Giải bài tập SGK Toán 10 Bài 3: Tích của vectơ với một số

Cho hình bình hành ABCD. Chứng mỉnh rằng

 \(\overrightarrow{AB}\) \(+\) \(\overrightarrow{AC}\) \(+\) \(\overrightarrow{AD}\) \(=2\overrightarrow{AC}\)

Phương pháp giải

Quy tắc hình bình hành: Nếu cho ABCD là hình bình hành thì: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} .\)

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD}  = (\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} ) + \overrightarrow {AC} \,\,(1)\)

Theo quy tắc hình bình hành ta có:

\(\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AC} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\)

Từ (1) và (2) ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AC} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD}  = 2\overrightarrow {AC} \end{array}\)

2. Giải bài 2 trang 17 SGK Hình học 10

Cho AK và BM là hai trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích các vectơ \( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AC}\), theo hai vectơ sau \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AK},\overrightarrow{v}=\overrightarrow{BM}\).

Phương pháp giải

• Sử dụng tính chất của đường trung tuyến.
• Với 3 điểm \(A, \, \, B, \, \, C\) bất kì ta luôn có: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC} .\)

Hướng dẫn giải

Do tính chất trung điểm nên từ giả thiết ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}2\overrightarrow {AK}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} \\2\overrightarrow {BM}  = \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC} \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {CA}  = 2\vec u\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\ - \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = 2\vec v\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\)

Mặt khác, ta có: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CA}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CA} \)

\( \Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CA}  = \vec 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)\)

Từ (1) và (2) ta có:

\((\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {CA} ) + ( - \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC} ) = 2\vec u + 2\vec v\)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {CA}  - \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = 2\vec u + 2\vec v\)

\( \Leftrightarrow  - \overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {BC}  = 2\vec u + 2\vec v\) (4)

Từ (2) và (3) ta có:

\( - \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CA}  = 2\vec v\)

\( \Leftrightarrow 2\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CA}  = 2\vec v\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(5)\)

Từ (4) và (5) suy ra:

\( - \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  + 2\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CA}  = 2\vec u + 2\vec v + 2\vec v\)

\( \Leftrightarrow 3\overrightarrow {BC}  = 2\vec u + 4\vec v \Leftrightarrow \overrightarrow {BC}  = \frac{2}{3}\vec u + \frac{4}{3}\vec v\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(6)\)

Từ (5) và (6) ta có

\(\frac{4}{3}\vec u + \frac{8}{3}\vec v\, + \overrightarrow {CA}  = 2\vec v \Rightarrow \overrightarrow {CA}  =  - \frac{4}{3}\vec u + \frac{2}{3}\vec v\,\,\,\,\,\,\,\,\,(7)\)

Từ (7) và (1), ta có được:

\(\overrightarrow {AB}  + \frac{4}{3}\vec u + \frac{2}{3}\vec v = 2\vec u \Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  = \frac{2}{3}\vec u - \frac{2}{3}\vec v\)

Kết luận

\(\overrightarrow {AB}  = \frac{2}{3}\vec u - \frac{2}{3}\vec v\)

\(\overrightarrow {BC}  = \frac{2}{3}\vec u + \frac{4}{3}\vec v\)

\(\overrightarrow {CA}  =  - \frac{4}{3}\vec u - \frac{2}{3}\vec v\)

Trên đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác ABC lấy một điểm M sao cho \( \overrightarrow{MB}=3\overrightarrow{MC}\). Hãy phân tích vectơ  \(\overrightarrow{AM}\) theo hai vectơ  \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}\).

Phương pháp giải

Với 3 điểm \(A, \, \, B, \, \, C\) bất kì ta luôn có: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC} .\)

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CM} \,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\)

Vì \(\overrightarrow {CM} \) cùng hướng với \(\overrightarrow {BC} ,\) hơn nữa \(\left| {\overrightarrow {BC} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {CM} } \right|,\) nên

\(\overrightarrow {CM}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC}  = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} )\,\,\,\,\,\,(2)\)

Từ (1) và (2) ta có

\(\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AC}  + \frac{1}{2}(\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} ) \Leftrightarrow \overrightarrow {AM}  = \frac{3}{2}\overrightarrow {AC}  - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} .\)

