Giải bài tập SGK Toán 11 Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp

Giải phương trình: $\small sin^2x - sinx = 0$

Phương pháp giải

Đặt nhân tử chung, đưa phương trình về dạng tích và giải các phương trình lượng giác cơ bản:

$\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \alpha + k2\pi \\ x = \pi - \alpha + k2\pi  \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in Z} \right)$

Hướng dẫn giải

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{\sin ^2}x - \sin x = 0\\\Leftrightarrow \sin x\left( {\sin x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 0\\\sin x - 1 = 0\end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 0\\\sin x = 1\end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in Z} \right)\end{array}$

Vậy nghiệm của phương trình là $x = k\pi$ hoặc $x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\,\left( {k \in Z} \right)$

Giải các phương trình sau

a) $\small 2cos^2x - 3cosx + 1 = 0$

b) $\small 2sin2x + \sqrt{2}sin4x = 0$

Phương pháp giải

a) Đặt $t=cosx$, đưa về phương trình bậc hai ẩn t, giải phương trình bậc hai ẩn t sau đó giải các phương trình lượng giác cơ bản của cos.

b) Sử dụng công thức nhân đôi $\sin 4x = 2\sin 2x\cos 2x$

Đặt nhân tử chung, đưa phương trình về dạng tích.

Giải các phương trình lượng giác cơ bản của sin và cos.

Hướng dẫn giải

Câu a: Đặt $t = cosx, t \in [-1 ; 1]$ ta được phương trình:

$\begin{array}{l}2{t^2} - 3t + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\,\,\,\left( {tm} \right)\\t = \frac{1}{2}\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\\+ )\,\,t = 1 \Leftrightarrow \cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi \,\,\,\left( {k \in Z} \right)\\+ )\,\,t = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \,\,\,\left( {k \in Z} \right)\end{array}$

Vậy $x = {\rm{ }}k2\pi$ hoặc $x{\rm{ }} =  \pm {\pi  \over 3} + {\rm{ }}k2\pi$ $(k\in\mathbb{Z})$.

Câu b: Ta có

$\begin{array}{l}\,\,\,2\sin 2x + \sqrt 2 \sin 4x = 0\\\Leftrightarrow 2\sin 2x + 2\sqrt 2 \sin 2x\cos 2x = 0\\\Leftrightarrow 2\sin 2x\left( {1 + \sqrt 2 \cos 2x} \right) = 0\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin 2x = 0\\1 + \sqrt 2 \cos 2x = 0\end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin 2x = 0\\\cos 2x = - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = k\pi \\2x = \pm \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{k\pi }}{2}\\x = \pm \frac{{3\pi }}{8} + k\pi \end{array} \right.\,\,\,\,\left( {k \in Z} \right)\end{array}$

Vậy nghiệm của phương trình là $x = \frac{{k\pi }}{2}$ hoặc $x =  \pm \frac{{3\pi }}{8} + k\pi \,\,\,\left( {k \in Z} \right)$.

Giải các phương trình sau

a) $sin^2(\frac{x}{2}) - 2cos(\frac{x}{2}) + 2 = 0$

b) $\small 8cos^2x + 2sinx - 7 = 0$

c) $\small 2tan^2x + 3tanx + 1 = 0$

 d) $\small tanx -2cotx + 1 = 0$

Phương pháp giải

• Sử dụng công thức lượng giác cơ bản đã học
• Đặt ẩn phụ $t = \cos \frac{x}{2}\,\,\,\left( {t \in \left[ { - 1;1} \right]} \right)$, đưa về phương trình bậc hai ẩn t, giải phương trình suy ra các nghiệm t.
• Giải các phương trình lượng giác cơ bản của cos: $\cos x = \cos \alpha  \Leftrightarrow x =  \pm \alpha  + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)$

