Giải bài tập SGK Toán 10 Chương 2 Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc bất kỳ từ 0 độ đến 180 độ
Phần hướng dẫn giải bài tập Bài Giá trị lượng giác của một góc bất kỳ từ 0 độ đến 180 độ sẽ giúp các em nắm được phương pháp và rèn luyện kĩ năng các giải bài tập từ SGK Toán 5. Hi vọng rằng đây sẽ là những tài liệu hữu ích trong công tác giảng dạy và học tập của quý thầy cô và các em học sinh.
Mục lục nội dung
1. Giải bài 1 trang 40 SGK Hình học 10
Chứng minh rằng trong tam giác \(ABC\) ta có:
a) \(\sin A = \sin (B + C)\); b) \(\cos A = -\cos (B + C)\)
Phương pháp giải
Câu a
Tổng ba góc trong tam giác bằng \(180^0.\)
Sử dụng công thức \(\sin \alpha = \sin \left( {{{180}^0} - \alpha } \right)\) với \(\alpha = A\)
Câu b
Sử dụng công thức \(\cos \alpha = -\cos \left( {{{180}^0} - \alpha } \right)\) với \(\alpha = A\)
Hướng dẫn giải
Câu a
Ta có: \(A + B + C = {180^0} \) \(\Rightarrow B + C = 180^0 - A\)
Do đó: \(\sin A = \sin \left( {{{180}^0} - A} \right) = \sin \left( {B + C} \right)\)
Cách trình bày khác:
\(\sin A = \sin[180^0 - ({B} +{C} )]\)
\( = \sin (B + C).\)
Câu b
Ta có: \(A + B + C = {180^0} \) \(\Rightarrow B + C = 180^0 - A\)
Khi đó: \(\cos A = - \cos \left( {{{180}^0} - A} \right) \) \(= - \cos \left( {B + C} \right)\)
Cách trình bày khác:
\(\cos A = \cos[180^0- ({B} +{C} )]\)\( = -\cos (B + C).\)
2. Giải bài 2 trang 40 SGK Hình học 10
Cho \(AOB\) là tam giác cân tại \(O\) có \(OA = a\) và có các đường cao \(OH\) và \(AK.\) Giả sử \(\widehat {AOH} = \alpha. \) Tính \(AK\) và \(OK\) theo \(a\) và \(α.\)
Phương pháp giải
+) Sử dụng công thức lượng giác đối với góc nhọn ta có: \(sin \alpha =\frac{cạnh \, \, đối}{cạnh \, \, huyền} \) và \(cos \alpha =\frac{cạnh \, \, kề}{cạnh \, \, huyền}\)
Hướng dẫn giải
Do tam giác \(OAB\) cân tại \(O\) nên ta có \(\widehat {AOB} = 2\widehat {AOH}=2\alpha < 90^0 \)
Tam giác \(OKA\) vuông tại \(K\) nên ta có:
\(\sin \widehat {AOK} = \frac{{AK}}{{OA}} \)
\(\Rightarrow AK = OA.\sin \widehat {AOK} \)\(\Rightarrow AK = a.\sin 2\alpha. \)
\(\cos \widehat {AOK} = \frac{{OK}}{{OA}} \)
\(\Rightarrow OK = OA.cos\widehat {AOK} \)\(\Rightarrow OK = a.\cos 2\alpha .\)
3. Giải bài 3 trang 40 SGK Hình học 10
Chứng minh rằng:
a) \(\sin {105^0} = \sin {75^0}\);
b) \(\cos {170^0} = - \cos {10^0}\);
c) \(\cos {122^0} = - \cos {58^0}\)
Phương pháp giải
Câu a
Sử dụng công thức lượng giác: \(\sin \alpha = \sin \left( {{{180}^0} - \alpha } \right)\)
Câu b
Sử dụng công thức lượng giác:\(\cos \alpha = - \cos \left( {{{180}^0} - \alpha } \right)\)
Câu d
Sử dụng công thức lượng giác:\(\cos \alpha = - \cos \left( {{{180}^0} - \alpha } \right)\)
Hướng dẫn giải
Câu a
\(\sin {105^0} = \sin ({180^0} - {105^0}).\)
(áp dụng công thức \(\sin \alpha = \sin \left( {{{180}^0} - \alpha } \right)\) với \(\alpha =105^0\))
\(\Rightarrow \sin {105^0} = \sin {75^0}.\)
Câu b
\(\cos {170^0} = - \cos ({180^0} - {170^0}). \)
(áp dụng công thức \(\cos \alpha = - \cos \left( {{{180}^0} - \alpha } \right)\) với \(\alpha =170^0\))
\(\Rightarrow \cos {170^0} = - \cos {10^0}.\)
Câu c
\(\eqalign{
& \cos {122^0} = - \cos ({180^0} - {122^0}). \cr
& \Rightarrow \cos {122^0} = - \cos {58^0}. \cr} \)
(áp dụng công thức \(\cos \alpha = - \cos \left( {{{180}^0} - \alpha } \right)\) với \(\alpha =122^0\))
4. Giải bài 4 trang 40 SGK Hình học 10
Chứng minh rằng với mọi góc \(α \, (0^0≤ α ≤ 180^0)\) ta đều có \(\sin ^2\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1.\)
Hướng dẫn giải
Vẽ nửa đường tròn lượng giác (O; 1).