Vậy \(\overrightarrow {AM}  = \frac{3}{2}\vec v - \frac{1}{2}\vec u.\)

Gọi AM là trung tuyến của tam giác ABC  và D là trung điểm của đạn AM. Chứng minh rằng:

a) \(2\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}\)

b) \(2\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = 4\overrightarrow {OD} \), với \(O\) là điểm tùy ý

Phương pháp giải

ới \(M\) là trung điểm của \(AB\) ta có:

+) \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  = \overrightarrow 0 .\)

+) Với mọi điểm \(O\) bất kì ta có: \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  = 2\overrightarrow {OM} .\)

Hướng dẫn giải

Câu a

Vì \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên:

Ta có

\(\overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {DC}  = 2\overrightarrow {DM} \)

Mặt khác, do \(D\) là trung điểm của đoạn \(AM\) nên

\(\overrightarrow {DM}  =  - \overrightarrow {DA} \) \(\Leftrightarrow \overrightarrow {DM}  + \overrightarrow {DA}  = \overrightarrow 0 \)

Khi đó: \(2\overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {DC}  = 2\overrightarrow {DA}  + 2\overrightarrow {DM}  \)\(= 2\left( {\overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {DM} } \right) = \overrightarrow 0 \)

Câu b: Ta có

 \(2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=4\overrightarrow{OD}\) \(\Leftrightarrow 2(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OD})+( \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OD})+( \overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD})=\overrightarrow{0}\)

\(\Leftrightarrow 2 \overrightarrow{DA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}= \overrightarrow{0}\)luôn đúng theo câu a

Vậy:\(\Leftrightarrow 2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}= 4\overrightarrow{OD}\), với O là điểm tùy ý

Gọi M và N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD của tứ giác ABCD. Chứng minh rằng: \(2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}= \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}\)

Phương pháp giải

Với \(M\) là trung điểm của \(AB\) ta có

• \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  = \overrightarrow 0 .\)
• Với mọi điểm \(O\) bất kì ta có: \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  = 2\overrightarrow {OM} .\)

Hướng dẫn giải

N là trung điểm của CD

\(2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}\)        (1)

Theo quy tắc 3 điểm, ta có:

\(\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AC}\)             (2)

\(\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BD}\)           (3)

Từ (1), (2), (3) ta có:  \(2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}+ \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\)

vì M là trung điểm của Ab nên:  \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}\)

Suy ra:  \(2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}\)

Chứng minh tương tự, ta có  \(2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}\)

Chú ý: Sau khi chứng minh \(2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}\)ta chỉ cần chứng minh thêm \(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}= \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}\) cũng được

Ta có: \(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}= \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}\) \(=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}= \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA}\)

Vì \(\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0}\)nên ta có: \(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}= \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}\) và \(2 \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}= \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}\)

Cho hai điểm phân biệt A và B. Tìm điểm K sao cho \(3\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{0}\)

Phương pháp giải

Với 3 điểm \(A, \, B, \, C\) ta có \(\overrightarrow {AB}  = k\overrightarrow {AC} \) thì \(A, \, B, \, C\) thẳng hàng.

+) Nếu \(k>0\) thì \(\overrightarrow {AB} \) và \( \overrightarrow {AC}\) cùng hướng.

+) Nếu \(k<0\) thì \(\overrightarrow {AB} \) và \( \overrightarrow {AC}\) ngược hướng.

Hướng dẫn giải

Ta có: \(3\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{0} \Rightarrow 3\overrightarrow{KA}=-2\overrightarrow{KB}\Rightarrow \overrightarrow{KA}=\frac{2}{3}\overrightarrow{KB}\)

Đẳng thức này chứng tỏ hi vec tơ \(\overrightarrow{KA},\overrightarrow{KB}\) là hai vec tơ ngược hướng, do đó K thuộc đoạn AB

Ta lại có: \(\left |\overrightarrow{KA} \right |=-\frac{2}{3} \left |\overrightarrow{KB} \right | \Rightarrow KA=\frac{2}{3}KB\)

Vậy K là điểm chia trong đoạn thẳng AB theo tỉ số \(\frac{2}{3}\)

Cho tam giác ABC. Tìm điểm M sao cho \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\)

Phương pháp giải

Với \(I\) là trung điểm của \(AB\) ta có:

• \(\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  = \overrightarrow 0 .\)
• Với mọi điểm \(O\) bất kì ta có: \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  = 2\overrightarrow {OI} .\)

Hướng dẫn giải

Gọi D là trung điểm của cạnh AB, ta có:

 \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MD}\)

Đẳng thức đã cho trở thành:

 \(2\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\) \(\Rightarrow \overrightarrow{MD}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\)

Đẳng thức này chứng tỏ M là trung điểm của CD

Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.

Hướng dẫn giải

\(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\) nên ta có: \(\overrightarrow {MN}  = {1 \over 2}\overrightarrow {AC} \)

Tương tự ta có:        

\(\eqalign{
& \overrightarrow {PQ} = {1 \over 2}\overrightarrow {CE} \cr
& \overrightarrow {RS} = {1 \over 2}\overrightarrow {EA} \cr} \)

\(\eqalign{
& \Rightarrow \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} \cr& = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {CE}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {EA} \cr&= {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CE} + \overrightarrow {EA} } \right)\cr& = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AE}  + \overrightarrow {EA} } \right) = {1 \over 2}\overrightarrow {AA} = \overrightarrow 0 \cr
& \Rightarrow \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} = \overrightarrow 0  \cr} \)

Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(MPR\), ta có:

\(\overrightarrow {GM}  + \overrightarrow {GP}  + \overrightarrow {GR}  = \overrightarrow 0 (2)\)

Mặt khác 

\(\eqalign{
& \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GN} \cr
& \overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {PG} + \overrightarrow {GQ} \cr
& \overrightarrow {RS} = \overrightarrow {RG} + \overrightarrow {GS} \cr} \)

\(\Rightarrow \overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {PQ}  + \overrightarrow {RS} \)\( = \left( {\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {PG}  + \overrightarrow {RG} } \right)  \) \( + (\overrightarrow {GN}  + \overrightarrow {GQ} + \overrightarrow {GS}) \)

\( = \overrightarrow 0  + \overrightarrow {GN}  + \overrightarrow {GQ}  + \overrightarrow {GS} \) \( = \overrightarrow {GN}  + \overrightarrow {GQ}  + \overrightarrow {GS} \)

(vì \(\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {PG}  + \overrightarrow {RG}  \) \(=  - \overrightarrow {GM}  - \overrightarrow {GP}  - \overrightarrow {GR}  \) \(=  - \left( {\overrightarrow {GM}  + \overrightarrow {GP}  + \overrightarrow {GR} } \right) = \overrightarrow 0 \))

\( \Rightarrow \overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {PQ}  + \overrightarrow {RS}\) \(  = \overrightarrow {GN}  + \overrightarrow {GQ}  + \overrightarrow {GS} \)

Mà \(\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} = \overrightarrow 0\) nên 

\(\overrightarrow {GN}  + \overrightarrow {GQ}  + \overrightarrow {GS}  = \overrightarrow 0 \)

Vậy \(G\) là trọng tâm của tam giác \(NQS.\)

Vậy trọng tâm ΔMPR và ΔNQS trùng nhau.

Cho tam giác đều ABC có trọng tâm O và M là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi D,E,F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M đến BC, AC, AB. Chứng minh rằng: \(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF} =\frac{3}{2}\overrightarrow{MO}\)

Hướng dẫn giải

Qua M kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của tam giác

A1B1 // AB;  A2C2 // AC;   B2C1 // BC

Dễ thấy các tam giác MB1C2; MA1C1;MA2B2 đều là các tam giác đều. Ta lại có MD B1C2 nên MD cũng là trung điểm thuộc cạnh B1C2 của tam giác MB1C2

Ta có 2 = + 

Tương tự: 2 = + 

               2 = +

⇒ 2( ++) = (+) + ( + ) + (+)

Tứ giác là hình bình hành nên

           +  = 

Tương tự: + = 

                 + = 

=> 2( ++) = ++

Vì O là trọng tâm bất kì của tam giác và M là một điểm bất kì nên

 ++ = 3.

Cuối cùng ta có: 

2( ++) = 3

⇒  ++ = 

Vậy ta được đpcm \(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF} =\frac{3}{2}\overrightarrow{MO}\)