Giải bài tập SGK Toán 10 Bài 1: Đại cương về phương trình

Cho hai phương trình \(3x = 2\) và \(2x = 3.\)

Cộng các vế tương ứng của hai phương trình đã cho. Hỏi

a) Phương trình nhận được có tương đương với một trong hai phương trình đã cho hay không?

b) Phương trình đó có phải là phương trình hệ quả của một trong hai phương trình đã cho hay không?

Phương pháp giải:

Hai phương trình tương đường nếu chúng có cùng tập nghiệm.

Nếu mọi nghiệm của phương trình \(f(x)=g(x)\) đều là nghiệm của phương trình \(f_1(x)=g_1(x)\) thì \(f_1(x)=g_1(x)\) được gọi là phương trình hệ quả của phương trình \(f(x)=g(x)\).

Hướng dẫn giải:

Cộng hai vế tương ứng của hai phương trình: \(3x = 2\) và \(2x = 3\)

Câu a: Phương trình nhận được có tương đương với một trong hai phương trình đã cho hay không?

Nhận được phương trình không tương đương với một trong hai phương trình đã cho vì chúng không có cùng tập nghiệm

Câu b:  Phương trình đó có phải là phương trình hệ quả của một trong hai phương trình đã cho hay không?

Phương trình nhận được không phải là phương trình hệ quả của một trong hai phương trình đã cho vì tập nghiệm của một trong hai phương trình nhận được khi cộng hai vế tương ứng của hai phương trình đã cho

Cho hai phương trình \(4x = 5\) và \(3x = 4\) .

Nhân các vế tương ứng của hai phương trình đã cho. Hỏi

a) Phương trình nhận được có tương đương với một trong hai phương trình đã cho hay không?

b) Phương trình đó có phải là phương trình hệ quả của một trong hai phương trình đã cho hay không?

Phương pháp giải:

Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng một tập nghiệm

Phương trình hệ quả: Nếu mọi nghiệm của phương trình f(x) = g(x) đều là nghiệm của phương trình \({f_1}\left( x \right) = {g_1}\left( x \right)\) thì phương trình \({f_1}\left( x \right) = {g_1}\left( x \right)\) được gọi là phương trình hệ quả của phương trình f(x) = g(x).

Hướng dẫn giải:

Ta viết: \(f\left( x \right) = g\left( x \right) \Rightarrow {f_1}\left( x \right) = {g_1}\left( x \right)\)

Nhân các vế tương ứng của hai phương trình đã cho:

Câu a: Phương trình nhận được có tương đương với một trong hai phương trình đã cho hay không?

Phương trình nhận được không tương đương với một trong hai phương trình đã cho vì chúng không có cùng tập nghiệm (không tuân thủ theo phép biến đổi tương đương)

Câu b: Phương trình đó có phải là phương trình hệ quả của một trong hai phương trình đã cho hay không?

Phương tình nhận được không là phương trình hệ quả của một trong hai phương trình đã cho vì nó không chứa tập nghiệm của một trong hai phương trình đã cho

Giải các phương trình 

a) \(\sqrt{3-x}+x =\)  \(\sqrt{3-x} + 1\)

b) \(x +\sqrt{x-2}=\) \(\sqrt{2-x}+2\)

c) \(\frac{x^{2}}{\sqrt{x-1}}=\frac{9}{\sqrt{x-1}}\)

d) \(x^2 -\sqrt{1-x}=\sqrt{x-2}+3\)

Phương pháp giải:

- Tìm ĐKXĐ của phương trình.

- Biến đổi trừ hai vế của pt cho \(\sqrt{3-x}\) được phương trình hệ quả.

- Giải phương trình và đối chiếu điều kiện.

