Giải bài tập SBT Toán 12 Bài 3: Phương trình đường thẳng

Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng Δ trong các trường hợp sau:

a) Δ đi qua điểm A(1; 2; 3) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow a = (3;3;1)\)

b) Δ đi qua điểm B(1; 0; -1) và vuông góc với mặt phẳng (α) : 2x – y + z + 9 = 0

c) Δ đi qua hai điểm C(1; -1; 1) và D(2; 1; 4)

Phương pháp giải

a) Đường thẳng đi qua điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\) có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\) và phương trình chính tắc \(\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b} = \dfrac{{z - {z_0}}}{c}\)

b) Đường thẳng Δ vuông góc mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) thì \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} \)

c) Đường thẳng Δ đi qua hai điểm C,D thì \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \overrightarrow {CD}\)

Hướng dẫn giải

a) Phương trình tham số của đường thẳng Δ đi qua điểm A(1; 2; 3) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow a = (3;3;1)\) là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 3t}\\{y = 2 + 3t}\\{z = 3 + t}\end{array}} \right.\)

Phương trình chính tắc của Δ là \(\dfrac{{x - 1}}{3} = \dfrac{{y - 2}}{3} = \dfrac{{z - 3}}{1}\)

b)  \(\Delta \bot (\alpha ) \Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }} = \overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} = (2; - 1;1)\)

Phương trình tham số của Δ là  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 2t}\\{y = - t}\\{z = - 1 + t}\end{array}} \right.\)

Phương trình chính tắc của Δ là \(\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{y}{{ - 1}} = \dfrac{{z + 1}}{1}\)

c) Δ đi qua hai điểm C và D nên có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {CD} = (1;2;3)\)

Vậy phương trình tham số của Δ là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t}\\{y = - 1 + 2t}\\{z = 1 + 3t}\end{array}} \right.\)

Phương trình chính tắc của Δ là  \(\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y + 1}}{2} = \dfrac{{z - 1}}{3}\)

Viết phương trình của đường thẳng Δ nằm trong mặt phẳng (α): x + 2z = 0 và cắt hai đường kính \({d_1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 - t}\\{y = t}\\{z = 4t}\end{array}} \right.\) và  \({d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 - t'}\\{y = 4 + 2t'}\\{z = 4}\end{array}} \right.\)

Phương pháp giải

- Tham số hóa tọa độ hai giao điểm.

- Thay tọa các điểm vào phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), từ đó suy ra tọa độ các điểm.

- Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm và kết luận.

Hướng dẫn giải

Gọi A và B lần lượt là giao điểm của d₁ và d₂ với (α). Đường thẳng Δ cần tìm chính là đường thẳng AB.

Ta có: A(1 − t; t; 4t) ∈ d₁

A ∈ (α) ⇔ t + 4.(2t) = 0 ⇔ t = 0

Suy ra: A(1; 0; 0)

Ta có : B(2 − t′; 4 + 2t′; 4) ∈ d₂

B ∈ (α) ⇔ 4 +2t′ + 8 = 0 ⇔ t′ = −6

Suy ra B(8; -8; 4)

Δ đi qua A, B nên có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \overrightarrow {AB} = (7; - 8;4)\)

Phương trình chính tắc của Δ là:

\(\dfrac{{x - 1}}{7} = \dfrac{y}{{ - 8}} = \dfrac{z}{4}\)

Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d và d’ cho bởi các phương trình sau:

a) \(d:\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{{y - 1}}{2} = \dfrac{{z + 3}}{3} \,\, và \,\,d':\dfrac{{x - 1}}{3} = \dfrac{{y - 5}}{2} = \dfrac{{z - 4}}{2}\)

b) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y = 1 + t}\\{z = 2 - t}\end{array}} \right. \,\, và \,\, d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 9 + 2t'}\\{y = 8 + 2t'}\\{z = 10 - 2t'}\end{array}} \right.\)

c) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - t}\\{y = 3t}\\{z = - 1 - 2t}\end{array}} \right. \,\, và \,\, d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{y = 9}\\{z = 5t'}\end{array}} \right.\)

Phương pháp giải

Sử dụng lý thuyết về vị trí tương đối của hai đường thẳng.

Cho đường thẳng ∆₁ qua điểm M­₁ và có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u_{1}}\), đường thẳng ∆₂ qua điểm M­₂  và có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u_{2}}\)

* ∆₁ và ∆₂ chéo nhau ⇔ ∆₁ và ∆₂ không nằm trong cùng một mặt phẳng ⇔ \(\left [\overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}} \right ]\overrightarrow{M_{1}M_{2}}\neq 0\)

* ∆₁ và ∆₂ song song ⇔ \(\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{u_{1}}=k\overrightarrow{u_{2}}\\ M_{1}\in \Delta _{1}\\ M_{2}\notin \Delta _{2} \end{matrix}\right.\)

* ∆₁ trùng với ∆₂  ⇔ \(\overrightarrow{u_{1}}, \overrightarrow{u_{2}}, \overrightarrow{M_{1}M_{2}}\) là ba vectơ cùng phương.

* ∆₁ cắt  ∆₂  ⇔ \(\overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}}\) không cùng phương và \(\left [\overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}} \right ]\overrightarrow{M_{1}M_{2}}= 0\)

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(\overrightarrow {{u_d}} = (1;2;3)\) và \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = (3;2;2)\)

Suy ra \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{u_{d'}}} } \right] = ( - 2;7; - 4)\)

Ta có \({M_0}( - 1;1; - 2) \in d,{M_0}'(1;5;4) \in {\rm{d'}} \Rightarrow \overrightarrow {{M_0}{M_0}'} = (2;4;6)\)

Ta có \(\overrightarrow n .\overrightarrow {{M_0}{M_0}'} = - 4 + 28 - 24 = 0\)

Vậy đường thẳng d và d’ đồng phẳng và khác phương, nên d và d’ cắt nhau.

b) Ta có \(\overrightarrow {{u_d}} = (1;1; - 1)\) và \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = (2;2; - 2).{M_0}(0;1;2) \in d\)

Vì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {{u_{d'}}} = 2\overrightarrow {{u_d}} }\\{{M_0} \notin d'}\end{array}} \right.\) (tọa độ M₀ không thỏa mãn d’) nên hai đường thẳng d và d’ song song.

c) d có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{u_d}} = ( - 1;3; - 2)\)

d’ có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = (0;0;5)\)

Gọi \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{u_{d'}}} } \right] = (15;5;0) \ne \overrightarrow 0\)

Ta có \({M_0}(0;0; - 1) \in d\)

\(M{'_0}(0;9;0) \in d' \Rightarrow \overrightarrow {{M_0}M{'_0}} = (0;9;1),\overrightarrow n .\overrightarrow {{M_0}M{'_0}} = 45 \ne 0\)

Vậy d và d’ là hai đường thẳng chéo nhau.

Tìm a để hai đường thẳng sau đây song song: \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 5 + t}\\{y = at}\\{z = 2 - t}\end{array}} \right.\) và \(d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 2t'}\\{y = a + 4t'}\\{z = 2 - 2t'}\end{array}} \right.\)

Phương pháp giải

- Sử dụng điều kiện cần, hai đường thẳng song song thì \(\overrightarrow {{u_d}} //\overrightarrow {{u_{d'}}} \,\, tìm \,\,a\)

- Thay a và kiểm tra lại điều kiện d//d'.

Hướng dẫn giải

Ta có \(\overrightarrow {{u_d}} = (1;a; - 1) \,\, và \,\, \overrightarrow {{u_{d'}}} = (2;4; - 2)\)

\(d//d' \Rightarrow \dfrac{1}{2} = \dfrac{a}{4} = \dfrac{{ - 1}}{{ - 2}} \Rightarrow a = 2\)

Khi đó \(M{'_0}(1;2;2)\) thuộc d’ và M’₀ không thuộc d.

Vậy d//d' nếu a = 2.

Xét vị trí tương đối của đường thẳng d với mặt phẳng \((\alpha )\) trong các trường hợp sau

a) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y = 1 + 2t}\\{z = 1 - t}\end{array}} \right.\) và  \((\alpha) : x + 2y + z - 3 = 0\)

b)  d: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 - t}\\{y = t}\\{z = 2 + t}\end{array}} \right.\) và \((\alpha) : x + z + 5 = 0\)

c) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 - t}\\{y = 2 - t}\\{z = 1 + 2t}\end{array}} \right. \,\, và \, \, (\alpha ) : x +y + z -6 = 0\)

Phương pháp giải

Thay x, y, z trong phương trình đường thẳng vào phương trình mặt phẳng, kiểm tra nghiệm.

- Phương trình có nghiệm duy nhất thì đường thẳng cắt mặt phẳng.

- Phương trình vô nghiệm thì đường thẳng song song mặt phẳng.

- Phương trình vô số nghiệm thì đường thẳng nằm trong mặt phẳng.

Hướng dẫn giải

a) Thay x, y, z trong phương trình tham số của đường thẳng d vào phương trình tổng quát của mặt phẳng \((\alpha)\) ta được: \(t + 2\left( {1 + 2t} \right) + \left( {1 - t} \right) - 3 = 0 \Leftrightarrow 4t = 0 \Leftrightarrow t = 0\)

Vậy đường thẳng d cắt mặt phẳng \((\alpha )\) tại M₀(0; 1; 1).

b) Thay x, y, z trong phương trình tham số của d vào phương trình tổng quát của \((\alpha )\) ta được: \(\left( {2 - t} \right)\; + \left( {2 + t} \right) + 5 = 0 \Leftrightarrow 0t = - 9\)

Phương trình vô nghiệm, vậy đường thẳng d song song với \((\alpha )\)

c) Thay x, y, z trong phương trình tham số của d vào phương trình tổng quát của \((\alpha )\) ta được: \(\left( {3 - t} \right) + \left( {2 - t} \right) + \left( {1 + 2t} \right) - 6 = 0 \Leftrightarrow 0t\; = 0\)

Phương trình luôn thỏa mãn với mọi t.

Vậy d nằm trong \((\alpha )\)

Tính khoảng cách từ điểm A(1; 0; 1) đến đường thẳng \(\Delta :\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{z}{1}\)

Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng: \(d\left( {{M_0},\Delta } \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow {{M_0}A} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right|}}\)

Hướng dẫn giải

Đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm M₀(1; 0; 0) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u = (2;2;1)\)

Ta có \(\overrightarrow {{M_0}A} = (0;0;1), \overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {{M_0}A} } \right] = (2; - 2;0)\)

\(d(A,\Delta ) = \dfrac{{|\overrightarrow n |}}{{|\overrightarrow u |}} = \dfrac{{\sqrt {4 + 4 + 0} }}{{\sqrt {4 + 4 + 1} }} = \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}\)

Vậy khoảng cách từ điểm A đến \(\Delta\) là \(\dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}\)

Cho đường thẳng \(\Delta :\dfrac{{x + 3}}{2} = \dfrac{{y + 1}}{3} = \dfrac{{z + 1}}{2}\,\, và\,\, mặt\,\, phẳng \,\,(\alpha ): 2x – 2y + z + 3 = 0\)

Phương pháp giải

- Sử dụng điều kiện đường thẳng \(\Delta\) song song với mặt phẳng \(\left( \alpha \right): \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{u_\Delta }} .\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} = 0\\M \in \Delta ,M \notin \left( \alpha \right)\end{array} \right.\)

- Sử dụng công thức tính khoảng cách \(d\left( {\Delta ,\left( \alpha \right)} \right) = d\left( {M,\left( \alpha \right)} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}}\)

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = (2;3;2)\)  và \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = (2; - 2;1)\)

\(\overrightarrow {{u_\Delta }} .\overrightarrow {{n_\alpha }} = 4 - 6 + 2 = 0\) (1)

Xét  điểm  M₀(-3; -1; -1)  thuộc \(\Delta\), ta thấy tọa độ M₀ không thỏa mãn phương trình của \((\alpha )\). Vậy  \({M_0} \notin (\alpha )\)  (2).

Từ (1) và (2) ta suy ra \(\Delta //(\alpha )\)

b) \(d(\Delta ,(\alpha )) = d({M_0},(\alpha )) = \dfrac{{|2.( - 3) - 2.( - 1) + ( - 1) + 3|}}{{\sqrt {4 + 4 + 1} }} = \dfrac{2}{3}\)

Vậy khoảng cách giữa đường thẳng \(\Delta\) và mặt phẳng \((\alpha )\) là \(\dfrac{2}{3}\)

Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng \(\Delta\) và \(\Delta '\) trong các trường hợp sau:

a) \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t}\\{y = - 1 - t}\\{z = 1}\end{array}} \right.\,\, và \,\, \Delta ':\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 - 3t'}\\{y = 2 + 3t'}\\{z = 3t'}\end{array}} \right.\)

b) \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y = 4 - t}\\{z = - 1 + 2t}\end{array}} \right. \,\, và \,\, \Delta ':\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t'}\\{y = 2 - 3t'}\\{z = - 3t'}\end{array}} \right.\)

Phương pháp giải

- Viết phương trình mặt phẳng chứa một đường thẳng và song song với đường thẳng còn lại.

- Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, sử dụng công thức:

\(d\left( {\Delta ,\Delta '} \right) = d\left( {\Delta ,\left( \alpha \right)} \right) = \dfrac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c{z_0} + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)

Ở đó \(\Delta ' \subset \left( \alpha \right),\Delta //\left( \alpha \right)\) và \(M \in \Delta\)

Hướng dẫn giải

a) Gọi \((\alpha)\) là mặt phẳng chứa \(\Delta\) và song song với \(\Delta '\)

Hai vecto có giá song song hoặc nằm trên \((\alpha )\) là: \(\overrightarrow u = (1; - 1;0)\) và \(\overrightarrow u ' = ( - 1;1;1)\)

Suy ra  \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {u'} ,\overrightarrow u } \right] = \left( { - 1; - 1;0} \right)\)

\((\alpha )\) đi qua điểm M₁(1; -1; 1) thuộc \(\Delta\) và có vecto pháp tuyến: \(\overrightarrow {{n_{\alpha '}}} = (1;1;0)\)

Vậy phưong trình của mặt phẳng \((\alpha )\) có dạng x – 1 + y + 1=0 hay x + y = 0

Ta có: M₂(2; 2; 0) thuộc đường thẳng \(\Delta '\)

\(d(\Delta ,\Delta ') = d({M_2},(\alpha )) = \dfrac{{|2 + 2|}}{{\sqrt {1 + 1} }} = 2\sqrt 2 \)

b) Hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta '\) có phương trình là:

\(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y = 4 - t}\\{z = - 1 + 2t}\end{array}} \right.\) và \(\Delta ':\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t'}\\{y = 2 - 3t'}\\{z = - 3t'}\end{array}} \right.\)

Phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) chứa \(\Delta \) và song song với \(\Delta '\) là 9x + 5y – 2z – 22 = 0

Lấy điểm M’(0; 2; 0) trên \(\Delta '\)

Ta có \(d(\Delta ,\Delta ') = d(M',(\alpha )) = \dfrac{{|5.(2) - 22|}}{{\sqrt {81 + 25 + 4} }} = \dfrac{{12}}{{\sqrt {110} }}\)

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng \(\Delta\) và \(\Delta '\) là \(\dfrac{{12}}{{\sqrt {110} }}\)

Cho hai đường thẳng \(\Delta :\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y + 3}}{1} = \dfrac{{z - 4}}{{ - 2}} \,\, và \,\, \Delta ':\dfrac{{x + 2}}{{ - 4}} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 2}} = \dfrac{{z + 1}}{4}\)

a) Xét vị trí tương đối giữa Δ và Δ′

b) Tính khoảng cách giữa Δ và Δ′

Phương pháp giải

a) Nhận xét vị trí tương đối của hai đường thẳng, sử dụng mối quan hệ giữa hai đường thẳng song song: \(\Delta //\Delta ' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u = k\overrightarrow {u'} \\M \in \Delta ,M \notin \Delta '\end{array} \right.\)

b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song \(d\left( {\Delta ,\Delta '} \right) = d\left( {M,\Delta '} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MA'} ,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {u'} } \right|}}\)

Hướng dẫn giải

Cho điểm M(2; -1; 1) và đường thẳng \(\Delta :\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 1}} = \dfrac{z}{2}\)

a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên đường thẳng Δ;

b) Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng Δ.

Phương pháp giải

a) Tham số hóa tọa độ hình chiếu của M trên \(\Delta\)

Lập phương trình tìm tham số, sử dụng điều kiện \(\overrightarrow {MH} \bot \overrightarrow {{u_\Delta }}\)

b) M' đối xứng với M qua \(\Delta\) nếu H là trung điểm của \(MM'\)

Hướng dẫn giải

a) Phương trình tham số của \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 2t}\\{y = - 1 - t}\\{z = 2t}\end{array}} \right.\)

Xét điểm  \(H(1 + 2t; - 1 - t;2t) \in \Delta\)

Ta có \(\overrightarrow {MH} = (2t - 1; - t;2t - 1), \overrightarrow {{u_\Delta }} = (2; - 1;2)\)

H là hình chiếu vuông góc của M trên \(\Delta \Leftrightarrow \overrightarrow {MH} .\overrightarrow {{u_\Delta }} = 0\)

\(\Leftrightarrow 2(2t - 1) + t + 2(2t - 1) = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{4}{9}\)

Ta suy ra tọa độ điểm \(H\left( {\dfrac{{17}}{9};\dfrac{{ - 13}}{9};\dfrac{8}{9}} \right)\)

b) H là trung điểm của MM’, suy ra \({x_{M'}} + {x_M} = 2{x_H}\)

Suy ra \({x_{M'}} = 2{x_H} - {x_M} = \dfrac{{34}}{9} - 2 = \dfrac{{16}}{9}\)

Tương tự, ta được

\({y_{M'}} = 2{y_H} - {y_M} = \dfrac{{ - 26}}{9} + 1 = \dfrac{{ - 17}}{9};\)\({z_{M'}} = 2{z_H} - {z_M} = \dfrac{{16}}{9} - 1 = \dfrac{7}{9}\)

Vậy \(M'\left( {\dfrac{{16}}{9};\dfrac{{ - 17}}{9};\dfrac{7}{9}} \right)\)

Cho điểm M(1; -1; 2) và mặt phẳng (α): 2x – y + 2z + 12 = 0

a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (α)

b) Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua mặt phẳng (α) .

Phương pháp giải

a) 

- Viết phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta\) đi qua M và vuông góc \(\left( \alpha \right)\)

- Tìm giao điểm của \(\Delta\) và \(\left( \alpha \right)\)

b) M' đối xứng với M qua \(\left( \alpha \right) \Leftrightarrow H\) là trung điểm của MM'

Hướng dẫn giải

a) 

Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm M(1; -1; 2) và vuông góc với mặt phẳng \((\alpha ) : 2x – y + 2z + 12 = 0\) là: \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 2t}\\{y = - 1 - t}\\{z = 2 + 2t}\end{array}} \right.\)

Xét điểm H(1 + 2t; -1 – t ; 2 + 2t) \(\in \Delta \)

Ta có \(H \in (\alpha ) \Leftrightarrow 2(1 + 2t) + (1 + t) + 2(2 + 2t) + 12 = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{{ - 19}}{9}\)

Vậy ta được \(H\left( {\dfrac{{ - 29}}{9};\dfrac{{10}}{9};\dfrac{{ - 20}}{9}} \right)\)

b) H là trung điểm của MM’, suy ra \({x_{M'}} = 2{x_H} - {x_M} = \dfrac{{ - 58}}{9} - 1 = \dfrac{{ - 67}}{9}\)

\({y_{M'}} = 2{y_H} - {y_M} = \dfrac{{20}}{9} + 1 = \dfrac{{29}}{9}\)

\({z_{M'}} = 2{z_H} - {z_M} = \dfrac{{ - 40}}{9} - 2 = \dfrac{{ - 58}}{9}\)

Vậy ta được \(M'\left( {\dfrac{{ - 67}}{9};\dfrac{{29}}{9};\dfrac{{ - 58}}{9}} \right)\)

Cho hai đường thẳng: \(d:\dfrac{{x - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{y - 2}}{2} = \dfrac{z}{3} \,\, và \,\, d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t'}\\{y = 3 - 2t'}\\{z = 1}\end{array}} \right.\)

Lập phương trình đường vuông góc chung của d và d’.

Phương pháp giải

- Tham số hóa tọa độ hai điểm M, M' lần lượt thuộc hai đường thẳng d, d'.

- Sử dụng điều kiện \(\overrightarrow {MM'}\) là đường vuông góc chung của d, d' thì \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MM'} .\overrightarrow {{u_d}} = 0\\\overrightarrow {MM'} .\overrightarrow {{u_{d'}}} = 0\end{array} \right.\)

- Tìm tọa độ của M, M' và viết phương trình đường thẳng MM'.

Hướng dẫn giải

Phương trình tham số của đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 - t}\\{y = 2 + 2t}\\{z = 3t}\end{array}} \right.\)

Vecto chỉ phương của hai đường thẳng d và d’ lần lượt là \(\overrightarrow a = ( - 1;2;3),\overrightarrow {a'} = (1; - 2;0)\)

Xét điểm M(1 – t; 2 + 2t; 3t) trên d và điểm M’(1 + t’; 3 – 2t’ ; 1) trên d’ ta có  \(\overrightarrow {MM'} = (t' + t;1 - 2t' - 2t;1 - 3t)\)

MM’ là đường vuông góc chung của d và d’.

\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {MM'} .\overrightarrow a = 0}\\{\overrightarrow {MM'} .\overrightarrow {a'} = 0}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - t' - t + 2 - 4t' - 4t + 3 - 9t = 0\\t' + t - 2 + 4t' + 4t = 0\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5t' + 14t = 5}\\{5t' + 5t = 2}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \dfrac{1}{3}}\\{t' = \dfrac{1}{{15}}}\end{array}} \right.\)

Thay giá trị của t và t’ vào ta được tọa độ M và M’ là \(M\left( {\dfrac{2}{3};\dfrac{8}{3};1} \right),M'\left( {\dfrac{{16}}{{15}};\dfrac{{43}}{{15}};1} \right)\)

Do đó \(\overrightarrow {MM'} = \left( {\dfrac{6}{{15}};\dfrac{3}{{15}};0} \right)\)

Suy ra đường vuông góc chung \(\Delta \) của d và d’ có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u = (2;1;0)\)

Vậy phương trình tham số của \(\Delta \) là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{2}{3} + 2t}\\{y = \dfrac{8}{3} + t}\\{z = 1}\end{array}} \right.\)

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Bằng phương pháp tọa độ hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CA’ và  DD’.

Phương pháp giải

- Chọn hệ trục tọa độ gốc \(C\left( {0;0;0} \right)\) và xác định tọa độ các điểm còn lại.

- Viết phương trình mặt phẳng chứa CA' và song song DD'.

- Tính khoảng cách \(d\left( {CA',DD'} \right) = d\left( {DD',\left( \alpha \right)} \right) = d\left( {D,\left( \alpha \right)} \right)\)

Hướng dẫn giải

Cho mặt phẳng (α) : 2x + y + z – 1 = 0 và đường thẳng \(d: \dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z + 2}}{{ - 3}}\)

Gọi M là giao điểm của d và (α), hãy viết phương trình của đường thẳng Δ đi qua M vuông góc với d và nằm trong (α)

Phương pháp giải

- Tìm giao điểm của d và \(\left( \alpha \right)\)

- Đường thẳng \(\Delta\) vuông góc với d và nằm trong \(\left( \alpha \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }} = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} } \right]\)

Hướng dẫn giải

Cho hai đường thẳng d₁: \(\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y + 2}}{{ - 3}} = \dfrac{{z - 5}}{4} \,\, và \,\,d2: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 7 + 3t}\\{y = 2 + 2t}\\{z = 1 - 2t}\end{array}} \right.\)

Phương pháp giải

Sử dụng vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Cho đường thẳng ∆₁ qua điểm M­₁ và có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u_{1}}\), đường thẳng ∆₂ qua điểm M­₂  và có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u_{2}}\)

* ∆₁ và ∆₂ chéo nhau ⇔ ∆₁ và ∆₂ không nằm trong cùng một mặt phẳng ⇔ \(\left [\overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}} \right ]\overrightarrow{M_{1}M_{2}}\neq 0\)

* ∆₁ và ∆₂ song song ⇔ \(\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{u_{1}}=k\overrightarrow{u_{2}}\\ M_{1}\in \Delta _{1}\\ M_{2}\notin \Delta _{2} \end{matrix}\right.\)

* ∆₁ trùng với ∆₂  ⇔ \(\overrightarrow{u_{1}}, \overrightarrow{u_{2}}, \overrightarrow{M_{1}M_{2}}\) là ba vectơ cùng phương.

* ∆₁ cắt  ∆₂  ⇔ \(\overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}}\) không cùng phương và \(\left [\overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}} \right ]\overrightarrow{M_{1}M_{2}}= 0\)

Hướng dẫn giải

a) Ta có \(\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} = \left( {2; - 3;4} \right) \,\, và \,\, \overrightarrow {{u_{{d_2}}}} = (3;2; - 2)\)

\(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} ,\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} } \right] = ( - 2;16;13)\)

Lấy điểm M₁(1; -2; 5) trên d₁ và điểm M₂(7;2;1) trên d₂.

Ta có \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = (6;4; - 4); \overrightarrow n .\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = - 12 + 64 - 52 = 0\)

Suy ra \({d_1}\) và \({d_2}\) cùng nằm trong mặt phẳng \((\alpha )\)

b) Mặt phẳng \((\alpha )\) chứa \({M_1}\) và có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n \), vậy phương trình của \((\alpha )\) là:

\(– 2(x – 1) +16(y + 2) + 13(z – 5) = 0 \,\, hay \,\, 2x – 16y – 13z + 31 = 0\)

Các em hãy luyện tập bài trắc nghiệm Phương trình đường thẳng Toán 12 sau để nắm rõ thêm kiến thức bài học.

Trắc Nghiệm