Toán 12 Chương 4 Bài 3: Phép chia số phức

Cho hai số phức \({z_1} = a + bi,\,\,{z_2} = c + di\,(a,b,c,d \in \mathbb{R}),\) ta có:

\(\frac{{c + di}}{{a + bi}} = \frac{{\left( {c + di} \right)(a - bi)}}{{{a^2} + {b^2}}} = \frac{{ac + bd}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{ad - bc}}{{{a^2} + {b^2}}}i\)

(Nhân cả tử và mẫu với \(a - bi\)(số phức liên hợp của mẫu)).

Với số phức \(z\ne0\) ta có:

Số phức nghịch đảo của \(z\): \({z^{ - 1}} = \frac{1}{{{{\left| z \right|}^2}}}\overline z .\)

Thương của \(z'\) chia cho \(z\): \(\frac{{z'}}{z} = z'.{z^{ - 1}} = \frac{{z'.\overline z }}{{{{\left| z \right|}^2}}} = \frac{{z'.\overline z }}{{z.\overline z }}.\)

Tìm phần thực, phần ảo và tính môđun của số phức z thỏa: \({\left( {1 + i} \right)^2}\left( {2 - i} \right)z = 8 + i + \left( {1 + 2i} \right)z.\)

Hướng dẫn giải

\({\left( {1 + i} \right)^2}\left( {2 - i} \right)z = 8 + i + \left( {1 + 2i} \right)z\)

\(\Leftrightarrow z = \frac{{8 + i}}{{1 + 2i}} = \frac{{\left( {8 + i} \right)\left( {1 - 2i} \right)}}{{\left( {1 + 2i} \right)\left( {1 - 2i} \right)}} = \frac{{10 - 15i}}{5} = 2 - 3i.\)

Vậy z có phần thực bằng 2, phần ảo bằng -3, môđun \(\left| z \right| = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = \sqrt {13} .\)

Tính số phức sau: \(z={\left( {\frac{{1 + i}}{{1 - i}}} \right)^{16}} + {\left( {\frac{{1 - i}}{{1 + i}}} \right)^8}.\)

Hướng dẫn giải

Ta có:  \(\frac{{1 + i}}{{1 - i}} = \frac{{(1 + i)(1 + i)}}{2} = \frac{{2i}}{2} = i\)\(\Rightarrow \frac{{1 - i}}{{1 + i}} = \frac{1}{i} = - i.\)

Vậy: \({\left( {\frac{{1 + i}}{{1 - i}}} \right)^{16}} + {\left( {\frac{{1 - i}}{{1 + i}}} \right)^8} = {i^{16}} + {( - i)^8} = {({i^2})^8} + {\left( {{{\left( { - i} \right)}^2}} \right)^4} = 1 + 1 = 2.\)

Tìm số phức liên hợp của số phức: \(z = (1 + i)(3 - 2i) + \frac{1}{{3 + i}}\).

Hướng dẫn giải

Ta có: \(z = 5 + i + \frac{{3 - i}}{{(3 + i)(3 - i)}} = 5 + i + \frac{{3 - i}}{{10}}=\frac{53}{10}+\frac{9}{10}i\)

Suy ra số phức liên hợp của số phức z là: \(\overline z = \frac{{53}}{{10}} - \frac{9}{{10}}i\).

Tìm môđun của số phức \(z = \frac{{(1 + i)(2 - i)}}{{1 + 2i}}\).

Hướng dẫn giải

Ta có:\(z = \frac{{(1 + i)(2 - i)}}{{1 + 2i}} = \frac{{3 + i}}{{1 + 2i}} = \frac{{\left( {3 + i} \right)\left( {1 - 2i} \right)}}{{\left( {1 + 2i} \right)\left( {1 - 2i} \right)}} = \frac{{5 + i}}{5} = 1 + \frac{1}{5}i.\)

Vậy môđun của số phức z là: \(\left| z \right| = \sqrt {1 + {{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {26} }}{5}\).

