Giải bài tập SBT Toán 12 Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) $f\left( x \right)=\sqrt{25-{{x}^{2}}}$ trên đoạn $[-4;4]$;

b) $f\left( x \right)=|{{x}^{2}}-3x+2|$ trên đoạn $[-10;10]$;

c) $f\left( x \right)=\dfrac{1}{\sin x}$ trên đoạn $\left[ \dfrac{\pi }{3};\dfrac{5\pi }{6} \right]$;

d) $f\left( x \right)=2\sin x+\sin 2x$ trên đoạn $\left[ 0;\dfrac{3\pi }{2} \right]$.

Phương pháp giải

Cách tìm GTLN, GTNN trên một đoạn.
Bước 1: Tìm ${{x}_{i}}\in \left[ a;b \right]\,\,\,\left( i=1;2;...;n \right)$ tại đó có đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
Bước 2: Tính $f\left( a \right),f\left( b \right),f\left( {{x}_{i}} \right),\,\,\left( i=1;2;...;n \right)$ 
Bước 3: Tìm $\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{max}}\,f\left( x \right)=max\left\{ f\left( a \right),f\left( {{x}_{1}} \right),f\left( {{x}_{2}} \right),...,f\left( {{x}_{n}} \right),f\left( b \right) \right\}$
                      $\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{min }}\,f\left( x \right)=\min \left\{ f\left( a \right),f\left( {{x}_{1}} \right),f\left( {{x}_{2}} \right),...,f\left( {{x}_{n}} \right),f\left( b \right) \right\}$

Hướng dẫn giải

a) $f\left( x \right)=\sqrt{25-{{x}^{2}}}$ trên đoạn $[-4;4]$
$f'\left( x \right)=\dfrac{-x}{\sqrt{25-{{x}^{2}}}}$ 
$f′(x) > 0$ trên khoảng $(-4; 0)$ và $f’(x) < 0$ trên khoảng $(0; 4)$.

Hàm số đạt cực đại tại $x = 0$ và $f_{CĐ} = 5$

Mặt khác, ta có $f(-4) = f(4) = 3$
Vậy $\underset{\left[ -4;4 \right]}{\mathop{max}}\,f\left( x \right)=5;\,\,\,\underset{\left[ -4;4 \right]}{\mathop{min }}\,f\left( x \right)=3\,\,\,$
b) $f\left( x \right)=|{{x}^{2}}-3x+2|$ trên đoạn $[-10;10]$
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $g\left( x \right)={{x}^{2}}-3x+2$
Ta có: $g'\left( x \right)=2x-3;\,\,g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}$

Vì $f\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & g\left( x \right)\,\,\,khi\,\,{{x}^{2}}-3x+2\ge 0, \\ & -g\left( x \right)\,\,khi\,{{x}^{2}}-3x+2<0 \\ \end{align} \right.$
nên ta có đồ thị của $f(x)$ như sau:

Từ đồ thị suy ra
$\underset{\left[ -10;10 \right]}{\mathop{max}}\,f\left( x \right)=f\left( -10 \right)=132;\,\,\,\underset{\left[ -10;10 \right]}{\mathop{min }}\,f\left( x \right)=f\left( 1 \right)=f\left( 2 \right)=0\,\,\,$
c) $f\left( x \right)=\dfrac{1}{\sin x}$  trên đoạn $\left[ \dfrac{\pi }{3};\dfrac{5\pi }{6} \right]$ 
$f'\left( x \right)=-\dfrac{\cos x}{{{\sin }^{2}}x};$
$f'\left( x \right)<0$ trên $\left[ \dfrac{\pi }{3};\dfrac{\pi }{2} \right)$  và $f'\left( x \right)>0$ trên $\left( \dfrac{\pi }{2};\dfrac{5\pi }{6} \right]$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=\dfrac{\pi }{2}$ và ${{f}_{CT}}=f\left( \dfrac{\pi }{2} \right)=1$
Mặt khác, $f\left( \dfrac{\pi }{3} \right)=\dfrac{2}{\sqrt{3}};\,\,f\left( \dfrac{5\pi }{6} \right)=2$
Vậy