Hướng dẫn giải

Câu a: Ta có

$\begin{array}{l} \,\,{\sin ^2}\frac{x}{2} - 2\cos \frac{x}{2} + 2 = 0\\ \Leftrightarrow 1 - {\cos ^2}\frac{x}{2} - 2\cos \frac{x}{2} + 2 = 0\\ \Leftrightarrow {\cos ^2}\frac{x}{2} + 2\cos \frac{x}{2} - 3 = 0 \end{array}$

Đặt $t = {\rm{ }}cos{x \over 2},{\rm{ }}t \in \left[ { - 1{\rm{ }};{\rm{ }}1} \right]$ thì phương trình trở thành

$\begin{array}{l}{t^2} + 2t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\t = - 3\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\\Khi\,\,t = 1 \Leftrightarrow \cos \frac{x}{2} = 1 \Leftrightarrow \frac{x}{2} = k2\pi\\ \Leftrightarrow x = k4\pi \,\,\,\left( {k \in Z} \right)\end{array}$

Vậy nghiệm của phương trình là: $x = k4\pi \,\,\,\left( {k \in Z} \right)$.

Câu b: Ta có

$\begin{array}{l}\,\,8{\cos ^2}x + 2\sin x - 7 = 0\\\Leftrightarrow 8\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) + 2\sin x - 7 = 0\\\Leftrightarrow 8{\sin ^2}x - 2\sin x - 1 = 0\end{array}$

Đặt $t = sinx, t ∈ [-1 ; 1]$ thì phương trình trở thành

$\begin{array}{l}8{t^2} - 2t - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{1}{2}\\t = - \frac{1}{4}\end{array} \right.\,\,\,\left( {tm} \right)\\+ )\,\,t = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2}  \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in Z} \right)\\+ )\,\,t = - \frac{1}{4} \Leftrightarrow \sin x = - \frac{1}{4} \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \arcsin \left( { - \frac{1}{4}} \right) + k2\pi \\x = \pi - \arcsin \left( { - \frac{1}{4}} \right) + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in Z} \right)\end{array}$

Câu c: ĐK: $\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)$

Đặt $t = tanx$ thì phương trình trở thành 

$2{t^{2}} + {\rm{ }}3t{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ t = - 1 \hfill \cr  t = - {1 \over 2} \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \matrix{ \tan x = - 1 \hfill \cr  \tan x = - {1 \over 2} \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = - {\pi \over 4} + k\pi \hfill \cr  x = \arctan \left( { - {1 \over 2}} \right) + k\pi \hfill \cr} \right.(k \in \mathbb{Z}) (tm)$

Câu d: ĐK: $\left\{ \begin{array}{l}\sin x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne k\pi \\x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}\,\,\left( {k \in Z} \right)$

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\tan x - 2\cot x + 1 = 0\\\Leftrightarrow \tan x - \frac{2}{{\tan x}} + 1 = 0\\\Leftrightarrow {\tan ^2}x + \tan x - 2 = 0\end{array}$

Đặt $t = tanx$ thì phương trình trở thành

$\begin{array}{l}{t^2} + t - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = - 2\end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = 1\\\tan x = - 2\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\x = \arctan \left( { - 2} \right) + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right) (tm)\end{array}$

Giải các phương trình sau:

a) $\small 2sin^ 2x + sinxcosx - 3cos^2x = 0$

b) $\small 3sin^2x - 4sinxcosx + 5cos^2x = 2$

c) $\small 3sin^2x - sin2x + 2cos^2x = \frac{1}{2}$

d) $\small 2cos^2x -3\sqrt{3}sin2x -4sin^2x = -4$

Phương pháp giải

Xét phương trình: $a\sin {}^2x + b\sin x\cos x + c\cos {}^2x = d$

Xét $\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$ có là nghiệm của (1) hay không

Xét $\cos x \ne 0$, chia hai vế của (1) cho ${\cos ^2}x$ ta được:

$a{\tan ^2}x + b\tan x + c = d(1 + {\tan ^2}x)$

$\Leftrightarrow \left( {a - d} \right){\tan ^2}x + b\tan x + c - d = 0$  $\left( {1'} \right)$

Đặt $t = \tan x$

Phương trình $\left( {1'} \right)$ trở thành: $(a - d){t^2} + bt + c - d = 0{\rm{   (2)}}$

Giải phương trình (2) theo t từ đó suy ra x  theo $t = \tan x$.

