Giải bài tập SBT Toán 12 Bài 2: Phương trình mặt phẳng

Viết phương trình mặt phẳng (α) trong các trường hợp sau:

a) (α) đi qua điểm M(2; 0; 1) và nhận  \(\overrightarrow n = (1;1;1)\) làm vecto pháp tuyến;

b) (α) đi qua điểm A(1; 0; 0) và song song với giá của hai vecto \(\overrightarrow u = (0;1;1),\overrightarrow v = ( - 1;0;2)\)

c) (α) đi qua ba điểm M(1; 1; 1), N(4; 3; 2), P(5; 2; 1).

Phương pháp giải

a) Sử dụng công thức \(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) + c\left( {z - {z_0}} \right) = 0\).

b) Tìm tọa độ véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\)

c) Tìm tọa độ véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} } \right]\)

Hướng dẫn giải

a) Phương trình (α) có dạng:  (x – 2)+ (y) + (z – 1) = 0  hay x + y + z – 3 = 0

b) Hai vecto có giá song song với mặt phẳng (α) là: \(\overrightarrow u = (0;1;1)\,\, và \,\,\overrightarrow v = ( - 1;0;2)\)

Suy ra (α) có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = (2; - 1;1)\)

Mặt phẳng (α) đi qua điểm A(1; 0; 0) và nhận \(\overrightarrow n = (2; - 1;1)\)  là vecto pháp tuyến.

Vậy phương trình của (α) là: 2(x – 1) – y  +z = 0  hay 2x – y + z – 2 = 0

c) Hai vecto có giá song song hoặc nằm trên (α) là: \(\overrightarrow {MN} = (3;2;1)\) và \(\overrightarrow {MP} = (4;1;0)\)

Suy ra (α) có vecto pháp tuyến  là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} } \right] = ( - 1;4; - 5)\)

Vậy phương trình của (α) là:  -1(x – 1) + 4(y – 1) – 5(z – 1) = 0 

hay x – 4y + 5z – 2 = 0.

Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A(1; -2; 4), B(3; 6; 2).

Phương pháp giải

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng vuông góc với đoạn thẳng đó tại trung điểm của nó.

Nói cách khác, mặt phẳng trung trực của AB đi qua trung điểm I của AB và nhận \(\overrightarrow {AB}\) làm VTPT.

Hướng dẫn giải

Đoạn thẳng AB có trung điểm là I(2; 2; 3)

Mặt phẳng trung trực của đoạn AB đi qua I và có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \overrightarrow {IB} = (1;4; - 1)\)

Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB là:

1(x – 2) + 4(y – 2) – 1(z – 3) = 0 hay x + 4y – z – 7 = 0.

Cho tứ diện có các đỉnh là A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0 ; 4), D(4; 0 ; 6)

a) Hãy viết phương trình mặt phẳng (ABC).

b) Hãy viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm D và song song với mặt phẳng (ABC).

Phương pháp giải

a) Mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C thì nhận \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\) làm VTPT.

b) Mặt phẳng song song với \(\left( {ABC} \right)\) thì cũng nhận \(\overrightarrow {{n_{\left( {ABC} \right)}}} \) làm VTPT.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = ( - 4;5; - 1)\)  và \(\overrightarrow {AC} = (0; - 1;1) \,\, suy\,\, ra \,\,\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = (4;4;4)\)

Do đó (ABC) có vecto pháp tuyến là  \(\overrightarrow n = (4;4;4)\) hoặc \(\overrightarrow n ' = (1;1;1)\)

Suy ra phương trình của (ABC) là: (x – 5) + (y – 1) + (z – 3) = 0 

Hay x + y + z – 9 =0

b) Mặt phẳng (α) đi qua điểm D và song song với mặt phẳng (ABC) nên (α) cũng có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n ' = (1;1;1)\)

Vậy phương trình của (α) là: (x – 4) + (y) + (z – 6) = 0  hay x + y + z – 10 = 0.

