max}}\,f\left( x \right)=max\left\{ f\left( a \right),f\left( {{x}_{1}} \right),f\left( {{x}_{2}} \right),...,f\left( {{x}_{n}} \right),f\left( b \right) \right\}\)
                      \(\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{min }}\,f\left( x \right)=\min \left\{ f\left( a \right),f\left( {{x}_{1}} \right),f\left( {{x}_{2}} \right),...,f\left( {{x}_{n}} \right),f\left( b \right) \right\}\)

Hướng dẫn giải

TXĐ: \(D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\};\,\,f'\left( x \right)=-\dfrac{5}{{{\left( x-3 \right)}^{2}}}<0\,,\,\,\forall x\in D \)
Do đó \(f(x)\) nghịch biến trên \(\left( -\infty ;3 \right),\,\left( 3;+\infty \right) \).
Ta thấy \(\left[ 0;2 \right]\subset \left( -\infty ;3 \right)\) .

Vì vậy
\(\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{max}}\,f\left( x \right)=f\left( 0 \right)=\frac{1}{3},\,\,\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{min }}\,f\left( x \right)=f\left( 2 \right)=-3\) .

Chọn A

Tìm hai số có hiệu là 13 sao cho tích của chúng là bé nhất.

Phương pháp giải

- Lập hàm số tính tích của hai số.

- Tìm GTNN của hàm số trên và suy ra kết luận.

Hướng dẫn giải

Gọi số thứ nhất là x và số thứ hai là x - 13.

Tích hai số là \(P\left( x \right) = x\left( {x - 13} \right) = {x^2} - 13x\)

Có \(P'\left( x \right) = 2x - 13 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{{13}}{2}\)

Bảng biến thiên:

Do đó

\(\mathop {\min }\limits_\mathbb{R} P\left( x \right) = - \dfrac{{169}}{4}\) khi \(x = \dfrac{{13}}{2}\)

Vậy hai số đó là \(\dfrac{{13}}{2}\) và \( - \dfrac{{13}}{2}\)

Giá trị lớn nhất của hàm số \(y=\dfrac{1}{x^2+x+1}\) trên khoảng \((-\infty;+\infty)\) là:

Phương pháp giải

- Tính y', tìm nghiệm của y'=0.

- Lập bảng biến thiên của hàm số và kết luận.

Hướng dẫn giải

Ta có: \(y' = \dfrac{{ - 2x - 1}}{{{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = - \dfrac{1}{2}\)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy, hàm số đạt GTLN \(\mathop {\max }\limits_{\left( { - \infty ; + \infty } \right)} y = \dfrac{4}{3}\) khi \(x = - \dfrac{1}{2}\)

Chọn B.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=\dfrac{1}{\sin x+\cos x}\) trên khoảng \(\left( 0;\dfrac{\pi}{2} \right)\) là:

Phương pháp giải

Cách tìm GTNN, GTLN trên một khoảng

y=f(x) liên tục trên khoảng (a;b) ta xét hai trường hợp:

(trong đó f'(x₀) bằng 0 hoặc f'(x₀) không xác định tại x₀.

Hướng dẫn giải

\(y=\dfrac{1}{\sin x+\cos x}=\dfrac{1}{\sqrt{2}\sin \left( x+\dfrac{\pi }{4} \right)} \)
Trên khoảng \(\left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right),\,\,\sin \left( x+\dfrac{\pi }{4} \right)\le 1 \)
Dấu ‘’=’’ xảy ra khi và chỉ khi \(x=\dfrac{\pi }{4} \)
Suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số là

 \(\underset{\left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)}{\mathop{min }}\,y=y\left( \dfrac{\pi }{4} \right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \)

Chọn D.