Giải bài tập SBT Toán 12 Bài 1: Hệ tọa độ trong không gian

Trong không gian Oxyz cho ba vecto $\overrightarrow a = (2; - 1;2),\overrightarrow b = (3;0;1),\overrightarrow c = ( - 4;1; - 1)$. Tìm tọa độ của các vecto $\overrightarrow m$ và $\overrightarrow n$ biết rằng:

a) $\overrightarrow m = 3\overrightarrow a - 2\overrightarrow b + \overrightarrow c$

b) $\overrightarrow n = 2\overrightarrow a + \overrightarrow b + 4\overrightarrow c$

Phương pháp giải

Sử dụng công thức $k\overrightarrow a \pm l\overrightarrow b = \left( {kx \pm lx';ky \pm ly';kz \pm lz'} \right)$

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\overrightarrow m = 3\overrightarrow a - 2\overrightarrow b + \overrightarrow c = ( - 4; - 2;3)$

b) $\overrightarrow n = 2\overrightarrow a + \overrightarrow b + 4\overrightarrow c = ( - 9;2;1)$

Trong không gian Oxyz cho vecto $\overrightarrow a = (1; - 3;4)$

a) Tìm y₀ và z₀ để cho vecto $\overrightarrow b = (2;{y_0};{z_0})$ cùng phương với $\overrightarrow a$

b) Tìm tọa độ của vecto $\overrightarrow c$ biết rằng  $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow c$ ngược hướng và $|\overrightarrow {c|} = 2|\overrightarrow a |$

Phương pháp giải

Sử dụng lý thuyết: $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ cùng phương khi và chỉ khi $\overrightarrow a = k\overrightarrow b$ với k là một số thực.

Hướng dẫn giải

a) Ta biết rằng $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ cùng phương khi và chỉ khi  $\overrightarrow a = k\overrightarrow b$ với k là một số thực.

Theo giả thiết ta có: $\overrightarrow b = ({x_0};{y_0};{z_0})$ với x₀ = 2. Ta suy ra $k = \dfrac{1}{2}$ nghĩa là $l = \dfrac{1}{2}{x_0}$

Do đó: $- 3 = \dfrac{1}{2}{y_0}$ nên y₀ = -6

$4 = \dfrac{1}{2}{z_0}$ nên z₀ = 8

Vậy ta có $\overrightarrow b = (2; - 6;8)$

b) Theo giả thiết ta có $\overrightarrow c = - 2\overrightarrow a$

Do đó tọa độ của $\overrightarrow c$ là: $\overrightarrow c = \left( { - 2;6; - 8} \right)$

Trong không gian Oxyz cho điểm M có tọa độ (x₀; y₀ ; z₀). Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M trên các mặt phẳng  tọa độ (Oxy), (Oyz), (Ozx).

Phương pháp giải

Dựng hình chiếu của M trên các mặt phẳng tọa độ và tìm tọa độ các hình chiếu đó.

Hướng dẫn giải

Gọi M’, M’’, M’’’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M trên các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx).

Ta có: M’(x₀; y₀; 0), M’’ (0; y₀; z₀), M’’’(x₀; 0; z₀).

Cho hai bộ ba điểm:

a) A = (1; 3; 1), B = (0; 1; 2), C = (0; 0; 1)

b) M = (1; 1; 1), N = (-4; 3; 1), P = (-9; 5; 1)

Hỏi bộ nào có ba điểm thẳng hàng?

Phương pháp giải

Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi hai vecto $\overrightarrow {AB}$  và $\overrightarrow {AC}$ cùng phương

Hướng dẫn giải

a) Ta có  $\overrightarrow {AB} = ( - 1; - 2;1), \overrightarrow {AC} = ( - 1; - 3;0)$

Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi hai vecto $\overrightarrow {AB}$  và $\overrightarrow {AC}$ cùng phương, nghĩa là $\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC}$ với k là một số thực.

Giả sử ta có $\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC}$, khi đó $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{k.( - 1) = - 1}\\{k.( - 3) = - 2}\\{k.(0) = 1}\end{array}} \right.$

Ta không tìm được số k nào thỏa mãn đồng thời cả ba đẳng thức trên.

