Toán 11 Chương 3 Bài 5: Khoảng cách

a) Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Cho điểm O và đường thẳng a. Trong mặt phẳng (O, a) gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên a. Khi đó khoảng cách giữa O và H được gọi là khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a. Kí hiệu d(O, a).

b)  Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Cho điểm O và mặt phẳng (\(\alpha\)). Trong mặt phẳng (O, (\(\alpha\))) gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên (\(\alpha\)). Khi đó khoảng cách giữa O và H được gọi là khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng \((\alpha)\). Kí hiệu d(O, \(\alpha\)).

a) Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song

- Định nghĩa: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (\(\alpha\)). Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (\(\alpha\)) là khoảng cách từ một điểm bất kì của a đến mặt phẳng (\(\alpha\)). Kí hiệu là d(a, (\(\alpha\))).

b) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này tới mặt phẳng kia.

a) Định nghĩa:

- Đường thẳng \(\Delta \) cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b và cùng vuông góc với mỗi đường thẳng ấy được gọi là đường vuông góc chung của a và b.

- Nếu đường vuông góc chung \(\Delta \) cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b lần lượt tại M, N thì độ dài đoạn MN được gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b.

b) Cách tìm đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

- Trường hợp 1: a và b là hai đường thẳng chéo nhau và a \( \bot \) b

+ Dựng mặt phẳng \((\alpha)\) chứa a và vuông góc với b tại B.

+ Trong \((\alpha)\) dựng BA \( \bot \) a tại A, ta được độ dài đoạn AB là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b.

- Trường hợp 2: a và b là hai đường thẳng chéo nhau nhưng không vuông góc với nhau.

+ Dựng mặt phẳng \((\alpha)\) chứa a và song song với b.

+ Lấy một điểm M tùy ý trên b và dựng MM' vuông góc với \((\alpha)\) tại M'.

+ Từ M' dựng b' song song với b cắt a tại A.

+ Tự A dựng AB song song với MM' cắt b tại B, độ dài đoạn AB là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b.

c) Nhận xét

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng còn lại.

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chưa hai đường thẳng đó.

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a, SA = SD. Mặt bên SAD vuông góc với mặt đáy (ABCD), mặt bên SBC hợp với đáy một góc bằng \(45^o\). Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng SB.

Hướng dẫn giải:

Gọi H, E lần lượt là trung điểm của AD, BC.

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l} (SAD) \bot (ABCD)\\ (SAD) \cap (ABCD) = AD\\ \Delta SAD \ cân \ tại \ S\\ HA = HD \end{array} \right. \Rightarrow SH \bot (ABCD)\).

\(\left\{ \begin{array}{l} HE \bot BC\\ SH \bot BC \end{array} \right. \Rightarrow BC \bot (SHE) \Rightarrow \widehat {((SBC),(ABCD))} = \widehat {SEF} = {45^o}\).

Xét tam giác SHE, ta có:

SH = HE.tan\(\widehat {SEH}\) = a.

AH = \(\frac{{AD}}{2}\) = a \(\Rightarrow SA = \sqrt {S{H^2} + A{H^2}} = a\sqrt 2 \).

Gọi F là hình chiếu của A lên SB. Khi đó d(A, SB) = AF.

\(\left\{ \begin{array}{l} AD \bot AB\\ SH \bot AB \end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow AB \bot SA\).

Xét tam giác vuông SAB, ta có:

\(AF = \frac{{SA.AB}}{{\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} }} = \frac{{a\sqrt 2 .a}}{{\sqrt {2{a^2} + {a^2}} }} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

Vậy d(A, SB) = \(\frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một hình vuông cạnh 2a tâm O, cạnh bên SA vuông góc với đáy và cạnh bên SC hợp với đáy một góc \(30^o\). Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).

Hướng dẫn giải:

Kẻ AH vuông với SB (1).

\(\left\{ \begin{array}{l} SA \bot BC\\ AB \bot BC \end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AH\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra AH \( \bot\) (SBC)

Do đó d(A, (SBC)) = AH.

Ta có: SA \( \bot\) (ABCD) nên AC là hình chiếu của SC lên (ABCD).

\( \Rightarrow \widehat {\left( {SC,\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SC,AC} \right)} = \widehat {SCA} \Rightarrow \widehat {SCA} = {30^o}\) (vì tam giác SAC vuông tại A).

\(\Rightarrow SA = AC.\tan SCA = 2a\sqrt 2 .\tan {30^o} = \frac{{2a\sqrt 6 }}{3}\).

Xét tam giác SAB vuông tại A có

\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} = \frac{3}{{8{a^2}}} + \frac{1}{{4{a^2}}} = \frac{5}{{8{a^2}}}\)

\(\Rightarrow AH = \frac{{2a\sqrt {10} }}{5}\).

