Toán 8 Ôn tập chương 3: Tam giác đồng dạng

   - Tỉ số của hai đoạn thẳng là tỉ số độ dài của chúng theo cùng một đơn vị đo.

   - Tỉ số của hai đoạn thẳng không phụ thuộc vào cách chọn đơn vị đo.

Hai đoạn thẳng AB và CD tỉ lệ với hai đoạn thẳng A'B' và C'D' nếu có tỉ lệ thức:

$\frac{{AB}}{{C{\rm{D}}}} = \frac{{A'B'}}{{C'D'}}$ hay $\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{C{\rm{D}}}}{{C'D'}}$

Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

$B'C'\parallel BC \Rightarrow \frac{{AB'}}{{AB}} = \frac{{AC'}}{{AC}};\,\frac{{AB'}}{{B'B}} = \frac{{AC'}}{{C'C}};\,\frac{{AB}}{{B'B}} = \frac{{AC}}{{C'C}}$

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.

$\frac{{AB'}}{{B'B}} = \frac{{AC'}}{{C'C}} \Rightarrow B'C'\parallel BC$

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.

$B'C'\parallel BC \Rightarrow \frac{{AB'}}{{AB}} = \frac{{AC'}}{{AC}} = \frac{{B'C'}}{{BC}}$

Chú ý: Hệ quả trên vẫn đúng cho trường hợp đường thẳng song song với một cạnh và cắt phần kéo dài của hai cạnh còn lại.

Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy.

AD, AE là các phân giác trong và ngoài của góc $\widehat {BAC}$, suy ra:

$\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{EB}}{{EC}}$

a. Định nghĩa: Tam giác A'B'C' gọi là đồng dạng với tam giác ABC nếu:

$\widehat {A'} = \widehat A,\widehat {B'} = \widehat B,\widehat {C'} = \widehat C;\frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{{B'C'}}{{BC}} = \frac{{C'A'}}{{CA}}$

b. Định lí: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với hai cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho

Chú ý: Định lí trên cũng đúng trong trường hợp đường thẳng a cắt phần kéo dài hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại.

Trường hợp 1: Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

Trường hợp 2: Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

Trường hợp 3: Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

Trường hợp 1: Nếu tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

Trường hợp 2: Nếu tam giác vuông này có hai cạnh góc vuông tỉ lệ với  hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

Trường hợp 3: Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

• Nếu hai tam giác đồng dạng với nhau thì:
• Tỉ số hai đường cao tương ứng bằng tỉ số đồng dạng.
• Tỉ số hai đường phân giác tương ứng bằng tỉ số đồng dạng.
• Tỉ số hai đường trung tuyến tương ứng bằng tỉ số đồng dạng.
• Tỉ số các chu vi bằng tỉ số đồng dạng.
• Tỉ số các diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng.

Xác định tỉ số của hai đoạn thẳng $AB$ và $DC$ trong các trường hợp sau:

a) $AB = 5cm, CD = 15 cm;$ 

b) $AB = 45 dm, CD = 150 cm;$

c) $AB = 5CD.$ 

Hướng dẫn giải

a) $AB  = 5cm$ và $CD = 15cm$

$\Rightarrow \dfrac{{AB}}{{CD}} = \dfrac{5}{{15}} = \dfrac{1}{3}$

b) $AB = 45dm = 450cm$ và $CD = 150 cm$

$\Rightarrow \dfrac{{AB}}{{CD}} = \dfrac{{450}}{{150}} = 3$

c) $AB = 5CD$ $\Rightarrow \dfrac{{AB}}{{CD}} = \dfrac{{5CD}}{{CD}} = 5$

Cho tam giác $ABC (AB < AC)$. Vẽ đường cao $AH$, đường phân giác $AD$, đường trung tuyến $AM$. Có nhận xét gì về vị trí của ba điểm $H, D, M$.

Hướng dẫn giải

+ Nhận xét: $D$ luôn nằm giữa $H$ và $M$.

+ Chứng minh:

$AD$ là đường phân giác của $∆ABC$.

$\Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{DB}}{{DC}}$ (tính chất đường phân giác của tam giác)

Mà $AB < AC$ (giả thiết)

$\Rightarrow DB < DC$ $\Rightarrow  DB + DC < DC + DC$

$\Rightarrow BD + DC < 2DC$ hay $BC < 2DC$ 

$\Rightarrow  DC >\dfrac{{BC}}{2}$

Mà $MC = \dfrac{{BC}}{2}$ ($M$ là trung điểm của $BC$)

$\Rightarrow DC > MC$ $\Rightarrow M$ nằm giữa $D$ và $C$ (1)

+ Mặt khác: $\widehat {CAH} = {90^0} - \hat C$ ($∆CAH$ vuông tại $H$)

$\hat A + \hat B + \hat C = {180^0}$ (tổng 3 góc ∆ABC)

$\Rightarrow \widehat {CAH} = \dfrac{{\widehat A + \widehat B + \widehat C}}{2} - \widehat C$

$\Rightarrow \widehat {CAH} = \dfrac{{\widehat A}}{2} + \dfrac{{\widehat B}}{2} - \dfrac{{\widehat C}}{2}$$\, = \dfrac{{\widehat A}}{2} + \dfrac{{\widehat B - \widehat C}}{2}$

Vì $AB < AC$ $\Rightarrow \widehat C < \widehat B \Rightarrow \widehat B - \widehat C > 0$

Do đó: $\widehat {CAH} >  \dfrac{{\widehat A}}{2}$ hay $\widehat {CAH} > \widehat {CAD}$

$\Rightarrow$ Tia $AD$ nằm giữa hai tia $AH$ và $AC$

Do đó $D$ nằm giữa hai điểm $H$ và $C$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $D$ nằm giữa $H$ và $M.$

Tứ giác $ABCD$ có $AB = 4cm, BC = 20 cm$, $CD = 25 cm, DA = 8cm$, đường chéo $BD = 10cm$.

a) Nêu cách vẽ tứ giác $ABCD$ có kích thước đã cho ở trên.

b) Các tam giác $ABD$ và $BDC$ có đồng dạng với nhau không? Vì sao?

c) Chứng minh rằng $AB // CD$.

Hướng dẫn giải

a) Cách vẽ:

- Vẽ $ΔBDC$:

   + Vẽ $DC = 25cm$

   + Vẽ cung tròn tâm $D$ có bán kính $10cm$ và cung tròn tâm $C$ có bán kính $20cm$. Giao điểm của hai cung tròn là $B$.

- Vẽ điểm A: Vẽ cung tròn tâm $B$ có bán kính $4cm$ và cung tròn tâm $D$ có bán kính $8cm$. Giao điểm của hai cung tròn này là điểm $A$. Nối các cạnh BD, BC, DA, BA. 

Vậy là ta đã vẽ được tứ giác $ABCD$ thỏa mãn điều kiện đề bài.

b) Ta có: $\dfrac{{AB}}{{BD}} = \dfrac{4}{{10}} = \dfrac{2}{5};$ $\dfrac{{BD}}{{DC}} = \dfrac{{10}}{{25}} = \dfrac{2}{5};$ $\dfrac{{AD}}{{BC}} = \dfrac{8}{{20}} = \dfrac{2}{5}$

$\Rightarrow \dfrac{{AB}}{{BD}} = \dfrac{{BD}}{{DC}} = \dfrac{{AD}}{{BC}}$

$\Rightarrow \Delta AB{\rm{D}} \backsim \Delta B{\rm{D}}C\left( {c - c - c} \right)$

c) $∆ABD∽ ∆BDC$ (chứng minh trên)

$\Rightarrow \widehat {ABD} = \widehat {BDC}$, mà hai góc ở vị trí so le trong.

$\Rightarrow AB // DC$ hay $ABCD$ là hình thang.