 $\underset{\left[ \dfrac{\pi }{3};\dfrac{5\pi }{6} \right]}{\mathop{max}}\,f\left( x \right)=2;\,\,\,\underset{\left[ \dfrac{\pi }{3};\dfrac{5\pi }{6} \right]}{\mathop{min }}\,f\left( x \right)=1\,$
d) $f\left( x \right)=2\sin x+\sin 2x$ trên đoạn $\left[ 0;\dfrac{3\pi }{2} \right]$ . 
$\begin{aligned} & f'\left( x \right)=2\cos x+2\cos 2x=4\cos \dfrac{x}{2}\cos \dfrac{3x}{2}; \\ & f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & \cos \dfrac{x}{2}=0 \\ & cos\dfrac{3x}{2}=0\, \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \begin{aligned} & x=\pi \\ & x=\dfrac{\pi }{3} \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned}$
Ta có $f\left( 0 \right)=0,\,\,f\left( \dfrac{\pi }{3} \right)=\dfrac{3\sqrt{3}}{2},\,\,f\left( \pi \right)=0,\,\,f\left( \dfrac{3\pi }{2} \right)=-2$
Từ đó ta có:

 $\underset{\left[ 0;\dfrac{3\pi }{2} \right]}{\mathop{max}}\,f\left( x \right)=\dfrac{3\sqrt{3}}{2};\,\,\,\underset{\left[ 0;\dfrac{3\pi }{2} \right]}{\mathop{min }}\,f\left( x \right)=-2\,$

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) $y=\dfrac{x}{4+x^2}$ trên khoảng $(-\infty;+\infty)$;

b) $y=\dfrac{1}{\cos x}$ trên khoảng $\left( \dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2} \right)$;

Phương pháp giải

Cách tìm GTLN, GTNN trên một đoạn.
Bước 1: Tìm ${{x}_{i}}\in \left[ a;b \right]\,\,\,\left( i=1;2;...;n \right)$ tại đó có đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
Bước 2: Tính $f\left( a \right),f\left( b \right),f\left( {{x}_{i}} \right),\,\,\left( i=1;2;...;n \right)$ 
Bước 3: Tìm $\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{max}}\,f\left( x \right)=max\left\{ f\left( a \right),f\left( {{x}_{1}} \right),f\left( {{x}_{2}} \right),...,f\left( {{x}_{n}} \right),f\left( b \right) \right\}$
                      $\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{min }}\,f\left( x \right)=\min \left\{ f\left( a \right),f\left( {{x}_{1}} \right),f\left( {{x}_{2}} \right),...,f\left( {{x}_{n}} \right),f\left( b \right) \right\}$

Hướng dẫn giải

a) $y=\dfrac{x}{4+{{x}^{2}}}$ trên $\left( -\infty ;+\infty \right)$
$y'=\dfrac{4-{{x}^{2}}}{{{\left( 4+{{x}^{2}} \right)}^{2}}};y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-2 \\ & y=2 \\ \end{align} \right.$ 
Bảng biến thiên:

Từ đó ta có $\underset{\mathbb{R}}{\mathop{max }}\,y=\dfrac{1}{4};\,\,\underset{\mathbb{R}}{\mathop{min }}\,y=-\dfrac{1}{4} .$
b) $y=\dfrac{1}{\cos x}$  trên khoảng $\left( \dfrac{\pi }{2};\dfrac{3\pi }{2} \right)$.
$y'=\dfrac{\operatorname{sinx}}{{{\cos }^{2}}x\,};\,\,y'=0\Leftrightarrow x=\pi$
Bảng biến thiên:

Hàm số không có giá trị nhỏ nhất. Giá trị lớn nhất của hàm số là

 $\underset{\left( \dfrac{\pi }{2};\dfrac{3\pi }{2} \right)}{\mathop{max}}\,y=y\left( \pi \right)=-1$. .

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)=x+\dfrac{9}{x}$ trên đoạn [2;4].

Phương pháp giải

Cách tìm GTLN, GTNN trên một đoạn.
Bước 1: Tìm ${{x}_{i}}\in \left[ a;b \right]\,\,\,\left( i=1;2;...;n \right)$ tại đó có đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
Bước 2: Tính $f\left( a \right),f\left( b \right),f\left( {{x}_{i}} \right),\,\,\left( i=1;2;...;n \right)$ 
Bước 3: Tìm $\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{max}}\,f\left( x \right)=max\left\{ f\left( a \right),f\left( {{x}_{1}} \right),f\left( {{x}_{2}} \right),...,f\left( {{x}_{n}} \right),f\left( b \right) \right\}$
                      $\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{min }}\,f\left( x \right)=\min \left\{ f\left( a \right),f\left( {{x}_{1}} \right),f\left( {{x}_{2}} \right),...,f\left( {{x}_{n}} \right),f\left( b \right) \right\}$