Hãy viết phương trình mặt phẳng \((α)\) đi qua gốc tọa độ O(0; 0; 0) và song song với mặt phẳng \((\beta )\) : x + y + 2z – 7 = 0.

Phương pháp giải

Mặt phẳng song song với \((\beta )\) thì cũng nhận \(\overrightarrow {{n_{\left( \beta \right)}}}\) làm VTPT.

Hướng dẫn giải

Mặt phẳng (α) song song với mặt phẳng \((\beta )\): x  + y + 2z – 7 = 0

Vậy phương trình của (α) có dạng : x + y + 2z + D = 0

(α) đi qua gốc tọa độ O(0; 0; 0) suy ra D = 0.

Vậy phương trình của (α) là  x + y + 2z = 0.

Lập phương trình mặt phẳng (α) đi qua hai điểm A(0; 1; 0) , B(2; 3; 1) và vuông góc với mặt phẳng \((\beta )\) : x + 2y – z = 0 .

Phương pháp giải

Mặt phẳng đi qua hai điểm A ,B và vuông góc \(\left( \beta \right)\) thì có VTPT là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{n_{\left( \beta \right)}}} } \right]\)

Hướng dẫn giải

Mặt phẳng (α) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng \(\left( \beta \right)\)

x + 2y – z = 0.

Vậy hai vecto có giá song song hoặc nằm trên (α) là \(\overrightarrow {AB} = (2;2;1)\)  và \(\overrightarrow {{n_\beta }} = (1;2; - 1)\)

Suy ra (α) có vecto pháp tuyến là: \(\overrightarrow {{n_\alpha }} =\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{n_\beta }} } \right] = ( - 4;3;2)\)

Vậy phương trình của (α) là: -4x + 3(y – 1) + 2z = 0 hay 4x – 3y – 2z + 3 = 0.

Xác định các giá trị của A, B để hai mặt phẳng sau đây song song với nhau:

(α): Ax – y + 3z + 2 = 0

(β): 2x + By + 6z + 7 = 0

Phương pháp giải

Hai mặt phẳng ax + by + cz + d = 0 và a'x + b'y + c'z + d' = 0 song song nếu \(\dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} = \dfrac{c}{{c'}} \ne \dfrac{d}{{d'}} \,\, với \,\, a'b'c'd' \ne 0\)

Hướng dẫn giải

\((\alpha )//(\beta ) \Leftrightarrow \dfrac{A}{2} = \dfrac{{ - 1}}{B} = \dfrac{3}{6} \ne \dfrac{2}{7} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{A = 1}\\{B = - 2}\end{array}} \right.\)

Tính khoảng cách từ điểm M(1; 2; 0) lần lượt đến các mặt phẳng sau:

a) (α): x + 2y – 2z + 1 = 0

b) (β): 3x + 4z + 25 = 0

c) (γ): z + 5 = 0

Phương pháp giải

Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng: \(d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c{z_0} + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)

Hướng dẫn giải

a) \(d(M,(\alpha )) = \dfrac{{|1 + 4 + 1|}}{{\sqrt {1 + 4 + 4} }} = \dfrac{6}{3} = 2\)

b) \(d(M,(\beta )) = \dfrac{{|3 + 25|}}{{\sqrt {9 + 16} }} = \dfrac{{28}}{5}\)

c) \(d(M,(\gamma )) = \dfrac{{|5|}}{{\sqrt 1 }} = 5\)

Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng

(α) : 3x – y + 4z + 2 = 0

(β) : 3x – y + 4z + 8 = 0

Phương pháp giải

Gọi tọa độ điểm \(M\left( {x;y;z} \right)\), sử dụng công thức tính khoảng cách suy ra mối quan hệ x,y,z.

Từ đó suy ra mặt phẳng cần tìm.