Câu 1: Cho tam giác $ABC.$

a) Tìm trên cạnh $AB$ điểm $M$ sao cho $\displaystyle {{AM} \over {MB}} = {2 \over 3}$; tìm trên cạnh $AC$ điểm $N$ sao cho $\displaystyle {{AN} \over {NC}} = {2 \over 3}$

b) Vẽ đoạn thẳng $MN.$ Hỏi rằng hai đường thẳng $MN$ và $BC$ có song song với nhau không? Vì sao?

c) Cho biết chu vi và diện tích tam giác $ABC$ thứ tự là $P$ và $S.$ Tính chu vi và diện tích tam giác $AMN.$

Câu 2: Tứ giác $ABCD$ có hai góc vuông tại đỉnh $A$ và $C,$ hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $O,$ $\widehat {BAO} = \widehat {BDC}$ (h.37)

Chứng minh:

a) $∆ ABO$ đồng dạng $∆ DCO$.

b) $∆ BCO$ đồng dạng $∆ ADO$.

Câu 3: Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB = a = 12 cm,$ $BC = b = 9cm.$ Gọi $H$ là chân đường vuông góc kẻ từ $A$ xuống $BD$ (h.38)

a) Chứng minh $∆ AHB$ đồng dạng $∆ BCD;$

b) Tính độ dài đoạn thẳng $AH$;

c) Tính diện tích tam giác $AHB.$

Câu 4: Tứ giác $ABCD$ có hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $O,$ $\widehat {ABD} = \widehat {ACD}$. Gọi $E$ là giao điểm của hai đường thẳng $AD$ và $BC$ (h.39)

Chứng minh rằng :

a) $∆ AOB$ đồng dạng $∆ DOC$

b) $∆ AOD$ đồng dạng $∆ BOC$

c) $EA.ED = EB.EC$.

Câu 1: ΔABC∽ΔDEF theo tỉ số k1, ΔMNP∽ΔDEF theo tỉ số k2. Vậy ΔABC∽ΔMNP theo tỉ số nào?

A. k1.

B. $\frac{k2}{k1}$

C. k1k2

D. $\frac{k1}{k2}$

Câu 2: Cho đoạn AC vuông góc với CE. Nối A với trung điểm D của CE và E với trung điểm B của AC, AD và EB cắt nhau tại F. Cho BC = CD = 15cm. Tính diện tích tam giác DEF theo đơn vị $cm^{2}$?

A. 50

B. $50\sqrt{2}$

C. 75

D. $\frac{15}{2}\sqrt{105}$

Câu 3: Cho ΔABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi I và K lần lượt là hình chiếu của H lên AB và AC. Tam giác AIK đồng dạng với tam giác nào dưới đây? 

A. ACB           

B. ABC

C. CAB

D. BAC

Câu 4: Cho ΔABC cân tại A, có BC = 2a, M là trung điểm BC, lấy D, E thuộc AB, AC sao cho $\widehat{DME } = \widehat{ABC}$. Góc $\widehat{BMD}$ bằng với góc nào dưới đây?          

A. $\widehat{DEM}$

B. $\widehat{MDE}$

C. $\widehat{ADE}$

D. $\widehat{AED}$

Câu 5: Cho ΔABC có AB = 15 cm, AC = 20 cm, BC = 25 cm. Đường phân giác $\widehat{BAC}$ cắt BC tại D. Tỉ số diện tích của ΔABD và ΔACD là?

A. $\frac{1}{4}$

B. $\frac{1}{2}$

C. $\frac{3}{4}$

D. $\frac{1}{3}$

Qua bài học này, các em nắm được một số nội dung chính như sau:

• Nắm vững định nghĩa tỉ số của hai đoạn thẳng và định nghĩa đoạn thẳng tỉ lệ
• Nắm vững nội dung của định lí Ta-let(thuận), vận dụng định lí vào việc tìm ra các tỉ số bằng nhau trên hình vẽ trong SGK.