Vậy ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

b) Ta có: $\overrightarrow {MN} = ( - 5;2;0)\,\, và \,\,\overrightarrow {MP} = ( - 10;4;0)$. Hai vecto $\overrightarrow {MN}$ và $\overrightarrow {MP}$ thỏa mãn điều kiện: $\overrightarrow {MN} = k\overrightarrow {MP}$ với $k = \dfrac{1}{2}$ nên ba điểm M, N, P thẳng hàng.

Trong không gian Oxyz, hãy tìm trên mặt phẳng (Oxz) một điểm M cách đều ba điểm A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0), C(3; 1; -1).

Phương pháp giải

- Gọi tọa độ của $M \in \left( {Oxz} \right)$. Tính khoảng cách MA, MB, MC.

- Lập hệ phương trình, giải hệ và kết luận.

Hướng dẫn giải

Điểm M thuộc mặt phẳng (Oxz) có tọa độ là (x; 0; z), cần phải tìm x và z. Ta có:

MA² = (1 – x)² + 1 + (1 – z)²

MB² = (–1 – x)² + 1 + z²

MC² = (3 – x)² + 1 + (–1 – z)²

Theo giả thiết M cách đều ba điểm A, B, C nên ta có  MA² = MB² = MC²

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\left( {1 - x} \right)^2} + 1 + {\left( {1 - z} \right)^2} = {\left( { - 1 - x} \right)^2} + 1 + {z^2}\\ {\left( {1 - x} \right)^2} + 1 + {\left( {1 - z} \right)^2} = {\left( {3 - x} \right)^2} + 1 + {\left( { - 1 - z} \right)^2} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2x + 1 - 2z = 2x\\ 1 - 2x - 2z = 9 - 6x + 2z \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4x - 2z + 1 = 0\\ 4x - 4z - 8 = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \dfrac{5}{6}\\ z = - \dfrac{7}{6} \end{array} \right. \Rightarrow M\left( {\dfrac{5}{6};0; - \dfrac{7}{6}} \right) \end{array}$

Cho hình tứ diện ABCD. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} + \overline {BC}$

b) $\overrightarrow {AB} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AD} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DB}$

Phương pháp giải

Xen điểm thích hợp chứng minh đẳng thức véc tơ.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DC}$

$\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD}$

Do đó: $\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} \,\, vì \,\,\overrightarrow {DC} = - \overrightarrow {CD}$

b) Vì $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DB} \,\, và \,\,\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} \,\, nên \,\,\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DB}$

Do đó: $2\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CD} + 2\overrightarrow {DB}$

Vậy $\overrightarrow {AB} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AD} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DB}$

Cho hình tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BD, AD, BC. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} = 2\overrightarrow {MN}$

b) $\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BD} = 2\overrightarrow {PQ}$

Phương pháp giải

Xen điểm thích hợp chứng minh đẳng thức véc tơ.

Hướng dẫn giải

a) Ta có  MPNQ là hình bình hành vì  $\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {QN} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {CD}$ và $\overrightarrow {MQ} = \overrightarrow {PN} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB}$

Do đó $\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MQ} + \overrightarrow {MP} = \dfrac{{\overrightarrow {AB} }}{2} + \dfrac{{\overrightarrow {CD} }}{2}$  hay  $2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD}$      (1)

Mặt khác $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DB}$

$\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BD}$

Nên $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB}$          (2)

Vì $\overrightarrow {DB} = - \overrightarrow {BD}$

Từ (1) và (2) ta có: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} = 2\overrightarrow {MN}$  là đẳng thức cần chứng minh.

b) Ta có: $\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {MQ} - \overrightarrow {MP} = \dfrac{{\overrightarrow {AB} }}{2} - \dfrac{{\overrightarrow {CD} }}{2}$

Do đó: $2\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CD}$   (3)

Mặt khác: $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB}$

$\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BD} - \overrightarrow {BC}$

Nên $\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BD}$    (4)

Vì $\overrightarrow {CB} - ( - \overrightarrow {BC} ) = \overrightarrow 0$

Từ (3) và (4) ta suy ra $\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BD} = 2\overrightarrow {PQ}$ là đẳng thức cần chứng minh.

Trong không gian cho ba vecto tùy ý  $\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c$.

Gọi 

$\overrightarrow u = \overrightarrow a - 2\overrightarrow b ,$ $\overrightarrow v = 3\overrightarrow b - \overrightarrow c ,$ $\overrightarrow {\rm{w}} = 2\overrightarrow c - 3\overrightarrow a$

Chứng tỏ rằng ba vecto $\overrightarrow u ,\overrightarrow v ,\overrightarrow {\rm{w}}$ đồng phẳng.