Hướng dẫn giải:

Câu a: Giải phương trình \(\sqrt{3-x}+x =\)  \(\sqrt{3-x} + 1\)

ĐKXĐ: \(3-x\geq 0\Leftrightarrow x=1\)

\(\sqrt{3-x} +x = \sqrt{3-x} + 1 ⇔ x = 1.\)

Kết hợp điều kiện, suy ra phương trình có nghiệm x = 1

Câu b: Giải phương trình \(x +\sqrt{x-2}=\) \(\sqrt{2-x}+2\)

ĐKXĐ: \(\left\{\begin{matrix} x-2\geq 0\\ 2-x\geq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 2\\ x\leq 2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=2\)

Khi đó: \(x+\sqrt{x-2}=\sqrt{2-x}+2\Leftrightarrow x=2\)

Suy ra phương trình có nghiệm x = 2

Câu c: Giải phương trình \(\frac{x^{2}}{\sqrt{x-1}}=\frac{9}{\sqrt{x-1}}\)

\(\frac{x^{2}}{\sqrt{x-1}}=\frac{9}{\sqrt{x-1}} ⇔ \frac{x^{2}-9}{\sqrt{x-1}} = 0\)

⇒   x = 3 (nhận vì thỏa mãn ĐKXĐ)

      x = -3 (loại vì không thỏa mãn ĐKXĐ)

Tập nghiệm S = {3}

Câu d: Giải phương trình \(x^2 -\sqrt{1-x}=\sqrt{x-2}+3\)

 \(\sqrt{1-x}\) xác định với x ≤ 1, \(\sqrt{x-2}\) xác định với x ≥ 2

Không có giá trị nào của x nghiệm đúng phương trình

Do đó phương trình vô nghiệm

Giải các phương trình 

a) \(x + 1 +\frac{2}{x +3}=\) \(\frac{x +5}{x +3}\)

b) \(2x +\frac{3}{x -1}=\) \(\frac{3x}{x -1}\)

c) \(\frac{x^{2}-4x-2}{\sqrt{x-2}}=\sqrt{x-2}\)

d) \(\frac{2x^{2}-x-3}{\sqrt{2x-3}}=\sqrt{2x-3}\)

Phương pháp giải:

- Tìm ĐKXĐ.

- Chuyển vế biến đổi phương trình.

- Giải pt có được và kiểm tra điều kiện.

Hướng dẫn giải:

Câu a: Giải phương trình \(x + 1 +\frac{2}{x +3}=\) \(\frac{x +5}{x +3}\)

ĐKXĐ: \(x+3 \neq 0\Leftrightarrow x \neq -3\). Khi đó:

\(x+1+\frac{2}{x+3}=\frac{x+5}{x+3}\Leftrightarrow x+1+\frac{-x-3}{x+3}=0 \)

\(\Leftrightarrow x+1-1=0\Leftrightarrow x=0\)

Kết hợp điều kiện, suy ra phương trình có nghiệm x=0

Câu b: Giải phương trình \(2x +\frac{3}{x -1}=\) \(\frac{3x}{x -1}\)

ĐKXĐ: \(x-1\neq 0\Leftrightarrow x\neq 1\). Khi đó:

\(2x+\frac{3}{x-1}=\frac{3x}{x-1}\Leftrightarrow 2x+\frac{3-3x}{x-1}=0\)

\(\Leftrightarrow 2x-3=0\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}.\)

Vậy phương trình có nghiệm: \(x=\frac{3}{2}.\)

Câu c: Giải phương trình \(\frac{x^{2}-4x-2}{\sqrt{x-2}}=\sqrt{x-2}\)

\(\frac{x^2-4x-2}{\sqrt{x-2}}=\sqrt{x-2} \ (1)\)

Điều kiện: \(x-2>0\Leftrightarrow x>2\)

Khi đó (1) \(\Leftrightarrow x^2-4x-2=x-2\Leftrightarrow x^2-5x=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=5\\ x=0 \end{matrix}\)

Kết hợp với điều kiện phương trình có nghiệm x =5

Câu d: Giải phương trình \(\frac{2x^{2}-x-3}{\sqrt{2x-3}}=\sqrt{2x-3}\)

\(\frac{2x^2-x-3}{\sqrt{2x-3}}=\sqrt{2x-3} \ \ (2)\)

Điều kiện: \(2x-3> 0\Leftrightarrow x> \frac{3}{2}\)

Khi đó phương trình (2) \(\Leftrightarrow 2x^2-x-3=2x-3\)

\(\Leftrightarrow 2x^2-3x=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=0\\ x=\frac{3}{2} \end{matrix}\)

Kết quả với điều kiện, phương trình vô nghiệm