Vậy d(A, (SBC)) = \(\frac{{2a\sqrt {10} }}{5}\).

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a, SA vuông góc với đáy và SA = a. M là trung điểm của SB. Tính khoảng cách giữa các đường thẳng sau:

a) SC và BD.

b) AC và SD.

c) SD và AM.

Hướng dẫn giải:

a) Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l} BD \bot SA\\ BD \bot AC \end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right)\) tại O.

Trong (SAC), kẻ OH vuông góc với SC tại H, ta có 

\(\left\{ \begin{array}{l} OH \bot SC\\ OH \bot BD \ ( Vì \ BD\bot(SAC)) \end{array} \right.\)

Vậy OH là đoạn vuông góc chung của BD và SC.

Ta có: \(\frac{{OH}}{{OC}} = \frac{{SA}}{{SC}} = \sin ACS \Rightarrow OH = \frac{{OC.SA}}{{SC}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}a}}{{a\sqrt 3 }} = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}\).

Vậy d(SC, BD) = OH = \( \frac{{a\sqrt 6 }}{6}\).

b) Dựng hình bình hành ACDE, ta có: AC // DE suy ra AC // (SDE).

\( \Rightarrow d\left( {AC,SD} \right) = d\left( {AC,\left( {SDE} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SDE} \right)} \right)\).

Trong (ABCD), kẻ AI vuông góc với DE tại I, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l} DE \bot AI\\ DE \bot SA \end{array} \right. \Rightarrow DE \bot (SAI)\).

Suy ra (SDE) \(\bot\) (SAI) theo giao tuyến SI.

Trong (SAI), kẻ AK vuông góc với SI tại K, ta có:

AK \(\bot\) (SDE) suy ra AK = d(A, (SDE)).

Ta có AIDO là hình bình hành nên AI = OD = \( \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Xét tam giác vuông SAI ta có:

\(\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{A{I^2}}} + \frac{1}{{S{A^2}}} = \frac{2}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{3}{{{a^2}}}\).

Suy ra AK = \( \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Vậy d(AC, SD) = d(A, (SDE)) = AK = \( \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

c) Ta có OM // SD và AC // DE nên (AMC) // (SDE).

Suy ra d(SD, AM) = d((AMC, (SDE)) = d(A, (SDE)) = AK = \( \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, O là giao điểm hai đường chéo AC và BD. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và có độ dài bằng \(a\sqrt2\). Tính:

a) d(A, SB) và d(A, SC).

b) d(O, SC) và d(O, SD).

Bài 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A'B'C'D' có ba kích thước AB = a, AD = b, AA' = c. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (DA'C').

Bài 3: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc nhau và OA = OB = OC = a. I là trung điểm của BC. Tính độ dài đoạn vuông góc chung của các cặp đường thẳng chéo nhau:

a) OA và BC.

b) AI và OC.

Bài 4: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a có M, N là trung điểm của AB và CD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BN và CM.

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = SB = SC = SD = 2a. Tính d(A, (SCD).

A. \(d = \frac{{a\sqrt 7 }}{{\sqrt {30} }}\).

B. \(d = \frac{{2a\sqrt 7 }}{{\sqrt {30} }}\).

C. \(d = \frac{a}{2}\).

D. \(d = \frac{{a\sqrt 2 }}{{2 }}\)..

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M là trung điểm SD. Tính khoảng cách d giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ACM).

A. \(d =3 \frac{a}{2}\).

B. d = a.

C. \(d = \frac{2a}{3}\).

D. \(d = \frac{a}{3}\).

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, SA = \(a\sqrt3\). Gọi M là điểm trên đoạn SD sao cho DM = 2 SM. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CM bằng:

A. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{{2 }}\).

B. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{{4 }}\).

C. \(\frac{3a}{4}\).

D. \(2\frac{{a\sqrt 3 }}{{3 }}\).

Bài 4: Cho hình lập phương ABCD. A'B'C'D' cạnh a. Khoảng cách giữa (AB'C) và (A'DC') bằng:

A. \(a\sqrt 3\).

B. \(a\sqrt 2\).

C. \(\frac{a}{3}\).

D. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{{3 }}\).

Bài 5: Cho hình lăng trụ ABC. A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm A' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và BC bằng \(\frac{{a\sqrt 3 }}{{4 }}\). Độ dài đoạn A'G là:

A. \(\frac{2a}{3}\).

B. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{{6 }}\).

C. \(\frac{a}{3}\).

D. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{{2 }}\).

Qua bài học này, các em cần nắm và xác định được các nội dung sau:

- Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng.

- Khoảng cách giữa đường thẳng.

- Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song.

- Đường vuông góc chung và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.