Hướng dẫn giải

TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \text{ }\!\!\{\!\!\text{ }0\}$.
$\begin{align} & f'\left( x \right)=1-\dfrac{9}{{{x}^{2}}}=\dfrac{{{x}^{2}}-9}{{{x}^{2}}} \\ & f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=\pm 3 \\ \end{align}$
Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-3;0), (0;3)$ và đồng biến trên các khoảng $\left( -\infty ;-3 \right),\,\left( 3;+\infty \right)$.
Bảng biến thiên:

Ta có $\left[ 2;4 \right]\,\subset \left( 0;+\infty \right)\,;\,\,f\left( 2 \right)=6,5;\,\,f\left( 3 \right)=6;\,\,f\left( 4 \right)=6,25$
Suy ra

$\underset{\left[ 2;4 \right]}{\mathop{max}}\,f\left( x \right)=6,5\,;\,\,\underset{\left[ 2;4 \right]}{\mathop{min }}\,f\left( x \right)=f\left( 3 \right)=6$.

Tìm các giá trị của tham số m để phương trình $x^3-3x^2-m=0$ có ba nghiệm phân biệt.

Phương pháp giải

- Đặt $f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}},\,y=m$.

- Biến đổi phương trình về dạng $m = {x^3} - 3{x^2}$

- Xét hàm $f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2}$, lập bảng biến thiên và suy ra điều kiện m cần tìm.

Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đường thẳng với đồ thị hàm số.

Hướng dẫn giải

Đặt $f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}},\,\,\,\,\,\,\left( {{C}_{1}} \right)$
$y=m \,\,\,\,\, (C_2)$
Phương trình ${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-m=0$ có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $(C_1)$ và $(C_2)$ có ba giao điểm.
Ta có $f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6x=3x\left( x-2 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=2 \\ \end{align} \right.$
Bảng biến thiên

Suy ra $(C_1), (C_2)$ cắt nhau tại 3 điểm khi $-4 < m < 0.$
Kết luận: Phương trình ${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-m=0$  có ba nghiệm phân biệt với những giá trị m thỏa mãn điều kiện $-4 < m < 0.$

Cho số dương m. Hãy phân tích m thành tổng của hai số dương sao cho tích của chúng là lớn nhất.

Phương pháp giải

- Gọi số thứ nhất là x suy ra số thứ 2 theo m và x.

- Lập hàm số tình tích hai số.

- Tìm GTLN của hàm số trên và kết luận.

Hướng dẫn giải

Cho $m > 0$. Đặt x là số thứ nhất, $0 < x < m$, số thứ hai là $m-x$
Xét tích $P\left( x \right)=x\left( m-x \right)$ 
Ta có $P'\left( x \right)=-2x+m=0\Leftrightarrow x=\dfrac{m}{2}$
Bảng biến thiên

Từ đó ta có giá trị lớn nhất của tích hai số là
$\underset{(o,m)}{\mathop{max}}\,P\left( x \right)=P\left( \dfrac{m}{2} \right)=\dfrac{{{m}^{2}}}{4}.$

Một chất điểm chuyển động theo quy luật $s=6t^2-t^3$. Tính thời điểm t (giây) tại đó vận tốc $v (m/s)$ của chuyển động đạt giá trị lớn nhất.

Phương pháp giải

- Tìm hàm số vận tốc $v\left( t \right) = s'\left( t \right)$

- Tìm GTLN của hàm số $v\left( t \right)$ đạt được tại t và kết luận.

Hướng dẫn giải

$s=6{{t}^{2}}-{{t}^{3}}\,,\,t>0$
Vận tốc chuyển động là $v=s'$ , tức là $v=12t-3{{t}^{2}}$ 
Ta có $v'=12-6t=0\Leftrightarrow t=2$
Hàm số $v$ đồng biến trên khoảng $(0;2)$ và nghịch biến trên khoảng $\left( 2;+\infty \right)$
Vận tốc đạt giá trị lớn nhất khi $t=2$. Khi đó $\underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\max \,}}\,V={{V}_{\text{CĐ}}}=v\left( 2 \right)=12\,\,\left( m/s \right)$.

