Giải bài tập SGK Toán 10 Bài 1: Các định nghĩa

Cho ba vectơ $\vec a,\vec b,\vec c$  đều khác vec tơ  $\vec 0$. Các khẳng định sau đây đúng hay sai?

a) Nếu hai vectơ $\vec a,\vec b$ cùng phương với $\vec c$ thì $\vec a,\vec b$ cùng phương

b) Nếu $\vec a,\vec b$  cùng ngược hướng với $\vec c$ thì $\vec a$ và $\vec b$ cùng hướng

Phương pháp giải

• Hai vecto được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
• Hai vecto cùng phương thì chúng chỉ có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.

Hướng dẫn giải

Câu a: Gọi  theo thứ tự ${\Delta _1},{\Delta _2},{\Delta _3}$ là giá của các vectơ $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$

$\overrightarrow{a}$ cùng phương với $\overrightarrow{c}$ $\Rightarrow {\Delta _1}//{\Delta _3}$ ( hoặc ${\Delta _1} \equiv {\Delta _3}$)   (1)

$\overrightarrow{b}$ cùng phương với $\overrightarrow{c}$ $\Rightarrow {\Delta _2}//{\Delta _3}$ ( hoặc ${\Delta _2} \equiv {\Delta _3}$ )   (2)

Từ (1), (2) suy ra  ${\Delta _1}//{\Delta _2}$ ( hoặc ${\Delta _1} \equiv {\Delta _2}$ ), theo định nghĩa hai vectơ $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ cùng phương.

Vậy câu a) đúng.

Câu b: Gọi  theo thứ tự ${\Delta _1},{\Delta _2},{\Delta _3}$ là giá của các vectơ $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$

$\overrightarrow{a}$ ngược hướng với $\overrightarrow{c}$ $\Rightarrow {\Delta _1}//{\Delta _3}$ ( hoặc ${\Delta _1} \equiv {\Delta _3}$)   (1)

$\overrightarrow{b}$ ngược hướng với $\overrightarrow{c}$ $\Rightarrow {\Delta _2}//{\Delta _3}$ ( hoặc ${\Delta _2} \equiv {\Delta _3}$ )   (2)

Từ (1), (2) suy ra  ${\Delta _1}//{\Delta _2}$ ( hoặc ${\Delta _1} \equiv {\Delta _2}$ ), theo định nghĩa hai vectơ $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ cùng phương.

Mà  $\overrightarrow{a},$ $\overrightarrow{b}$ cùng ngược hướng với $\overrightarrow{c}\Rightarrow \overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng.

Trong hình 1.4, hãy chỉ ra các vec tơ cùng phương, cùng hướng, ngược hướng và các vectơ bằng nhau

Phương pháp giải

• Hai vecto được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
• Hai vecto cùng phương thì chúng chỉ có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.
• Hai vecto bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài.

Hướng dẫn giải

- Các vectơ cùng phương:

• $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng phương; 
• $\overrightarrow{x}$, $\overrightarrow{y}$, $\overrightarrow{z}$, $\overrightarrow{w}$ cùng phương;
• $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ cùng phương.

- Các vectơ cùng hướng: 

• $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng;
• $\overrightarrow{x}$, $\overrightarrow{y}$, $\overrightarrow{z}$ cùng hướng.

- Các vectơ ngược hướng:

• $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ ngược hướng;
• $\overrightarrow{z}$ và $\overrightarrow{w}$ ngược hướng;
• $\overrightarrow{y}$ và $\overrightarrow{w}$ ngược hướng;
• $\overrightarrow{x}$ và $\overrightarrow{w}$ ngược hướng.

- Các vectơ bằng nhau:  $\overrightarrow{x}$ = $\overrightarrow{y}$.

Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng tứ giác đó là hình bình hành khi và chỉ khi  $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$

Phương pháp giải

Dấu hiệu và tính chất của hình bình hành: Hai cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau.

Hướng dẫn giải

Giả sử tứ giác ABCD là hình bình hành.

Khi đó $AB = DC \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {DC} } \right|.$

Mặt khác, dễ thấy $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {DC}$ cùng hướng.

Từ đấy, suy ra $\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC}$

Ngược lại, giả sử tứ giác ABCD có $\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC}$, đều này chứng tỏ:

$\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC}$và AB // CD

Hay AB = CD và AB // CD

Nên tứ giác ABCD là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành).

Vậy tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi  $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$

Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O

a) Tìm các vec to khác $\vec 0$ và cùng phương với $\overrightarrow {OA}$

b) Tìm các véc tơ bằng véc tơ $\overrightarrow {AB}$

Phương pháp giải

• Hai vecto được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
• Hai vecto cùng phương thì chúng chỉ có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.
• Hai vecto bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài.

Hướng dẫn giải

Câu a: Các vec tơ cùng phương với vectơ  $\overrightarrow{OA}$:

$\overrightarrow{BC}$; $\overrightarrow{CB}$; $\overrightarrow{EF}$; $\overrightarrow{FE}$; $\overrightarrow{DO}$; $\overrightarrow{OD}$; $\overrightarrow{DA}$; $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{AO}.$

Câu b: Các véc tơ bằng véctơ $\overrightarrow{AB}$: $\overrightarrow{ED}$; $\overrightarrow{FO}$; $\overrightarrow{OC}$.