Hướng dẫn giải

Câu a: Ta nhận thấy cosx = 0 không là nghiệm của phương trình. Chia hai vế cho cos2x ta được:

$\Rightarrow 2tan^2x+tanx-3=0$

$\Leftrightarrow \Bigg \lbrack \begin{matrix} tan x = 1\\ \\ tan x = -\frac{3}{2} \end{matrix}$

Vậy phương trình có nghiệm $\Bigg \lbrack\begin{matrix} x= \frac{\pi }{4}+k \pi \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \\ x= arctan\left (-\frac{3}{2} \right )+k \pi \end{matrix} , k\in \mathbb{Z}$

Câu b: Ta nhận thấy cosx = 0 không là nghiệm của phương trình:

$3sin^2x+4sinxcosx+5cos^2x=2$, nên chia hai vế phương trình cho cos2x ta được: $3tan^2x-4tanx+5=2(1+tan^2x)$

$\Leftrightarrow tan^2x-4tanx+3=0$

Đặt t = tanx

Ta có phương trình $t^2-4t+3=0 \Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} t=1\\ t=3 \end{matrix}$

$t=1\Rightarrow tanx=1\Rightarrow tanx=tan\frac{\pi }{4}\Rightarrow x=\frac{\pi }{4}+k \pi, k\in \mathbb{Z}$.

$t=3\Rightarrow tanx=3\Rightarrow x= arctan(3)+k \pi, (k\in \mathbb{Z})$

Vậy phương trình có nghiệm là: $\Bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{\pi }{4}+k \pi \\ \\ x= arctan(3)+k \pi \end{matrix} , (k\in \mathbb{Z})$

Câu c: $sin^2x+sin2x-2cos^2x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow sin^2x+2sinxcosx-2cos^2x=\frac{1}{2}$  (3)

$cosx=0\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2}+k \pi, k\in \mathbb{Z}$ không là nghiệm của (3)

$cosx\neq 0$, chia hai vế của (3) cho $cos^2x$, ta được:

$\frac{sin^2x}{cos^2x}+\frac{2sinx}{cosx}-2=\frac{1}{2cos^2x}\Rightarrow tan^2x+2tanx-2=\frac{1}{2}(1+tan^2x)$

$\Rightarrow 2tan^2x+4tanx-4=1+tan^2x$

$\Rightarrow tan^2x +4tanx-5=0$

Đặt t = tanx, ta có phương trình

$t^2+4t-5=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} t=1\\ t=-5 \end{matrix}$

$t=1\Rightarrow tanx=1\Rightarrow x=\frac{\pi }{4}+k \pi, k\in \mathbb{Z}$

$t=-5 \Rightarrow tanx=-5\Rightarrow x=arctan(-5)+k\pi, k\in \mathbb{Z}$

Vậy phương trình có nghiệm $\bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{\pi }{4}+k \pi \\ \\ x=arctan(-5)+k\pi \end{matrix}, k\in \mathbb{Z}$

Câu d: $2cos^2x - 3\sqrt{3}sin2x - 4sin^2x = -4$

$\Leftrightarrow 2cos^2x - 6\sqrt{3}sinxcosx -4(1-cos^2x)+4= 0$

$\Leftrightarrow 2cos^2x - 6\sqrt{3}sinxcosx - 4+4cos^2x+4= 0$

$\Leftrightarrow 6cos^2x-6\sqrt{3}sinxcosx=2$

$\Leftrightarrow 6cosx(cosx - \sqrt{3}sinx) = 0$

$\Bigg \lbrack\begin{matrix} cosx=0\\ \\ cosx-\sqrt{3}sinx=0 \end{matrix}\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{\pi }{2}+k\pi,k\in \mathbb{Z}\\ \\ cosx=\sqrt{3}sinx \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{\pi }{2}+k\pi, k\in \mathbb{Z}\\ \\ tanx=\frac{1}{\sqrt{3}} \end{matrix}\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{\pi }{2}+k\pi\\ \\ x=\frac{\pi }{6}+k\pi \end{matrix}, k\in \mathbb{Z}$

Vậy phương trình có nghiệm là $\Bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{\pi }{2}+k\pi\\ \\ x=\frac{\pi }{6}+k\pi \end{matrix}, k\in \mathbb{Z}$

Giải các phương trình sau

a) $\small cosx - \sqrt{3}sinx = \sqrt{2}$

b) $\small 3sin3x - 4cos3x = 5$

c) $\small 2sin2x + 2cos2x -\sqrt{2} = 0$

d) $\small 5cos2x + 12sin2x - 13 = 0$ 

Phương pháp giải

Xét phương trình: $a\sin x + b\cos x = c{\rm{  (1)}}$

Điều kiện có nghiệm: ${a^2} + {b^2} \ge {c^2}$

Chia hai vế của (1) cho $\sqrt {{a^2} + {b^2}}$, ta được:

$\left( 1 \right) \Leftrightarrow \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x + \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$

Vì ${\left( {\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} \right)^2} + {\left( {\frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} \right)^2} = 1$ nên ta đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin \varphi  = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}}\\{\cos \varphi  = \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}}\end{array}} \right.$

Phương trình trở thành

$\sin x\sin \varphi  + \cos x\cos \varphi  = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \Leftrightarrow \cos \left( {x - \varphi } \right) = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$

Đặt $\cos \alpha  = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$ ta được phương trình lượng giác cơ bản.

Hoàn toàn tương tự ta cũng có thể đặt $\left\{ \begin{array}{l}\cos \varphi  = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\\\sin \varphi  = \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\end{array} \right.$

Khi đó phương trình trở thành: ${\mathop{\rm sinxcos}\nolimits} \varphi  + cosxsin\varphi  = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \Leftrightarrow \sin \left( {x + \varphi } \right) = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$

Hướng dẫn giải

Câu a: $\cos x - \sqrt 3 \sin x = \sqrt 2$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{1}{2}\cos x - \frac{{\sqrt 3 }}{2}{\mathop{\rm sinx}\nolimits}  = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\ \Leftrightarrow \sin \frac{\pi }{6}.\cos x - \cos \frac{\pi }{6}.\sin x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\ \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) = \sin \frac{\pi }{4}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{6} - x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\\frac{\pi }{6} - x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \\x =  - \frac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}.\end{array}$

Câu b: $3\sin 3x - 4\cos 3x = 5 \Leftrightarrow \frac{3}{5}\sin 3x - \frac{4}{5}\cos 3x = 1.$

Đặt $\cos \alpha  = \frac{3}{5},\,\sin \alpha  = \frac{4}{5},$ suy ra:

$\sin (3x - \alpha ) = 1 \Leftrightarrow 3x - \alpha  = \frac{\pi }{2} + k2\pi  \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + \frac{\alpha }{3} + k\frac{{2\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}.$

Câu c

$\begin{array}{l}2\sin x + 2{\mathop{\rm cosx}\nolimits}  - \sqrt 2  = 0\\ \Leftrightarrow \sin x + \cos x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\ \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\ \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x + \frac{\pi }{4} = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \\x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}.\end{array}$

Câu d

$\begin{array}{l}5\cos 2x + 12\sin 2x - 13 = 0\\ \Leftrightarrow 12\sin 2x + 5\cos 2x = 13\\ \Leftrightarrow \frac{{12}}{{13}}\sin 2x + \frac{5}{{13}}\cos 2x = 1\end{array}$

$\Leftrightarrow \sin (2x + \alpha ) = 1$  $\left( {\sin \alpha  = \frac{5}{{13}};\,\cos \alpha  = \frac{{12}}{{13}}} \right)$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2x + \alpha  = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} - \frac{\alpha }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\end{array}$

Giải phương trình

a) $\small tan(2x + 1) tan(3x - 1) = 1$

b) $\small tanx + tan(x + \frac{\pi }{4}) = 1$

Phương pháp giải

Câu a: Sử dụng công thức $\tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}}$ và $\cos (a + b) = \cos a.\cos b - \sin a.\sin b$ để biến đổi phương trình.

Câu b: Sử dụng công thức $\tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}}$; $\sin (a + b) = \sin a.\cos b + {\mathop{\rm cosa}\nolimits} .\sin b$ và $\cos a.\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\cos (a + b) + \cos (a - b)} \right]$ để biến đổi phương trình

Hướng dẫn giải

Câu a: Với điều kiện

$\left\{\begin{matrix} 2x+1\neq \frac{\pi }{2}+k \pi\\ \\ 3x-1\neq \frac{\pi }{2}+k \pi \end{matrix}\right. , k\in \mathbb{Z}$ hay $\left\{\begin{matrix} x\neq \frac{\pi }{4}-\frac{1}{2}+\frac{k \pi}{2}\\ \\ x\neq \frac{\pi }{6}+\frac{1}{2}+\frac{k \pi}{3} \end{matrix}\right. , k\in \mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow tan(2x + 1) tan(3x - 1) = 1$

(1) $\Leftrightarrow \frac{sin(2x+1)sin(3x-1)}{cos(2x+1)cos(2x-1)}=1$

$\Rightarrow \cos(2x+1) \cos(3x-1)-\sin(2x+1) \sin(3x-1) =0$

$\Leftrightarrow cos(2x+1+3x-1)\Leftrightarrow cos5x=0$

$\Leftrightarrow 5x=\frac{\pi }{2}+k\pi,k\in \mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{10}+\frac{k \pi}{5},k\in \mathbb{Z}$ (thoả điều kiện)

Vậy phương trình có nghiệm $x=\frac{\pi }{10}+\frac{k \pi}{5},k\in \mathbb{Z}.$

Câu b: Điều kiện $\left\{\begin{matrix} cosx\neq 0\\ cos(x+\frac{\pi }{4})\neq 0 \end{matrix}\right.$

Khi đó $tanx+tan\left ( x+\frac{\pi }{4} \right )=1$

$\Leftrightarrow sinx.cos\left ( x+\frac{\pi }{4} \right )+cosx.sin\left ( x+\frac{\pi }{4} \right )= cosx.cos\left ( x+\frac{\pi }{4} \right )$

$\Leftrightarrow sin\left ( 2x+\frac{\pi }{4} \right )=\frac{1}{2} \left [ cos\left ( 2x+\frac{\pi }{4} \right ) +cos \left ( - \frac{\pi }{4}\right )\right ]$

$\Leftrightarrow 2sin\left ( 2x+\frac{\pi }{4} \right )-cos\left (2 x+\frac{\pi }{4} \right )= \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{2}{\sqrt{5}}sin\left ( 2x+\frac{\pi }{4} \right ) -\frac{1}{\sqrt{5}}cos \left (2x+\frac{\pi }{4} \right )=\frac{\sqrt{2}}{10}$

$\Leftrightarrow sin\left (2x+\frac{\pi }{4} -\alpha \right )=\frac{\sqrt{2}}{10}$

$\Leftrightarrow \Bigg \lbrack \begin{matrix} 2x+\frac{\pi }{4}-\alpha = arcsin \frac{\sqrt{2}}{10} + k2 \pi\\ \\ 2x+\frac{\pi }{4}-\alpha = \pi - arcsin \frac{\sqrt{2}}{10} + k2 \pi \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \Bigg \lbrack \begin{matrix} x= \frac{\alpha }{2}-\frac{\pi }{8}+ \frac{1}{2}arcsin \frac{\sqrt{2}}{10} + k\pi\\ \\ x = \frac{\alpha }{2}+\frac{3\pi }{8}- \frac{1}{2} arcsin \frac{\sqrt{2}}{10} + k\pi \end{matrix}, k\notin \mathbb{Z}$