Hướng dẫn giải

Xét điểm M(x; y; z). Ta có: M cách đều hai mặt phẳng (α) và \(β)

\(\Leftrightarrow d(M,(\alpha )) = d(M,(\beta ))\)

\(\Leftrightarrow \dfrac{{|3x - y + 4z + 2|}}{{\sqrt {9 + 1 + 16} }}\) \( = \dfrac{{|3x - y + 4z + 8|}}{{\sqrt {9 + 1 + 16} }}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left| {3x - y + 4z + 2} \right| = \left| {3x - y + 4z + 8} \right|\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3x - y + 4z + 2 = 3x - y + 4z + 8\\ 3x - y + 4z + 2 = - \left( {3x - y + 4z + 8} \right) \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2 = 8\left( {vo\,li} \right)\\ 6x - 2y + 8z + 10 = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow 3x - y + 4z + 5 = 0 \end{array}\)

Vậy tập hợp điểm M là mặt phẳng 3x - y + 4z + 5 = 0.

Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Dùng phương pháp tọa độ để:

a) Chứng minh hai mặt phẳng (AB’D’) và (BC’D) song song:

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó.

Phương pháp giải

a) Chọn hệ trục tọa độ, viết phương trình mặt phẳng \(\left( {AB'D'} \right),\left( {BC'D} \right)\) và suy ra điều kiện song song.

b) Sử dụng tính chất \(d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = d\left( {M,\left( Q \right)} \right)\) và công thức khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng \(d\left( {M,\left( Q \right)} \right) = \dfrac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c{z_0} + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)

Hướng dẫn giải

Ta chọn hệ trục tọa độ sao cho các đỉnh của hình lập phương có tọa độ là:

A(0; 0; 0)  , B(1;0; 0)   , D(0; 1; 0)

B’(1; 0 ; 1)  , D’(0; 1; 1)  , C’ (1; 1; 1)

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB'} = \left( {1;0;1} \right),\overrightarrow {AD'} = \left( {0;1;1} \right)\\ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB'} ,\overrightarrow {AD'} } \right] = \left( { - 1; - 1;1} \right)\end{array}\)

Mặt phẳng \(\left( {AB'D'} \right)\) đi qua \(A\left( {0;0;0} \right)\) và nhận \(\left[ {\overrightarrow {AB'} ,\overrightarrow {AD'} } \right] = \left( { - 1; - 1;1} \right)\) làm VTPT nên

\(\left( {AB'D'} \right): - \left( {x - 0} \right) - \left( {y - 0} \right) + \left( {z - 0} \right) = 0\)  hay x + y - z = 0

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {BC'} = \left( {0;1;1} \right),\overrightarrow {DC'} = \left( {1;0;1} \right)\\ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {BC'} ,\overrightarrow {DC'} } \right] = \left( {1;1; - 1} \right)\end{array}\)

Mặt phẳng \(\left( {BC'D} \right)\) đi qua \(B\left( {1;0;0} \right)\) và nhận \(\left[ {\overrightarrow {BC'} ,\overrightarrow {DC'} } \right] = \left( {1;1; - 1} \right)\) làm VTPT nên

\(\left( {BC'D} \right):\left( {x - 1} \right) + \left( {y - 0} \right) - \left( {z - 0} \right) = 0\) hay x + y - z - 1 = 0

Ta có: \(\dfrac{1}{1} = \dfrac{1}{1} = \dfrac{{ - 1}}{{ - 1}} \ne \dfrac{0}{{ - 1}}\)

Vậy  (AB’D’) // (BC’D)

b)  \(d((AB'D'),(BC'D))\)\( = d(A,(BC'D)) = \dfrac{{\left| {0 + 0 - 0 - 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} \) \(= \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\)

Lập phương trình của mặt phẳng (α) đi qua điểm M(3; -1; -5) đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng:

(β): 3x – 2y + 2z + 7 = 0

(γ): 5x – 4y + 3z + 1 = 0

Phương pháp giải

Mặt phẳng (α) vuông góc với hai mặt phẳng (β), (γ) thì \(\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} = \left[ {\overrightarrow {{n_{\left( \beta \right)}}} ;\overrightarrow {{n_{\left( \gamma \right)}}} } \right]\)