Phương pháp giải

Muốn chứng tỏ rằng ba vecto $\overrightarrow u ,\overrightarrow v ,\overrightarrow {\rm{w}}$ đồng phẳng ta cần tìm hai số thực p và q sao cho $\overrightarrow {\rm{w}} = p\overrightarrow u + q\overrightarrow v$

Hướng dẫn giải

Giả sử có $\overrightarrow {\rm{w}} = p\overrightarrow u + q\overrightarrow v$

$2\overrightarrow c - 3\overrightarrow a = p(\overrightarrow a - 2\overrightarrow b ) + q(3\overrightarrow b - \overrightarrow c )$

$\Leftrightarrow (3 + p)\overrightarrow a + (3q - 2p)\overrightarrow b - (q + 2)\overrightarrow c = \overrightarrow 0$  (1)

Vì ba vecto $\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c$ lấy tùy ý  nên đẳng thức (1) xảy ra khi và chỉ khi:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3 + p = 0}\\{3q - 2p = 0}\\{q + 2 = 0}\end{array}} \right.$ $\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{p = - 3}\\{q = - 2}\end{array}} \right.$

Như vậy ta có: $\overrightarrow {\rm{w}} = - 3\overrightarrow u - 2\overrightarrow v$  nên ba vecto $\overrightarrow u ,\overrightarrow v ,\overrightarrow {\rm{w}}$ đồng phẳng.

Trong không gian Oxyz cho một vecto $\overrightarrow a$ tùy ý khác vecto$\overrightarrow 0$. Gọi $\alpha ,\beta ,\gamma$ là ba góc tạo bởi ba vecto đơn vị $\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k$ trên ba trục Ox, Oy, Oz và vecto $\overrightarrow a$. Chứng minh rằng:  ${\cos ^2}\alpha + {\cos ^2}\beta + {\cos ^2}\gamma = 1$

Phương pháp giải

- Dựng véc tơ đơn vị $\overrightarrow {{a_0}}$ cùng hướng với vecto $\overrightarrow a$

- Dựng điểm A₀ sao cho $\overrightarrow {O{A_0}} = \overrightarrow {{a_0}}$ và các điểm ${A_1},{A_2},{A_3}$ lần lượt là hình chiếu của ${A_0}$ lên các trục tọa độ.

- Tính $\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma$ và suy ra điều phải chứng minh.

Hướng dẫn giải

Gọi $\overrightarrow {{a_0}}$ là vecto đơn vị cùng hướng với vecto $\overrightarrow a$, ta có $\overrightarrow {{a_0}} = \dfrac{1}{{|\overrightarrow a |}}\overrightarrow a$

Gọi $\overrightarrow {O{A_0}} = \overrightarrow {{a_0}}$ và các điểm A₁, A₂, A₃ theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của điểm A₀ trên các trục Ox, Oy, Oz.

Khi đó ta có:  $\dfrac{{|\overrightarrow {O{A_1}} |}}{{|\overrightarrow {O{A_0}} |}} = \cos \alpha ,\dfrac{{|\overrightarrow {O{A_2}} |}}{{|\overrightarrow {O{A_0}|} }} = \cos \beta ,\dfrac{{|\overrightarrow {O{A_3}} |}}{{|\overrightarrow {O{A_0}} |}} = \cos \gamma$

Vì  $|\overrightarrow {O{A_0}} | = 1$ nên $|\overrightarrow {O{A_1}} | = \cos \alpha ,|\overrightarrow {O{A_2}} | = \cos \beta ,|\overrightarrow {O{A_3}} | = \cos \gamma$

Ta có $\overrightarrow {O{A_0}} = \overrightarrow {O{A_1}} + \overrightarrow {O{A_2}} + \overrightarrow {O{A_3}}$  , ta suy ra:  $\overrightarrow {O{A_0}} = \cos \alpha \overrightarrow i + \cos \beta \overrightarrow j + \cos \gamma \overrightarrow k \,\, hay \,\,\overrightarrow {O{A_0}} = (\cos \alpha ;\cos \beta ;\cos \gamma$

Vì  $\overrightarrow {O{A_0}} = \overrightarrow {{a_0}}$  mà $|\overrightarrow {{a_0}} | = 1$ nên ta có: ${\cos ^2}\alpha + {\cos ^2}\beta + {\cos ^2}\gamma = 1$

Cho hình tứ diện ABCD.

a) Chứng minh hệ thức: $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC} = 0$

b) Từ hệ thức trên hãy suy ra định lí: “Nếu một hình tứ diện có hai cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau thì cặp cạnh đối diện thứ ba cũng vuông góc với nhau.”

Phương pháp giải

- Xen điểm thích hợp vào từng cặp tích vô hướng.

- Cộng các tích vô hướng và suy ra điều phải chứng minh.

Hướng dẫn giải

a) Ta có $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AB} (\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} ) = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}$  (1)

$\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB} = \overrightarrow {AC} (\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} ) = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD}$   (2)

$\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AD} (\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} ) = \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB}$    (3)

Lấy  (1) + (2) + (3) ta có hệ thức cần chứng minh là:

$\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC} = 0$

b) Từ hệ thức trên ta suy ra định lí:  “Nếu tứ diện ABCD có  $AB \bot CD,AC \bot DB$ , nghĩa là $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = 0\,\, và \,\,\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB} = 0$ thì $\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC} = 0$ và do đó  $AD \bot BC$”

Tính tích vô hướng của hai vecto $\overrightarrow a ,\overrightarrow b$ trong không  gian với các tọa độ đã cho là:

a) $\overrightarrow a = (3;0; - 6),\overrightarrow b = (2; - 4;c)$

b) $\overrightarrow a = (1; - 5;2),\overrightarrow b = (4;3; - 5)$

c) $\overrightarrow a = (0;\sqrt 2 ;\sqrt 3 ),\overrightarrow b = (1;\sqrt 3 ; - \sqrt 2 )$

Phương pháp giải

Sử dụng công thức $\overrightarrow a .\overrightarrow b = xx' + yy' + zz'$

Hướng dẫn giải

a) $\overrightarrow a .\overrightarrow b =3.2-6.c= 6(1 - c)$

b) $\overrightarrow a .\overrightarrow b =1.4-5.3-5.2 = - 21$

c) $\overrightarrow a .\overrightarrow b =\sqrt 2 .\sqrt 3 -\sqrt 3 .\sqrt 2= 0$

Tính khoảng cách giữa hai điểm A và B trong mỗi trường hợp sau:

a) A(4; -1; 1)  , B(2; 1; 0)

b) A(2; 3; 4)  , B(6; 0; 4)

Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính khoảng cách $AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} - {z_A}} \right)}^2}}$

Hướng dẫn giải

a) $AB = \sqrt {{{\left( {2 - 4} \right)}^2} + {{\left( {1 + 1} \right)}^2} + {{\left( {0 - 1} \right)}^2}} = \sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} = 3$

b) $AB = \sqrt {{{\left( {6 - 2} \right)}^2} + {{\left( {0 - 3} \right)}^2} + {{\left( {4 - 4} \right)}^2}} = \sqrt {{4^2} + {3^2} + {0^2}} = 5$

Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh là: 

A(a; 0 ; 0), B(0; b; 0) , C(0; 0; c)

Chứng minh rằng tam giác ABC có ba góc nhọn.

Phương pháp giải

Sử dụng công thức $\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \dfrac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}}$ và nhận xét nếu $\cos \alpha > 0$ thì $\alpha$ nhọn.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\overrightarrow {AB} = ( - a;b;0)\,\, và \,\,\overrightarrow {AC} = ( - a;0;c)$

$\begin{array}{l} \cos \widehat {BAC} = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)\\ = \dfrac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \dfrac{{{a^2}}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} > 0\\ \Rightarrow \widehat {BAC} < {90^0}\\ \overrightarrow {BA} = \left( {a; - b;0} \right),\overrightarrow {BC} = \left( {0; - b;c} \right)\\ \cos \widehat {ABC} = \cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right)\\ = \dfrac{{\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} }}{{\left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|}} = \dfrac{{{b^2}}}{{\left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|}} > 0\\ \Rightarrow \widehat {ABC} < {90^0}\\ \overrightarrow {CA} = \left( {a;0; - c} \right),\overrightarrow {CB} = \left( {0; - b; - c} \right)\\ \Rightarrow \cos \widehat {BCA} = \cos \left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} } \right)\\ = \dfrac{{\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} }}{{\left| {\overrightarrow {CA} } \right|.\left| {\overrightarrow {CB} } \right|}} = \dfrac{{{c^2}}}{{\left| {\overrightarrow {CA} } \right|.\left| {\overrightarrow {CB} } \right|}} > 0\\ \Rightarrow \widehat {BCA} < {90^0} \end{array}$

Vậy tam giác ABC có ba góc nhọn.

Trong không gian Oxyz hãy lập phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau:

a) Có tâm I(5; -3; 7) và có bán kính r = 2.

b) Có tâm là điểm C(4; -4; 2) và đi qua gốc tọa độ;

c) Đi qua điểm M(2;-1;-3) và có tâm C(3; -2; 1)

Phương pháp giải

Mặt cầu có tâm $(I\left( {a;b;c} \right)$ và bán kính R có phương trình ${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}$

Hướng dẫn giải

a) Mặt cầu có tâm $I\left( {5; - 3;7} \right)$ và bán kính r = 2 thì có phương trình:

(x – 5)² + (y  +3)² + (z – 7)² = 4 ;

b) Mặt cầu có tâm $C\left( {4; - 4;2} \right)$ và đi qua $O\left( {0;0;0} \right)$ nên có bán kính $R = OC = \sqrt {{4^2} + {4^2} + {2^2}} = 6$

Vậy phương trình mặt cầu (x – 4)² + (y  +4)² + (z – 2)² = 36;

c) Mặt cầu có tâm $C\left( {3; - 2;1} \right)$ và đi qua điểm $M\left( {2; - 1; - 3} \right)$ nên có bán kính $R = CM = \sqrt {{1^2} + {1^2} + {4^2}} = \sqrt {18}$

Vậy phương trình mặt cầu (x – 3)² + (y + 2)² + (z – 1)² = 18.

Trong không gian Oxyz hãy xác định tâm và bán kính các mặt cầu có phương trình sau đây:

a) x² + y² + z² – 6x + 2y – 16z – 26 = 0

b) 2x² + 2y² + 2z² + 8x – 4y – 12z – 100 = 0

Phương pháp giải

Mặt cầu ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ có tâm $I\left( {a;b;c} \right)$ và bán kính $R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d}$.

Hướng dẫn giải

a) Tâm I(3; -1; 8), bán kính $R = \sqrt {{3^2} + {1^2} + {8^2} + 26} = 10$

b) Ta có: $2{x^2} + 2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} + 8x - 4y - 12z - 100 = 0$

$\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 2y - 6z - 50 = 0$

Mặt cầu có tâm I(-2; 1; 3), bán kính $R = \sqrt {{2^2} + {1^2} + {3^2} + 50} = 8$

Trong không gian Oxyz hãy viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm  A(1; 0; 0), B(0; -2; 0), C(0; 0; 4) và gốc tọa độ O. Hãy xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.

Phương pháp giải

- Gọi dạng phương trình mặt cầu là ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$

- Thay tọa độ các điểm A, B, C, D vào phương trình, giải hệ tìm a, b, c, d

- Từ đó suy ra phương trình mặt cầu, tâm và bán kính.

Hướng dẫn giải

Phương trình mặt cầu (S) cần tìm có dạng: ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$

Vì  $A \in (S)$ nên ta có:  1 – 2a + d =0 (1)

$B \in (S)$ nên ta có: 4 + 4b + d = 0 (2)

$C \in (S)$ nên ta có: 16 – 8c + d = 0 (3)

$D \in (S)$ nên ta có:  d = 0 (4)

Giải hệ 4 phương trình trên ta có: $d = 0,a = \dfrac{1}{2},b = - 1,c = 2$

Vậy mặt cầu (S) cần tìm có phương trình là: ${x^2} + {y^2} + {z^2} - x + 2y - 4z = 0$

Phương trình mặt cầu (S) có thể viết dưới dạng:

${\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} - \dfrac{1}{4} - 1 - 4 = 0$

$\Leftrightarrow {\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = \dfrac{{21}}{4}$

Vậy mặt cầu (S) có tâm $I\left( {\dfrac{1}{2}; - 1;2} \right)$ và có bán kính $r = \dfrac{{\sqrt {21} }}{2}$