Giải bài tập SGK Toán 12 Bài 4: Đường tiệm cận

Phần hướng dẫn giải bài tập đường tiệm cận sẽ giúp các em nắm được phương pháp và rèn luyện kĩ năng các giải bài tập xác định tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.

Giải bài tập SGK Toán 12 Bài 4: Đường tiệm cận

1. Giải bài 1 trang 30 SGK Giải tích 12

Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số

a) \(y=\frac{x}{2-x}\)

b) \(y=\frac{-x+7}{x+1}\)

c) \(y=\frac{2x-5}{5x-2}\)

d) \(y=\frac{7}{x}-1\)

Phương pháp giải

- Để giải bài 1, các em cùng ôn lại lý thuyết về sự tồn tại tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

  • Đường thẳng \(y=b\) được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau

\(\lim_{x\rightarrow -\infty } f(x) = b\); \(\lim_{x\rightarrow +\infty } f(x) = b\)

  • Đường thẳng \(x=a\) được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau

\(\lim_{x\rightarrow a^+} f(x) = \pm \infty\); \(\lim_{x\rightarrow a^-} f(x) = \pm \infty\)

- Với hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\left( {c \ne 0;ad - bc \ne 0} \right)\) ta có thể suy ra ngay tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = \frac{a}{c}\), tiệm cận đứng là đường thẳng \(x =  - \frac{d}{c}\)

Hướng dẫn giải

Câu a: Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số \(y=\frac{x}{2-x}\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{x}{{2 - x}} =  + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{x}{{2 - x}} =  - \infty \)

Nên đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{x}{{2 - x}} =  - 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{x}{{2 - x}} =  - 1\)

Nên đường thẳng y = -1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Câu b: Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số \(y=\frac{-x+7}{x+1}\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \frac{{ - x + 7}}{{x + 1}} = + \infty ;\)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} \frac{{ - x + 7}}{{x + 1}} = - \infty\)

Nên x = -1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - x + 7}}{{x + 1}} = - 1;\)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - x + 7}}{{x + 1}} = - 1\) 

Nên đường thẳng y = -1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Câu c: Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số \(y=\frac{2x-5}{5x-2}\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^ + }} \frac{{2x - 5}}{{5x - 2}} = - \infty ;\)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^ - }} \frac{{2x - 5}}{{5x - 2}} = + \infty\) 

Nên đường thẳng \(x=\frac{2}{5}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x - 5}}{{5x - 2}} = \frac{2}{5};\)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x - 5}}{{5x - 2}} = \frac{2}{5}\)

Nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(y=\frac{2}{5}\) làm tiệm cận ngang.

Câu d: Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{7}{x} - 1} \right) = - 1;\)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{7}{x} - 1} \right) = - 1\) 

Nên đường thẳng y = -1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {\frac{7}{x} - 1} \right) = + \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {\frac{7}{x} - 1} \right) = - \infty\) 

Nên đường thẳng x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

2. Giải bài 2 trang 30 SGK Giải tích 12

Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

a) \(y=\frac{2-x}{9-x^2}\)

b) \(y=\frac{x^2+x+1}{3-2x-5x^2}\)

c) \(y=\frac{x^2-3x+2}{x+1}\)

d) \(y=\frac{\sqrt {x}+1}{\sqrt {x}-1}\)

Phương pháp giải

  • Đường thẳng \(y=b\) được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau

\(\lim_{x\rightarrow -\infty } f(x) = b\); \(\lim_{x\rightarrow +\infty } f(x) = b\)

  • Đường thẳng \(x=a\) được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau

\(\lim_{x\rightarrow a^+} f(x) = \pm \infty\); \(\lim_{x\rightarrow a^-} f(x) = \pm \infty\)

  • Với hàm số \(y=f(x) = \frac{{h(x)}}{{g(x)}}\)  để tìm tiệm cận đứng ta tiến hành giải phương trình g(x) = 0. Giả sử nếu x0 là nghiệm của phương trình g(x) = 0, nếu h(x0) khác 0, thì đường thẳng x = x0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x). 

Phương pháp giải

Câu a: Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=\frac{2-x}{9-x^2}\)

\(\lim_{x\rightarrow (-3)^-}\frac{2-x}{9-x^2}=+\infty\); \(\lim_{x\rightarrow (-3)^+}\frac{2-x}{9-x^2}=+\infty\) 

Nên đường thẳng x = -3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\lim_{x\rightarrow 3^-}\frac{2-x}{9-x^2}=-\infty\); \(\lim_{x\rightarrow 3^+}\frac{2-x}{9-x^2}=-\infty\)

Nên đường thẳng x = 3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{2-x}{9-x^2}=0\); \(\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{2-x}{9-x^2}=0\)

Nên đường thẳng y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Câu b: Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=\frac{x^2+x+1}{3-2x-5x^2}\)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \frac{{{x^2} + x + 1}}{{3 - 2x - 5{x^2}}} = + \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} \frac{{{x^2} + x + 1}}{{3 - 2x - 5{x^2}}} = - \infty\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^ + }} \frac{{{x^2} + x + 1}}{{3 - 2x - 5{x^2}}} = - \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^ - }} \frac{{{x^2} + x + 1}}{{3 - 2x - 5{x^2}}} = + \infty\)

Nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là các đường thẳng: \(x=-1;x=\frac{3}{5}\).

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^2} + x + 1}}{{3 - 2x - 5{x^2}}} = - \frac{1}{5}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} + x + 1}}{{3 - 2x - 5{x^2}}} = - \frac{1}{5}\)

Nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng \(y=-\frac{1}{5}\).

Câu c: Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=\frac{x^2-3x+2}{x+1}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 1)}^ - }} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x + 1}} = - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 1)}^ +}} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x + 1}} = + \infty\) 

Nên đường thẳng x = -1 là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim}\frac{x^{2}-3x+2}{x+1}=\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim}\frac{x^2(1-\frac{3}{x}+\frac{2}{x^{2}})}{x(1+\frac{1}{x})}=-\infty\) và \(\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim}\frac{x^{2}-3x+2}{x+1}=+\infty\) 

Nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

Câu d: Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=\frac{\sqrt {x}+1}{\sqrt {x}-1}\)

Hàm số xác định khi: \(\left\{\begin{matrix} x\geq 0\\ \sqrt{x}-1\neq 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 0\\ x\neq 1 \end{matrix}\right.\)

Vì \(\lim_{x\rightarrow 1^-}\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=-\infty\)

(hoặc \(\lim_{x\rightarrow 1^+}\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=+\infty\) ) nên đường thẳng x = 1 là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

Vì \(\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{\sqrt{x}(1+\frac{1}{\sqrt{x}})}{\sqrt{x}(1-\frac{1}{\sqrt{x}})}=1\) 

nên đường thẳng y = 1 là một tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Ngày:10/07/2020 Chia sẻ bởi:Thanh Nhàn

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM