Toán 9 Ôn tập chương 3: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương trình bậc nhất hai ẩn là phương trình đường thẳng có dạng \(ax+by=c\)

Trong đó: hệ số a, b, c cho trước và a;b không đồng thời bằng 0.

Về tập nghiệm

Phương trình bậc nhất hai ẩn có vô số nghiệm nhưng đều phụ thuộc lẫn nhau

Nói cách khác, nghiệm của hệ được viết dưới dạng \(\left\{\begin{matrix} x\epsilon \mathbb{R}\\ y=-\frac{a}{b}x+\frac{c}{b} \end{matrix}\right. (b\neq 0)\)

Hệ được viết dưới dạng:

\(\left\{\begin{matrix} ax+by=c\\ a'x+b'y=c' \end{matrix}\right.(1)\)

Chúng là các phương trình đường thẳng

Các vị trí tương đối của hai phương trình đường thẳng gồm:

2 đường thẳng cắt nhau thì (1) có nghiệm duy nhất

2 đường thẳng trùng nhau thì (1) có vô số nghiệm

2 đường thẳng song song thì (1) vô nghiệm

a) Phương pháp thế

Biến đổi hệ phương trình đã cho thành hệ mới, và trong đó một phương trình có một ẩn

Tìm ra ẩn đó rồi suy ra nghiệm của hệ

b) Phương pháp cộng đại số

Nhân hai vế của một phương trình với hằng số thích hợp sao cho hệ số một ẩn nào đó bằng nhau hoặc đối nhau

Cộng hoặc trừ theo vế nhằm triệt tiêu một ẩn

Tìm ra ẩn đó rồi suy ra nghiệm của hệ

Bước 1: Lập hệ phương trình

• Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn
• Biểu đạt các đại lượng khác nhau theo ẩn
• Dựa vào đề bài toán, lập phương trình theo dạng đã học

Bước 2: Giải hệ phương trình

Bước 3: So sánh kết quả tìm được và chọn nghiệm thích hợp

Trong các cặp số sau \((-2;1),(-3;-4),(4;3),(3;0)\) cặp nào là nghiệm của phương trình \(2x-3y=6\)

Hướng dẫn giải

Thế lần lượt các nghiệm vào phương trình trên, ta được 

\(2(-2)-3.1=-7\)

\(2(-3)-3.(-4)=6\)

\(2.4-3.3=1\)

\(2.3-3.0=6\)

Vậy, ta chỉ nhận hai cặp đó là \((-3;-4),(3;0)\)

Không vẽ hình, hãy cho biết số nghiệm của mỗi hệ sau và giải thích

\(\left\{\begin{matrix} y=2x-5\\ y=3-x \end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix} y=\frac{1}{2}x+6\\ y=5-2x \end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix} y=10x+2017\\ y=10x-3 \end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix} y=2x+1\\ 2x-y+1=0 \end{matrix}\right.\)

Hướng dẫn giải

\(\left\{\begin{matrix} y=2x-5\\ y=3-x \end{matrix}\right.\)

Nhận thấy rằng hệ trên gồm 2 đường thằng, có hệ số góc khác nhau, nên cắt nhau tại 1 điểm, vậy hệ có 1 nghiệm

\(\left\{\begin{matrix} y=\frac{1}{2}x+6\\ y=5-2x \end{matrix}\right.\)

Tương tự với hệ trên, tuy nhiên có 1 điều đặc biệt đó là tích hai hệ số góc là \(\frac{1}{2}.(-2)=-1\) nên nếu dùng phương pháp hình học, ta thấy rằng chúng vuông góc với nhau.

\(\left\{\begin{matrix} y=10x+2017\\ y=10x-3 \end{matrix}\right.\)

Hệ này gồm hai phương trình có hệ số \(a=a';b\neq b'\) nên chúng song song với nhau vô nghiệm.

\(\left\{\begin{matrix} y=2x+1\\ 2x-y+1=0 \end{matrix}\right.\)

Biến đổi tương đương ta được: \(\left\{\begin{matrix} y=2x+1\\y=2x+1 \end{matrix}\right.\)

Hệ này gồm hai phương trình có hệ số \(a=a';b=b'\) nên chúng trùng nhau và có vô số nghiệm.

Giải hệ bằng phương pháp thế: \(\left\{\begin{matrix} x-y=8\\ 5x+4y=-2 \end{matrix}\right.\); \(\left\{\begin{matrix} 3x+2y=10\\ -x+4y=-9 \end{matrix}\right.\)

Hướng dẫn giải

\(\left\{\begin{matrix} x-y=8\\ 5x+4y=-2 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y+8\\ 5x+4y=-2 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y+8\\ 5(y+8)+4y=-2 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y+8\\ 9y=-42 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y+8\\ y=-\frac{42}{9} \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{10}{3}\\ y=-\frac{42}{9} \end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix} 3x+2y=10\\ -x+4y=-9 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3x+2y=10 \\ x=9+4y \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3(4y+9)+2y=10 \\ x=9+4y \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 14y=-17 \\ x=9+4y \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=-\frac{17}{14} \\ x=9+4y \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=\frac{29}{7} \\ y=-\frac{17}{14} \end{matrix}\right.\)

Giải hệ bằng phương pháp cộng đại số: \(\left\{\begin{matrix} x-3y=10\\ 2x+y=0 \end{matrix}\right.\);\(\left\{\begin{matrix} 4x-y=8\\ -x+2y=-2 \end{matrix}\right.\)

Hướng dẫn giải

\(\left\{\begin{matrix} x-3y=10\\ 2x+y=0 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x-6y=20\\ 2x+y=0 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -7y=20\\ 2x+y=0 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=-\frac{20}{7}\\ 2x+y=0 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{10}{7}\\ y=-\frac{20}{7} \end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix} 4x-y=8\\ -x+2y=-2 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 8x-2y=16\\ -x+2y=-2 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 7x=14\\ -x+2y=-2 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=2\\ -x+2y=-2 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=2\\ y=0 \end{matrix}\right.\)

Tìm hai số tự nhiên, biết rằng tổng của chúng là 1006, nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ ta được thương là 2 và dư 124

Hướng dẫn giải

Gọi hai số tự nhiên cần tìm là \(a,b(a,b\epsilon \mathbb{N};a>b>124)\)

Theo đề, ta có: \(\left\{\begin{matrix} a+b=1006\\ a=2b+124 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2b+124+b=1006\\ a=2b+124 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3b=882\\ a=2b+124 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b=294\\ a=2b+124 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b=294\\ a=712 \end{matrix}\right.\)

Câu 1: Giải các hệ phương trình sau:

a) \(\left\{ {\matrix{
{4x + y = - 5} \cr 
{3x - 2y = - 12} \cr} } \right.\)

b) \(\left\{ {\matrix{
{x + 3y = 4y - x + 5} \cr 
{2x - y = 3x - 2\left( {y + 1} \right)} \cr} } \right.\)

c) \(\left\{ {\matrix{
{3\left( {x + y} \right) + 9 = 2\left( {x - y} \right)} \cr 
{2\left( {x + y} \right) = 3\left( {x - y} \right) - 11} \cr} } \right.\)

Câu 2: Giải các hệ phương trình sau:

a) \(\left\{ {\matrix{
{\sqrt 3 x - 2\sqrt 2 y = 7} \cr 
{\sqrt 2 x + 3\sqrt 3 y = - 2\sqrt 6 } \cr} } \right.\)

b) \(\left\{ {\matrix{
{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)x - \left( {2 - \sqrt 3 } \right)y = 2} \cr 
{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)x + \left( {\sqrt 2 - 1} \right)y = 2} \cr} } \right.\)

Câu 3: Tìm các giá trị của \(a\) và \(b\) để hệ phương trình:

\(\left\{ {\matrix{
{ax + by = 3} \cr 
{2ax - 3by = 36} \cr} } \right.\)

có nghiệm là \((3; -2).\)

Câu 4: Tìm một số có hai chữ số biết rằng \(2\) lần chữ số hàng chục lớn hơn \(5\) lần chữ số hàng đơn vị là \(1\) và chữ số hàng chục chia cho chữ số hàng đơn vị được thương là \(2\) và dư cũng là \(2.\)

Câu 1: Giải hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} x=2y+1\\ x-2y+5=0 \end{matrix}\right.\) ta nhận được nghiệm của hệ là:

A. \((1;0)\)

B. \((3;1)\)

C. \((5;2)\)

D. Hệ vô nghiệm

Câu 2: Tính độ dài hai cạnh góc vuông, biết rằng tăng mỗi cạnh lên \(3(cm)\) thì diện tích sẽ tăng lên \(36(cm^2)\). Nếu giảm một cạnh đi \(2(cm)\) một cạnh đi \(4(cm)\) thì diện tích sẽ giảm \(26(cm^2)\).

A. \((5;7)\)

B. \((8;16)\)

C. \((12;9)\)

D. \((15;18)\)

Câu 3: Cho hai phương trình đường thẳng \(y=2x-3\) và \(x-y=1\).Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng đó là:

A. \((4;3)\)

B. \((3;4)\)

C. \((-3;4)\)

D. \((4;-3)\)

Câu 4: Nghiệm của hệ \(\left\{\begin{matrix} x-y\sqrt{3}=0\\ x\sqrt{3}+2y=3\sqrt{2} \end{matrix}\right.\) là: 

A. \(\left\{\begin{matrix} x=-\frac{3\sqrt{6}}{5}\\ y=\frac{3\sqrt{2}}{5} \end{matrix}\right.\)

B. \(\left\{\begin{matrix} x=-\frac{3\sqrt{6}}{5}\\ y=-\frac{3\sqrt{2}}{5} \end{matrix}\right.\)

C. \(\left\{\begin{matrix} x=\frac{3\sqrt{6}}{5}\\ y=\frac{3\sqrt{2}}{5} \end{matrix}\right.\)

D. \(\left\{\begin{matrix} x=\frac{3\sqrt{6}}{5}\\ y=-\frac{3\sqrt{2}}{5} \end{matrix}\right.\)

Câu 5: Tìm một số có hai chữ số, biết rằng: Nếu lấy số đó nhân với tổng hai chữ số ấy ta được tích là 115. Nếu lấy số đó đảo ngược lại và vẫn đem nhân cho tổng hai chữ số ấy ta được tích là 60.

A. 14

B. 41

C. 23

D. 32

Qua bài học này giúp học sinh:

• Hệ thống lại kiến thức một cách dễ dàng.
• Hiểu được tập hợp nghiệm của một phương trình bậc nhất hai ẩn và biểu diễn hình học của nó.
• Biết cách tìm công thức nghiệm tổng quát và vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn.