Giải bài tập SGK Toán 10 Bài 2: Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai

Giải các phương trình

a) \(\frac{x^{2}+3x+2}{2x +3}=\) \(\frac{2x -5}{4}\)

b) \(\frac{2x +3}{x - 3}-\frac{4}{x+3}=\frac{24}{x^{2}-9} + 2\)

c) \(\sqrt{3x - 5}= 3\)

d) \(\sqrt{2x + 5}= 2\)

Phương pháp giải:

- Tìm ĐKXĐ.

- Quy đồng mẫu rồi khử mẫu.

- Giải phương trình và kiểm tra điều kiện.

Hướng dẫn giải:

Câu a: Giải phương trình \(\frac{x^{2}+3x+2}{2x +3}=\) \(\frac{2x -5}{4}\)

Điều kiện: \(2x + 3 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne  - \frac{3}{2}\)

Khi đó  \(\frac{{{x^2} + 3x + 2}}{{2x + 3}} = \frac{{2x - 5}}{4}\)

\( \Leftrightarrow 4({x^2} + 3x + 2) = (2x + 3)(2x - 5)\)

\( \Leftrightarrow 4{x^2} + 12x + 8 = 4{x^2} - 4x - 15\)

\( \Leftrightarrow 16x =  - 23 \Leftrightarrow x =  - \frac{{23}}{{16}}\) là nghiệm

Câu b: Giải phương trình \(\frac{2x +3}{x - 3}-\frac{4}{x+3}=\frac{24}{x^{2}-9} + 2\)

Điều kiện \({x^2} - 9 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne  \pm 3\)

Khi đó: \(\frac{{2x + 3}}{{x - 3}} - \frac{4}{{x + 3}} = \frac{{24}}{{{x^2} - 9}} + 2\)

\( \Leftrightarrow (2x + 3)(x + 3) - 4(x - 3) = 24 + 2({x^2} - 9)\)

\( \Leftrightarrow 2{x^2} + 9x + 9 - 4x + 12 = 2{x^2} + 6\)

\( \Leftrightarrow 5x =  - 15 \Leftrightarrow x =  - 3\) (loại)

Vậy phương trình vô nghiệm

Câu c: Giải phương trình \(\sqrt{3x - 5}= 3\)

Điều kiện: \(3x - 5 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \frac{5}{3}\)

Khi đó \(\sqrt {3x - 5}  = 3 \Leftrightarrow 3x - 5 = 9 \Leftrightarrow x = \frac{{14}}{3}\)

Kết hợp với điều kiện, phương trình có nghiệm \(x = \frac{{14}}{3}\)

Câu d: Giải phương trình \(\sqrt{2x + 5}= 2\)

Điều kiện: \(2x + 5 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge  - \frac{5}{2}\)

\(\sqrt {2x + 5}  = 2 \Leftrightarrow 2x + 5 = 4 \Leftrightarrow x =  - \frac{1}{2}\)

Kết hợp với điều kiện, phương trình có nghiệm \(x =  - \frac{1}{2}\)

Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m

a) \(m(x - 2) = 3x + 1\)

b) \(m^2x + 6 = 4x + 3m\)

c) \((2m + 1)x - 2m = 3x - 2\)

Phương pháp giải:

Cách giải và biện luận phương trình dạng: \(ax + b = 0\) (1):

+) TH1: \(a \ne 0\)  phương trình (1) có nghiệm duy nhất \(x = \dfrac{{ - b}}{a}\)

+) TH2: \(a=0\)

*) \(b \ne 0\) khi đó (1) vô nghiệm

*) \(b=0\) khi đó phương trình (1) có vô số nghiệm (hay nghiệm đúng với mọi x).

Hướng dẫn giải:

Câu a: Giải và biện luận phương trình \(m(x - 2) = 3x + 1\)

\(m\left( {x - 2} \right) = 3x + 1 \Leftrightarrow (m - 3)x = 1 + 2m\)

TH1: Nếu \(m - 3 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 3\) thì (1) \( \Leftrightarrow x = \frac{{1 + 2m}}{{m - 3}}\) là nghiệm

TH2: Với \(m - 3 = 0 \Leftrightarrow m = 3.\) Khi đó (1) trở thành: 0x = 7 vô lý

Kết luận

Vậy: Với \(m \ne 3\) phương trình có nghiệm \(x = \frac{{1 + 2m}}{{m - 3}}\)

Với m = 3 phương trình vô nghiệm

Câu b: Giải và biện luận phương trình  \(m^2x + 6 = 4x + 3m\)

\({m^2}x + 6 = 4x + 3m \Leftrightarrow (m{}^2 - 4)x = 3m - 6\,\,\,\,\,\,(2)\)

TH1: Nếu \({m^2} - 4 \ne 0 \Leftrightarrow m \pm 2\)

Khi đó \((2) \Leftrightarrow x = \frac{3}{{m + 2}}\) là nghiệm

TH2: Nếu \({m^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow m =  \pm 2\)

Với m = 2 khi đó (2) trở thành 0x = 0: đúng với mọi x

Với m = -2: khi đó (2) trở thành 0x = -12: vô lý

Kết luận

Vậy: Với \(m \ne  \pm 2:\) phương trình có nghiệm \(x = \frac{3}{{m + 2}}\)

Với m = 2: phương trình có vô số nghiệm

Với m = -2: phương trình vô nghiệm

Câu c: Giải và biện luận phương trình \((2m + 1)x - 2m = 3x - 2\)

\((2m + 1)x - 2m = 3x - 2 \Leftrightarrow 2(m - 1)x = 2(m - 1)\)

\( \Leftrightarrow (m - 1)x = m - 1\) (3)

TH1: Nếu \(m - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 1.\) Khi đó (3) \( \Leftrightarrow x = 1\)

TH2: Nếu \(m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1.\) Khi đó (3) trở thành:

0x = 0: luôn đúng với mọi x

Có hai rổ quýt chứa số quýt bằng nhau. Nếu lấy 30 quả ở rổ thứ nhất đưa sang rổ thứ hai thì số quả ở rổ thứ hai bằng \(\frac{1}{3}\) của bình phương số quả còn lại ở rổ thứ nhất. Hỏi số quả quýt ở mỗi rổ lúc ban đầu là bao nhiêu?

Phương pháp giải:

- Gọi \(x\) là số quýt chứa trong một rổ lúc đầu.

- Lập phương trình ẩn \(x\) dựa vào các điều kiện bài cho.

- Giải phương trình tìm \(x\) và kết luận.

Hướng dẫn giải:

Gọi x là số quýt chứa trong một rổ lúc đầu. Điều kiện x nguyên, x > 30

Ta có phương trình

\(x + 30 = \frac{1}{3}{(x - 30)^2} \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 810 = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 45\\
x = 18\,\,\,(loại)
\end{array} \right.\)

Kết luận

Vậy số quýt ở mỗi rổ lúc đầu là 45 quả

Giải các phương trình

a) \(2x^4 -7x^2 + 5 = 0\)

b) \(3x^4 + 2x^2 - 1 = 0\)

Phương pháp giải:

Đặt \(x^2= t  ≥  0\) sau đó ta giải phương trình bậc 2 ẩn t.

Hướng dẫn giải:

Câu a: Giải phương trình \(2x^4 -7x^2 + 5 = 0\)

Đặt \(X = {x^2}(X \ge 0)\)

Ta có: \(2{X^2} - 7X + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}X = \frac{5}{2}\\X = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = \frac{5}{2}\\{x^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  \pm \frac{{\sqrt {10} }}{2}\\x =  \pm 1\end{array} \right.\)

Vậy \(S = \left\{ { - 1;1; - \frac{{\sqrt {10} }}{2};\frac{{\sqrt {10} }}{2}} \right\}\)

Câu b: Giải phương trình \(3x^4 + 2x^2 - 1 = 0\)

Đặt \(x = {X^2}(X \ge 0)\)

Ta có: \(3{X^2} + 2X - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}X =  - 1\,\,(loại)\\X = \frac{1}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow {x^2} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow x =  \pm \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)

Vậy \(S = \left\{ { - \frac{{\sqrt 3 }}{3};\frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right\}\)

Giải các phương trình sau bằng máy tính bỏ túi (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba)

a) \(2x^2 - 5x + 4 = 0\)

b) \(-3x^2 + 4x + 2 = 0\)

c) \(3x^2 + 7x + 4 = 0\)

d) \(9x^2 - 6x - 4 = 0\)

Hướng dẫn giải:

Câu a: Giải phương trình sau bằng máy tính bỏ túi \(2x^2 - 5x + 4 = 0\)

Nếu sử dụng máy tính CASIO fx-500 MS, ta ấn liên tiếp các phím

màn hình hiện ra x₁ = 3.137458609

Ấn tiếp =  màn hình hiện ra x₂ = -0.637458608

Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba ta được nghiệm gần đúng của phương trình là x1 ≈ 3.137 và x2 ≈ -0.637

Câu b: Giải phương trình sau bằng máy tính bỏ túi \(-3x^2 + 4x + 2 = 0\)

Ấn   được 

x₁ = 1.72075922. Muốn lấy tròn 3 số thập phân ta ấn tiếp 

Kết quả x₁ = 1.721. Ấn tiếp  = được x2 = 0.387

Câu c: Giải phương trình sau bằng máy tính bỏ túi \(3x^2 + 7x + 4 = 0\)

Ấn liên tiếp 

Kết quả x1 = -1,000. Ấn tiếp  = được x2 = -1,333

Câu d: Giải phương trình sau bằng máy tính bỏ túi \(9x^2 - 6x - 4 = 0\)

Ấn 

Kết quả x1 = 1,079. Ấn tiếp =  được x2 = -0,412

Giải các phương trình

a) \(|3x - 2| = 2x + 3\)

b) \(|2x -1| = |-5x - 2|\)

c) \(\frac{x-1}{2x -3}=\frac{-3x+1}{|x+1|}\)

d) \(|2x + 5| = x^2 +5x +1\)

Phương pháp giải:

Phương trình 

\(\left| {f\left( x \right)} \right| = g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
g\left( x \right) \ge 0\\
{f^2}\left( x \right) = {g^2}\left( x \right)
\end{array} \right.\)

Hướng dẫn giải:

Câu a: Giải phương trình \(|3x - 2| = 2x + 3\)

Điều kiện: \(x \ge  - \frac{3}{2}\)

Ta có: \(\left| {3x - 2} \right| = 2x + 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x - 2 = 2x + 3\\3x - 2 =  - 2x - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\x =  - \frac{1}{5}\end{array} \right.\)

Cả hai nghiệm đều thoả điều kiện

Kết luận

Vậy \(S = \left\{ { - \frac{1}{5};5} \right\}\)

Câu b: Giải phương trình \(|2x -1| = |-5x - 2|\)

Ta có: \(\left| {2x - 1} \right| = \left| { - 5x - 2} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - 1 =  - 5x - 2\\2x - 1 = 5x + 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{1}{7}\\x =  - 1\end{array} \right.\)

Kết luận

Vậy \(S = \left\{ { - 1; - \frac{1}{7}} \right\}\)

Câu c: Giải phương trình \(\frac{x-1}{2x -3}=\frac{-3x+1}{|x+1|}\)

Điều kiện: \(x \ne \frac{3}{2}\) và \(x \ne  - 1\)

Nếu \(x >  - 1\) phương trình đã cho tương đương với phương trình

\({x^2} - 1 =  - 6{x^2} + 11x - 3 \Leftrightarrow 7{x^2} - 11x + 2 = 0\)

\( \Leftrightarrow x = \frac{{11 \pm \sqrt {41} }}{{14}}\) (thoả điều kiện \(x >  - 1\) và \(x \ne \frac{3}{2}\))

Nếu \(x <  - 1\) phương trình đã cho tương đương với phương trình

\(1 - {x^2} =  - 6{x^2} + 11x - 3 \Leftrightarrow 5{x^2} - 11x + 4 = 0\)

\( \Leftrightarrow x = \frac{{11 \pm \sqrt {41} }}{{10}}\) (loại vì \(\frac{{11 \pm \sqrt {41} }}{{10}}\)đều lớn hơn -1)

Kết luận

Vậy \(S = \left\{ {\frac{{11 - \sqrt {41} }}{{14}};\frac{{11 + \sqrt {41} }}{{14}}} \right\}\)

Câu d: Giải phương trình \(|2x + 5| = x^2 +5x +1\)

Với \(x >  - \frac{5}{2}\) ta có: \(\left| {2x + 5} \right| = {x^2} + 5x + 1 \Leftrightarrow 2x + 5 = {x^2} + 5x + 1\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + 3x - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\,\,\,\,(nhận)\\x =  - 4\,\,(loại)\end{array} \right.\)

Với  \(x <  - \frac{5}{2}\)ta có: \(\left| {2x + 5} \right| = {x^2} + 5x + 1 \Leftrightarrow  - 2x - 5 = {x^2} + 5x + 1\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + 7x + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\,\,(loại)\\x =  - 6\,\,\,(nhận)\end{array} \right.\)

Kết luận

Vậy \(S = \left\{ {1; - 6} \right\}\)

Giải các phương trình 

a) \(\sqrt {5x + 6}  = x - 6\)

b) \(\sqrt {3 - x}  = \sqrt {x + 2}  + 1\)

c) \(\sqrt {2{x^2} + 5}  = x + 2\)

d) \(\sqrt {4{x^2} + 2x + 10}  = 3x + 1\)

Phương pháp giải:

Để giải các phương trình chứa ẩn dưới căn bậc hai, ta thường bình phương hai vế để đưa về một phương trình hệ quả không chứa ẩn dưới dấu căn.

Chú ý: phép biến đổi là hệ quả nên khi tìm ra \(x\), cần thay lại phương trình đã cho kiểm tra nghiệm.

Hướng dẫn giải:

Câu a: Giải phương trình \(\sqrt{5x +6} = x - 6\)

Tìm điều kiện xác định của phương trình

Điều kiện xác định của phương trình \(\sqrt{5x +6} = x - 6\) là:

\(5x + 6 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \frac{{ - 6}}{5}\)

Đối với các phương trình chứa căn bậc hai, ta thường bình phương hai vế để đưa về phương trình hệ quả không chứa ẩn dưới dấu căn

Bình phương 2 vế phương trình \(\sqrt{5x +6} = x - 6\) (1) ta được:

\(\begin{array}{l}
\left( 1 \right) \Rightarrow 5x + 6 = {x^2} - 12x + 36\\
 \Leftrightarrow {x^2} - 17x + 30 = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2\\
x = 15
\end{array} \right.
\end{array}\)

Cần thay x tìm được vào phương trình ban đầu để kiểm tra nghiệm vì phép biến đổi là hệ quả.

Thay lần lượt x = 15, x = 2 vào phương trình (1) nhận thấy x = 15 là nghiệm, x = 2 không là nghiệm 

Kết luận

Vậy nghiệm của phương trình \(\sqrt{5x +6} = x - 6\) là x = 15

Câu b: Giải phương trình \(\sqrt{3 -x}=\sqrt{x +2}+1;\) 

Điều kiện xác định:

\(\left\{ \begin{array}{l}
3 - x \ge 0\\
x + 2 \ge 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \le 3\\
x \ge  - 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 2 \le x \le 3\)

Bình phương 2 vế ta được:

\(\sqrt {3 - x}  = \sqrt {x + 2}  + 1 \ \Rightarrow 3 - x = x + 2 + 2\sqrt {x + 2}  + 1\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {x + 2}  =  - x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - x \ge 0\\x + 2 = {x^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 0\\{x^2} - x - 2 = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow x =  - 1\) (nhận)