Hướng dẫn giải

Mặt phẳng (β) có VTPT \(\overrightarrow {{n_\beta }} = (3; - 2;2)\)

Mặt phẳng (γ) có VTPT \(\overrightarrow {{n_\gamma }} = (5; - 4;3)\)

Mặt phẳng (α) vuông góc với hai mặt phẳng (β) và (γ), do đó 

\(\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {{n_\alpha }} \bot \overrightarrow {{n_\beta }} \\ \overrightarrow {{n_\alpha }} \bot \overrightarrow {{n_\gamma }} \end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{n_\beta }} ;\overrightarrow {{n_\gamma }} } \right]\)

Suy ra  \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{n_\beta }} ,\overrightarrow {{n_\gamma }} } \right] = (2;1; - 2)\)

Mặt khác (α) đi qua điểm M(3; -1; -5) và có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_\alpha }}\)

Vậy phương trình của (α) là:  2(x – 3) + 1(y + 1) – 2(z + 5) = 0  hay 2x + y – 2z – 15 = 0.

Cho điểm A(2; 3; 4). Hãy viết phương trình của mặt phẳng (α) đi qua  các hình chiếu của điểm A trên các trục tọa độ.

Phương pháp giải

- Tìm tọa độ các hình chiếu của A trên mỗi trục tọa độ.

- Sử dụng công thức viết phương trình mặt phẳng dạng mặt chắn: \(\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1\)

Hướng dẫn giải

Hình chiếu của điểm A(2; 3; 4) lên các trục Ox, Oy, Oz lần lượt là B(2; 0; 0), C(0; 3; 0), D(0; 0 ; 4). Mặt phẳng (α) đi qua ba điểm B, C, D nên (α) có phương trình theo đoạn chắn là: \(\dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{3} + \dfrac{z}{4} = 1\)  hay 6x + 4y + 3z – 12 = 0.

Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng cho bởi phương trình tổng quát sau đây:

a) (α1): 3x − 2y − 3z + 5 = 0, (α′₁): 9x − 6y − 9z – 5 = 0

b) (α2): x − 2y + z + 3 = 0, (α′₂): x − 2y – z + 3 = 0

c) (α3): x – y + 2z – 4 = 0, (α′₃): 10x − 10y + 20z – 40 = 0

Phương pháp giải

Sử dụng vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng:

Cho hai mặt phẳng (P₁) và (P₂) có phương trình:

(P₁):  A₁x + B₁y  + C₁z + D₁ = 0

(P₂):  A₂x + B₂y  + C₂z + D₂ = 0.

Ta có \(\overrightarrow{n_{1}}\)(A₁ ; B₁ ; C₁) ⊥  (P₁) và \(\overrightarrow{n_{2}}\)(A₂ ; B₂ ; C₂) ⊥  (P₂) . Khi đó:

(P₁) ⊥  (P₂)  ⇔ \(\overrightarrow{n_{1}}\perp \overrightarrow{n_{2}} ⇔ \overrightarrow{n_{1}}.\overrightarrow{n_{2}}\)⇔ A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂ = 0

(P1) // (P2)  ⇔  \(\overrightarrow{n_{1}}=k.\overrightarrow{n_{2}} \,\, và \,\, D_1 ≠ k.D_2 (k ≠) 0\)

(P1) ≡ (P2)  ⇔ \(\overrightarrow{n_{1}}=k.\overrightarrow{n_{2}}\) và  D₁ = k.D₂

(P1) cắt (P2)  ⇔  \(\overrightarrow{n_{1}}\neq k.\overrightarrow{n_{2}}\) (nghĩa là \(\overrightarrow{n_{1}}\) và \(\overrightarrow{n_{2}}\) không cùng phương).

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(\dfrac{3}{9} = \dfrac{{ - 2}}{{ - 6}} = \dfrac{{ - 3}}{{ - 9}} \ne \dfrac{5}{{ - 5}}\) nên \(({\alpha _1})//({\alpha _1}')\)

b) Ta có: \(\dfrac{1}{1} = \dfrac{{ - 2}}{{ - 2}} \ne \dfrac{1}{{ - 1}}\) nên \(({\alpha _2})\) cắt \(({\alpha _2}')\)

c) Ta có: \(\dfrac{1}{{10}} = \dfrac{{ - 1}}{{ - 10}} = \dfrac{2}{{20}} = \dfrac{{ - 4}}{{ - 40}}\,\, nên \,\,({\alpha _3}) \equiv ({\alpha _3}')\)

Viết phương trình của mặt phẳng (β) đi qua điểm M(2; -1; 2), song song với trục Oy và vuông góc với mặt phẳng (α): 2x – y + 3z + 4 = 0

Phương pháp giải

Mặt phẳng (β) song song với trục Oy và vuông góc với mặt phẳng (α) nên \(\overrightarrow {{n_\beta }} = \left[ {\overrightarrow j ,\overrightarrow {{n_\alpha }} } \right]\)

Hướng dẫn giải

Trục Oy có VTCP \(\overrightarrow j = (0;1;0)\)

Mặt phẳng (α): 2x – y + 3z + 4 = 0\) có VTPT \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = (2; - 1;3)\)

Mặt phẳng (β) song song với trục Oy và vuông góc với mặt phẳng (α)

\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {{n_\beta }} \bot \overrightarrow {{n_\alpha }} \\ \overrightarrow {{n_\beta }} \bot \overrightarrow j \end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{n_\beta }} = \left[ {\overrightarrow j ;\overrightarrow {{n_\alpha }} } \right]\)

Suy ra (β) có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_\beta }} = \left[ {\overrightarrow j ;\overrightarrow {{n_\alpha }} } \right] = (3;0; - 2)\)

Mặt phẳng (β) đi qua điểm M(2; -1; 2) có vecto pháp tuyến là: \(\overrightarrow {{n_\beta }} = (3;0; - 2)\)

Vậy phương trình của (β) là:  3(x – 2) – 2(z – 2) = 0  hay 3x – 2z – 2 = 0.

Lập phương trình của mặt phẳng (α) đi qua điểm M(1; 2; 3) và cắt ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất.

Phương pháp giải

- Lập phương trình mặt chắn đi qua các điểm \(A,B,C\).

- Viết công thức tính thể tích tứ diện và đánh giá GTNN.

Hướng dẫn giải

Gọi giao điểm của (α) với ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt là A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0 ; c)

(a, b, c > 0).

Mặt phẳng (α) có phương trình theo đoạn chắn là: \(\left( \alpha \right):\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1\) (1)

Do (α) đi qua M(1; 2; 3) nên ta thay tọa độ của điểm M vào (1): \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{b} + \dfrac{3}{c} = 1\)

Thể tích của tứ diện OABC là  \(V = \dfrac{1}{3}B.h = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}OA.OB.OC = \dfrac{1}{6}abc\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: \(1 = \dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{b} + \dfrac{3}{c} \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{6}{{abc}}}} \Rightarrow 1 \ge \dfrac{{27.6}}{{abc}}\)

\(\Rightarrow abc \ge 27.6 \Rightarrow V \ge 27\)

Ta có:  V đạt giá trị nhỏ nhất 

\(\Leftrightarrow V = 27 \Leftrightarrow \dfrac{1}{a} = \dfrac{2}{b} = \dfrac{3}{c} = \dfrac{1}{3} \) \(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 3}\\{b = 6}\\{c = 9}\end{array}} \right.\)

Vậy phương trình mặt phẳng (α) thỏa mãn đề bài là:

\(\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{6} + \dfrac{z}{9} = 1\) hay 6x + 3y + 2z – 18 = 0.