Hãy tìm tam giác vuông có diện tích lớn nhất nếu tổng của một cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng hằng số a (a > 0).

Phương pháp giải

- Lập hàm số tính diện tích tam giác theo biến là một cạnh góc vuông.

- Xét hàm tìm GTLN và kết luận.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC vuông tại A.

Kí hiệu cạnh góc vuông AB là $x,\,\,0 < x< \dfrac{a}{2}$
Khi đó, cạnh huyển $BC=a-x$, cạnh góc vuông kia là
$\begin{align} & AC=\sqrt{B{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}}=\sqrt{{{\left( a-x \right)}^{2}}-{{x}^{2}}} \\ & hay\,\,AC=\sqrt{{{a}^{2}}-2ax} \\ \end{align}$
Diện tích tam giác ABC là
$\begin{align} & S\left( x \right)=\dfrac{1}{2}x\sqrt{{{a}^{2}}-2ax} \\ & S'\left( x \right)=\dfrac{1}{2}\sqrt{{{a}^{2}}-2ax}-\dfrac{1}{2}\dfrac{ax}{\sqrt{{{a}^{2}}-2ax}}=\dfrac{a\left( a-3x \right)}{2\sqrt{{{a}^{2}}-2ax}} \\ & S'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=\dfrac{a}{3} \\ \end{align}$
Bảng biến thiên

Tam giác có diện tích lớn nhất khi $AB=\dfrac{a}{3},\,\,BC=\dfrac{2a}{3}$ . 

Giá trị lớn nhất của hàm số $y=-x^2+4x-5$ trên đoạn [0;3] bằng:

Phương pháp giải

Cách tìm GTLN, GTNN trên một đoạn.
Bước 1: Tìm ${{x}_{i}}\in \left[ a;b \right]\,\,\,\left( i=1;2;...;n \right)$ tại đó có đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
Bước 2: Tính $f\left( a \right),f\left( b \right),f\left( {{x}_{i}} \right),\,\,\left( i=1;2;...;n \right)$ 
Bước 3: Tìm $\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{max}}\,f\left( x \right)=max\left\{ f\left( a \right),f\left( {{x}_{1}} \right),f\left( {{x}_{2}} \right),...,f\left( {{x}_{n}} \right),f\left( b \right) \right\}$
                      $\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{min }}\,f\left( x \right)=\min \left\{ f\left( a \right),f\left( {{x}_{1}} \right),f\left( {{x}_{2}} \right),...,f\left( {{x}_{n}} \right),f\left( b \right) \right\}$

Hướng dẫn giải

Ta có $y\left( 0 \right)=-5,\,\,y\left( 3 \right)=-2$, tọa độ đỉnh: $x=-\dfrac{b}{2a}=2$
$\Rightarrow y\left( 2 \right)=-4+8-5=-1;\,\,\underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{max}}\,=max\left( -5;-2;-1 \right)=-1$ 
Cách khác: Vì $a=-1$ nên parabol $y=-{{x}^{2}}+4x-5$ đạt cực đại tại đỉnh $(2;-1)$.

Vì vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [0;3] là $y(2)=-1$.

Chọn A

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)=x^3+3x^2-9x-7$ trên đoạn [-4;3] bằng: 

Phương pháp giải

Cách tìm GTLN, GTNN trên một đoạn.
Bước 1: Tìm ${{x}_{i}}\in \left[ a;b \right]\,\,\,\left( i=1;2;...;n \right)$ tại đó có đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
Bước 2: Tính $f\left( a \right),f\left( b \right),f\left( {{x}_{i}} \right),\,\,\left( i=1;2;...;n \right)$ 
Bước 3: Tìm $\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{max}}\,f\left( x \right)=max\left\{ f\left( a \right),f\left( {{x}_{1}} \right),f\left( {{x}_{2}} \right),...,f\left( {{x}_{n}} \right),f\left( b \right) \right\}$
                      $\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{min }}\,f\left( x \right)=\min \left\{ f\left( a \right),f\left( {{x}_{1}} \right),f\left( {{x}_{2}} \right),...,f\left( {{x}_{n}} \right),f\left( b \right) \right\}$

Hướng dẫn giải

Ta có  $f\left( x \right)={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-9x-7\Rightarrow f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+6x-9=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=1 \\ & x=-3 \\ \end{align} \right.$

$f\left( -4 \right)=13,\,\,f\left( -3 \right)=20,\,\,f\left( 1 \right)=-12,\,\,f\left( 3 \right)=20$

Vậy $\underset{\left[ -4;3 \right]}{\mathop{min }}\,f\left( x \right)=-12$

Chọn D

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)=\dfrac{2x-1}{x-3}$ trên đoạnm [0;2] bằng:

Phương pháp giải

Cách tìm GTLN, GTNN trên một đoạn.
Bước 1: Tìm ${{x}_{i}}\in \left[ a;b \right]\,\,\,\left( i=1;2;...;n \right)$ tại đó có đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
Bước 2: Tính $f\left( a \right),f\left( b \right),f\left( {{x}_{i}} \right),\,\,\left( i=1;2;...;n \right)$ 
Bước 3: Tìm $\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{max}}\,f\left( x \right)=max\left\{ f\left( a \right),f\left( {{x}_{1}} \right),f\left( {{x}_{2}} \right),...,f\left( {{x}_{n}} \right),f\left( b \right) \right\}$
                      $\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{min }}\,f\left( x \right)=\min \left\{ f\left( a \right),f\left( {{x}_{1}} \right),f\left( {{x}_{2}} \right),...,f\left( {{x}_{n}} \right),f\left( b \right) \right\}$

Hướng dẫn giải

TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\};\,\,f'\left( x \right)=-\dfrac{5}{{{\left( x-3 \right)}^{2}}}<0\,,\,\,\forall x\in D$
Do đó $f(x)$ nghịch biến trên $\left( -\infty ;3 \right),\,\left( 3;+\infty \right)$.
Ta thấy $\left[ 0;2 \right]\subset \left( -\infty ;3 \right)$ .

Vì vậy
$\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{max}}\,f\left( x \right)=f\left( 0 \right)=\frac{1}{3},\,\,\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{min }}\,f\left( x \right)=f\left( 2 \right)=-3$ .

Chọn A

Tìm hai số có hiệu là 13 sao cho tích của chúng là bé nhất.

Phương pháp giải

- Lập hàm số tính tích của hai số.

- Tìm GTNN của hàm số trên và suy ra kết luận.

Hướng dẫn giải

Gọi số thứ nhất là x và số thứ hai là x - 13.

Tích hai số là $P\left( x \right) = x\left( {x - 13} \right) = {x^2} - 13x$

Có $P'\left( x \right) = 2x - 13 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{{13}}{2}$

Bảng biến thiên:

Do đó

$\mathop {\min }\limits_\mathbb{R} P\left( x \right) = - \dfrac{{169}}{4}$ khi $x = \dfrac{{13}}{2}$

Vậy hai số đó là $\dfrac{{13}}{2}$ và $- \dfrac{{13}}{2}$

Giá trị lớn nhất của hàm số $y=\dfrac{1}{x^2+x+1}$ trên khoảng $(-\infty;+\infty)$ là:

Phương pháp giải

- Tính y', tìm nghiệm của y'=0.

- Lập bảng biến thiên của hàm số và kết luận.

Hướng dẫn giải

Ta có: $y' = \dfrac{{ - 2x - 1}}{{{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = - \dfrac{1}{2}$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy, hàm số đạt GTLN $\mathop {\max }\limits_{\left( { - \infty ; + \infty } \right)} y = \dfrac{4}{3}$ khi $x = - \dfrac{1}{2}$

Chọn B.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\dfrac{1}{\sin x+\cos x}$ trên khoảng $\left( 0;\dfrac{\pi}{2} \right)$ là:

Phương pháp giải

Cách tìm GTNN, GTLN trên một khoảng

y=f(x) liên tục trên khoảng (a;b) ta xét hai trường hợp:

(trong đó f'(x₀) bằng 0 hoặc f'(x₀) không xác định tại x₀.

Hướng dẫn giải

$y=\dfrac{1}{\sin x+\cos x}=\dfrac{1}{\sqrt{2}\sin \left( x+\dfrac{\pi }{4} \right)}$
Trên khoảng $\left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right),\,\,\sin \left( x+\dfrac{\pi }{4} \right)\le 1$
Dấu ‘’=’’ xảy ra khi và chỉ khi $x=\dfrac{\pi }{4}$
Suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số là

 $\underset{\left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)}{\mathop{min }}\,y=y\left( \dfrac{\pi }{4} \right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Chọn D.