Tìm số phức z thỏa: \(\frac{{(\overline z - 1).(2 - i)}}{{\overline z + 2i}} = \frac{{3 + i}}{2}\)

Hướng dẫn giải

Điều kiện: \(\overline z \ne -2i\) hay \(z\ne 2i\)

Khi đó:  \(\frac{{(\overline z - 1).(2 - i)}}{{\overline z + 2i}} = \frac{{3 + i}}{2}\)\(\Leftrightarrow 2(\overline z - 1)(2 - i) = (3 + i)(\overline z + 2i)\)

\(\Leftrightarrow (\overline z - 1)(4 - 2i) = 3\overline z + 6i + iz + 2{i^2}\)

\(\Leftrightarrow (1 - 3i)\overline z = 2i + 4\)

\(\Leftrightarrow \overline z = \frac{{2i + 4}}{{1 - 3i}} = \frac{{(2i + 4)(1 + 3i)}}{{10}} = \frac{{ - 1}}{5} + \frac{7}{5}i\)

\(\Rightarrow z = \frac{{ - 1}}{5} - \frac{7}{5}i\).

Câu 1: Thực hiện các phép chia sau:

a) \( \dfrac{2+i}{3-2i}\);          

b) \( \dfrac{1+i\sqrt{2}}{2+i\sqrt{3}}\)

c) \( \dfrac{5i}{2-3i}\)

d) \( \dfrac{5-2i}{i}\)

Câu 2: Thực hiện các phép tính sau:

a) \({{(2 + i) + (1 + i)(4 - 3i)} \over {3 + 2i}}\)                           

 b) \({{(3 - 4i)(1 + 2i)} \over {1 - 2i}} + 4 - 3i\)

Câu 3: Tìm nghịch đảo \( \dfrac{1}{z}\) của số phức \(z\), biết:

a) \(z = 1 + 2i\)

b) \(z = \sqrt2 - 3i\)

c) \(z = i\)

d) \(z = 5 + i\sqrt3\)

Câu 4: Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a) \((3  + 4i)x = (1 + 2i)(4 + i)\)                          

b) \(2ix + 3 = 5x + 4i\)

c) \(3x(2 – i)  +1 = 2ix(1 + i) + 3i\)

Câu 5: Chứng minh rằng:

a) \(\overline {({{{z_1}} \over {{z_2}}})}  = {{{{\bar z}_1}} \over {{{\bar z}_2}}}\)

b) \(|{{{z_1}} \over {{z_2}}}| = {{|{z_1}|} \over {|{z_2}|}}\)

Câu 1: Viết số phức \(\frac{1}{{{z^3}}}\)  ở dạng \(a + bi\) với \(a,b\in\mathbb{R}\) biết \(z=1+i\).

A. \(\frac{1}{{{z^3}}} = \frac{1}{2}i\)

B.  \(\frac{1}{{{z^3}}} = - \frac{1}{4} - \frac{1}{4}i\)

C.  \(\frac{1}{{{z^3}}} = - \frac{1}{2}i\)

D. \(\frac{1}{{{z^3}}} = i\)

Câu 2: Cho số phức z thỏa \(\frac{{5(\overline z + i)}}{{z + i}} = 2 - i\). Tìm số phức \(\omega = 1 + z + {z^2}.\)

A.  \(\omega = - 2 - 3i\)

B.  \(\omega = 2 + 3i\)

C.  \(\omega = 2 - 3i\)  

D. \(\omega = - 2 + 3i\)

B.  \(\left| {\rm{w}} \right| = 2\)

C.  \(\left| {\rm{w}} \right| =5\)

D.  \(\left| {\rm{w}} \right| = \sqrt 5\)

A. 17

B. 13

C. 7

D. 5

A. \({(2 + 2i)^2}\)

B. \((\sqrt 2 + 3i) + (\sqrt 2 - 3i)\)

C. \((\sqrt 2 + 3i).(\sqrt 2 - 3i)\)

D. \(\frac{{2 + 3i}}{{2 - 3i}}\)

Qua bài học này giúp các em học sinh biết được một số nội dung chính như sau:

• Nắm được các phép tính về tổng và tích của hai số phức liên hợp
• Hiểu được phép chia hai số phức .
• Thực hiện được các phép tính cộng , trừ , nhân , chia số phức .