Vậy nghiệm của phương trình là x = -1

Câu c: Giải phương trình \(\sqrt{2x^{2} +5}= x + 2\) 

Điều kiện xác định: \(2{x^2} + 5 \ge 0\) (luôn đúng)

Bình phương 2 vế ta được

\(\begin{array}{l}
\sqrt {2{x^2} + 5}  = x + 2\\
 \Rightarrow 2{x^2} + 5 = {x^2} + 4x + 4\\
 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 1 = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2 - \sqrt 3 \\
x = 2 + \sqrt 3 
\end{array} \right.
\end{array}\)

Thử lại thấy cả 2 nghiệm đều thỏa mãn phương trình

Vậy \(S = \left\{ {2 - \sqrt 3 ;2 + \sqrt 3 } \right\}\)

Câu d: Giải phương trình \(\sqrt{4x^{2} +2x + 10} = 3x + 1.\)

Ta có: \(4{x^2} + 2x + 10 = {\left( {2x + \frac{1}{4}} \right)^2} + \frac{{39}}{4} > 0,\forall x\)

Do đó tập xác định D = R

Bình phương 2 vế ta được 

\(\begin{array}{l}
\sqrt {4{x^2} + 2x + 10}  = 3x + 1\\
 \Rightarrow 4{x^2} + 2x + 10 = 9{x^2} + 6x + 1\\
 \Leftrightarrow 9{x^2} + 6x + 1 - 4{x^2} - 2x - 10 = 0\\
 \Leftrightarrow 5{x^2} + 4x - 9 = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
x =  - \frac{9}{5}
\end{array} \right.
\end{array}\)

Thử lại thấy x = 1 là nghiệm của phương trình

Vậy S ={1}

Cho phương trình \(3x^2 - 2(m + 1)x + 3m - 5 = 0.\)

Xác định m để phương trình có một nghiệm gấp ba nghiệm kia. Tính các nghiệm trong trường hợp đó

Phương pháp giải:

- Giả sử phương trình có hai nghiệm \(x_1\) và \(x_2\), phương trình có một nghiệm gấp ba nghiệm kia nên ta có: \({x_2} = 3{x_1}\).

- Sử dụng Vi - et tìm một trong hai nghiệm rồi thay vào phương trình đã cho tìm \(m\).

Hướng dẫn giải:

Ta có \(\Delta ' = {(m + 1)^2} - 3(3m - 5) = {m^2} - 7m + 16 = {\left( {m - \frac{7}{2}} \right)^2} + \frac{{15}}{4} > 0 \ne m\)

Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm

Theo đề bài và định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{2m + 2}}{3}\,\,(1)\\{x_1} = 3{x_2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\\{x_1}{x_2} = \frac{{3m - 5}}{3}\,\,\,\,\,\,\,\,(3)\end{array} \right.\,\,\)

Từ (1) và (2) suy ra \({x_1} = \frac{{m + 1}}{2};{x_2} = \frac{{m + 1}}{6}\)

Thay \({x_1},{x_2}\) vào (3) ta được:

\({(m + 1)^2} = 4(3m - 5) \Leftrightarrow {m^2} - 10m + 21 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 3\\m = 7\end{array} \right.\)

Với m = 3 ta có phương trình \(3{x^2} - 8x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 2}\\ {x = \frac{2}{3}} \end{array}} \right. \Rightarrow S = \left\{ {2;\frac{2}{3}} \right\}\)

Với m = 7 ta có phương trình \(3{x^2} - 16x + 16 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 4}\\
{x = \frac{4}{3}}
\end{array}} \right.{\rm{ }} \Rightarrow S = \left\{ {4;\frac{4}{3}} \right\}\)

Kết luận

Vậy với m = 3, phương trình có tập nghiệm \( S = \left\{ {2;\frac{2}{3}} \right\}\)

m = 7 thì phương trình \( S = \left\{ {4;\frac{4}{3}} \right\}\)