Với mọi α (0º ≤ α ≤ 180º) ta đều có điểm M(x0; y0) thuộc nửa đường tròn sao cho \(\widehat {xOM} = \alpha \)
Khi đó ta có: sin α = y0 ; cos α = x0.
Mà M thuộc đường tròn lượng giác nên OM=1.
Ta có:
\(\begin{array}{l}
{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = y_0^2 + x_0^2\\
= O{E^2} + O{F^2} = M{F^2} + O{F^2}\\
= O{M^2} = {1^2} = 1\\
\Rightarrow {\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1
\end{array}\)
5. Giải bài 5 trang 40 SGK Hình học 10
Cho góc \(x\), với \(\cos x = \frac{1}{3}.\) Tính giá trị của biểu thức: \( P = 3\sin^2x +\cos^2x.\)
Phương pháp giải
Áp dụng công thức: \(\sin^2x + {\cos ^2}x = 1.\)
Hướng dẫn giải
Ta có: \(\sin^2x + {\cos ^2}x = 1 \) \(\Rightarrow {\sin ^2}x = 1 - {\cos ^2}x.\)
Do đó \(P = 3{\sin ^2}x + {\cos ^2}x \)\(= 3(1 - {\cos ^2}x) + {\cos ^2}x \)
\( = 3 - 3{\cos ^2}x + {\cos ^2}x\)
\(= 3 - 2{\cos ^2}x \)
\(= 3 - 2.{\left( {{1 \over 3}} \right)^2} = {{25} \over 9}.\)
Cách trình bày khác:
\(\begin{array}{l}
{\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\\
\Rightarrow {\sin ^2}x = 1 - {\cos ^2}x\\
= 1 - {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{8}{9}\\
\Rightarrow P = 3{\sin ^2}x + {\cos ^2}x\\
= 3.\frac{8}{9} + {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2}\\
= \frac{{25}}{9}
\end{array}\)
6. Giải bài 6 trang 40 SGK Hình học 10
Cho hình vuông \(ABCD\). Tính: \(\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BA} } \right), \, \sin\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right),\)\(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right).\)
Phương pháp giải
Cho hai vecto \(\overrightarrow a ,\;\overrightarrow b (khác \overrightarrow 0). \) Từ một điểm \(O\) bất kì ta vẽ \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow a ,\;\overrightarrow {OB} = \;\overrightarrow b .\)
Khi đó \(\widehat {AOB}\) với số đo từ \(0^0\) đến \(180^0\) được gọi là góc giữa hai vecto \(\overrightarrow a ,\;\overrightarrow b. \)
Kí hiệu: \(\left( {\overrightarrow a ,\;\overrightarrow b } \right).\)
Hướng dẫn giải
+) Dựng \(\overrightarrow {AE} = \overrightarrow {BA} \) ta có :
\(\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BA} } \right) = \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AE} } \right) = \widehat {CAE}\)
Mà ABCD là hình vuông nên \(\widehat {BAC} = {45^0}\)
\( \Rightarrow \widehat {CAE} = {180^0} - \widehat {BAC}\) \( = {180^0} - {45^0} = {135^0}\)
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BA} } \right) = \cos {135^0}\\
= \cos \left( {{{180}^0} - {{45}^0}} \right) = - \cos {45^0}\\
= - \frac{1}{{\sqrt 2 }}
\end{array}\)
Vậy \(\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BA} } \right) = -\frac{1}{{\sqrt 2 }}\)
- Dựng \(\overrightarrow {AF} = \overrightarrow {BD} \) ta có: \(\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right) = \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AF} } \right) = \widehat {CAF}\)
Mà \(\overrightarrow {AF} = \overrightarrow {BD} \) nên AF//BD.
Lại có AC \(\bot\) BD nên AC \(\bot\) AF hay \(\widehat {CAF}=90^0\).
Vậy \(\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right) \) \(= \cos \widehat {CAF} = \cos {90^0} = 0\)
- Vì \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} \) là hai véc tơ ngược hướng nên:
\(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right) = {180^0} \) \(\Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right) = \cos {180^0} = - 1\)
Tham khảo thêm
- doc Giải bài tập SGK Toán 10 Chương 2 Bài 2: Tích vô hướng của hai vectơ
- doc Giải bài tập SGK Toán 10 Chương 2 Bài 3: Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác
- doc Giải bài tập SGK Toán 10 Ôn tập chương 2: Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng