Giải bài tập SBT Toán 12 Bài 4: Phương trình bậc hai với hệ số thực
Mời các em học sinh lớp 12 cùng tham khảo nội dung giải bài tập SBT bài Phương trình bậc hai với hệ số thực trang 206, 207 dưới đây. Bài gồm có 8 bài tập được eLib sưu tầm và tổng hợp. Với nội dung chi tiết, rõ ràng giúp các em ôn tập lại các kiến thức đã học và vận dụng vào giải các bài tập tương tự. Hi vọng rằng đây sẽ là những tài liệu hữu ích trong công tác giảng dạy của quý thầy cô và học tập của các em học sinh.
Mục lục nội dung
1. Giải bài 4.27 trang 206 SBT Giải tích 12
2. Giải bài 4.28 trang 206 SBT Giải tích 12
3. Giải bài 4.29 trang 206 SBT Giải tích 12
4. Giải bài 4.30 trang 207 SBT Giải tích 12
5. Giải bài 4.31 trang 207 SBT Giải tích 12
6. Giải bài 4.32 trang 207 SBT Giải tích 12
Giải bài tập SBT Toán 12 Bài 4: Phương trình bậc hai với hệ số thực
1. Giải bài 4.27 trang 206 SBT Giải tích 12
Giải các phương trình sau trên tập số phức :
a)2x2+3x+4=0b)3x2+2x+7=0c)2x4+3x2−5=0
Phương pháp giải
- Tính Δ=b2−4ac
- Nếu Δ=0 thì phương trình có nghiệm x=−b2a
- Nếu Δ<0 thì phương trình có nghiệm x1,2=−b±i√|Δ|2a
- Nếu Δ>0 thì phương trình có nghiệm x1,2=−b±√Δ2a
Hướng dẫn giải
a)2x2+3x+4=0,Δ=−23,√Δ=−√23⇔[x=−3+i√234x=−3−i√234
b)3x2+2x+7=0,Δ′=−20,√Δ′=2√5i⇔[x=−1+2i√53x=−1−2i√53
c)2x4+3x2−5=0,Δ=49,√Δ=7⇔[x2=−52x2=1⇔[x=±i√52x=±1
2. Giải bài 4.28 trang 206 SBT Giải tích 12
Biết z1 và z2 là hai nghiệm của phương trình 2x2+√3x+3=0. Hãy tính :
a)z21+z22b)z31+z32c)z41+z42d)z1z2+z2z1
Phương pháp giải
Áp dụng: Phương trình ax2+bx+c=0 có hai nghiệm z1;z2 thì {z1+z2=−baz1.z2=ca
Hướng dẫn giải
Ta có: z1+z2=−√32;z1.z2=32
a) z21+z22=(z1+z2)2−2z1z2=(−√32)2−2.32=34−3=−94
b) z31+z32=(z1+z2)3−3z1z2(z1+z3)=(−√32)3−3.32.(−√32)=15√38
c) z41+z42=(z21+z22)2−2z21.z22=(−94)2−2.(32)2=916
d) z1z2+z2z1=z21+z22z1z2=(−94):(32)=−32
3. Giải bài 4.29 trang 206 SBT Giải tích 12
Chứng minh rằng hai số phức liên hợp z và ¯z là hai nghiệm của một phương trình bậc hai với hệ số thực.
Phương pháp giải
Tính z+¯z và z.¯z rồi suy ra phương trình bậc hai nhận z và ¯z làm nghiệm.
Hướng dẫn giải
Áp dụng: Nếu hai số u và v có: u+v=S;uv=P thì u và v là nghiệm của phương trình X2−SX+P=0
Gọi z=a+bi⇒¯z=a−bi,a,b∈R
Ta có:
{z+¯z=a+bi+(a−bi)=2az.¯z=(a+bi)(a−bi)=a2+b2
Vậy z và ¯z là hai nghiệm của phương trình: X2−2aX+a2+b2=0
4. Giải bài 4.30 trang 207 SBT Giải tích 12
Lập phương trình bậc hai có nghiệm là
a)1+i√2và1−i√2b)√3+2ivà√3−2ic)−√3+i√2và−√3−i√2
Phương pháp giải
Tính z1+z2,z1.z2 và suy ra phương trình cần tìm, dựa vào chú ý:
Nếu S=z1+z2 và P=z1z2 thì z1,z2 là các nghiệm của phương trình z2−Sz+P=0
Hướng dẫn giải
a) Đặt z1=1+i√2,z2=1−i√2 thì:
z1+z2=1+i√2+1−i√2=2z1z2=(1+i√2)(1−i√2)=12−(i√2)2=1+2=3
Vậy z1,z2 là các nghiệm của phương trình z2−2z+3=0
b) Đặt z1=√3+2i và z2=√3−2i thì
z1+z2=√3+2i+√3−2i=2√3z1z2=(√3+2i)(√3−2i)=(√3)2−(2i)2=3+4=7
Vậy z1,z2 là các nghiệm của phương trình z2−2√3z+7=0
c) Đặt z1=−√3+i√2 và z2=−√3−i√2 thì
z1+z2=−√3−i√2−√3+i√2=−2√3z1z2=(−√3−i√2)(−√3+i√2)=(−√3)2−(i√2)2=3+2=5
Vậy z1,z2 là các nghiệm của phương trình z2+2√3z+5=0
5. Giải bài 4.31 trang 207 SBT Giải tích 12
Giải các hệ phương trình sau trên tập số phức:
a)x3−8=0b)x3+8=0
Phương pháp giải
Phân tích vế trái thành tích và giải phương trình.
Hướng dẫn giải
a)x3−8=0⇔(x−2)(x2+2x+4)=0⇔[x=2x=−1−i√3x=−1+i√3
b)x3+8=0⇔(x+2)(x2−2x+4)=0⇔[x=−2x=1+i√3x=1−i√3
6. Giải bài 4.32 trang 207 SBT Giải tích 12
Giải phương trình (z−i)2+4=0 trên tập số phức.
Phương pháp giải
Phân tích vế trái thành tích rồi giải phương trình.
Hướng dẫn giải
(z−i)2+4=0⇔(z−i)2−(2i)2=0⇔(z−i−2i)(z−i+2i)=0⇔[z=3iz=−i
7. Giải bài 4.33 trang 207 SBT Giải tích 12
Giả sử z1,z2∈C là hai nghiệm của một phương trình bậc hai với hệ số thực.Mệnh đề nào sau đây sai?
A.z1∈R⇒z2∈RB.z1thuần ảo⇒z2thuần ảoC.z1=¯z2D.z1∈C∖R⇒z2∈C∖R
Phương pháp giải
Sử dụng phương pháp giải phương trình bậc hai trên tập số phức với hệ số thực.
- Nếu Δ=0 thì phương trình có nghiệm x=−b2a
- Nếu Δ<0 thì phương trình có nghiệm x1,2=−b±i√|Δ|2a
- Nếu Δ>0 thì phương trình có nghiệm x1,2=−b±√Δ2a
Hướng dẫn giải
Đáp án A đúng, z1∈R thì theo công thức nghiệm z1,2=−b±√Δ2a ta suy ra z2∈R
Đáp án B đúng, z1 thuần ảo thì b = 0 nên z2 cũng thuần ảo.
Đáp án C chưa chắc đúng vì còn trường hợp phương trình có hai nghiệm thực phân biệt và nghiệm kép.
Đáp án D đúng vì nếu phương trình có nghiệm không thực thì nghiệm thứ hai sẽ là số phức liên hợp của nghiệm thứ nhất.
Chọn C.
8. Giải bài 4.34 trang 207 SBT Giải tích 12
Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Số phức z=a+bi là nghiệm của phương trình x2−2ax+(a2+b2)=0
B. Mọi số phức đều là nghiệm của một phương trình bậc hai với hệ số thực.
C. Mọi phương trình bậc hai với hệ số thực đều có hai nghiệm trong tập số phức C (hai nghiệm không nhất thiết phân biệt)
D. Mọi phương trình bậc hai với hệ số thực có ít nhất một nghiệm thực.
Phương pháp giải
Nhận xét tính đúng sai của từng đáp án và kết luận.
Hướng dẫn giải
Đáp án A đúng vì (a+bi)2−2a(a+bi)+a2+b2 =a2+2abi−b2−2a2−2abi+a2+b2=0
Đáp án B đúng vì số phức z = a + bi luôn là nghiệm của phương trình x2−2ax+(a2+b2)=0
Đáp án C: Đúng.
Đáp án D: Sai vì trường hợp Δ<0 thì phương trình bậc hai sẽ có nghiệm phức chứ không có nghiệm thực.
Chọn D.
Các em hãy luyện tập bài trắc nghiệm Phương trình bậc hai với hệ số thực Toán 12 sau để nắm rõ thêm kiến thức bài học.
Tham khảo thêm
- doc Giải bài tập SBT Toán 12 Bài 1: Số phức, biểu diễn hình học số phức
- doc Giải bài tập SBT Toán 12 Bài 2: Phép cộng và nhân các số phức
- doc Giải bài tập SBT Toán 12 Bài 3: Phép chia số phức