Giải bài tập SBT Toán 12 Bài 4: Phương trình bậc hai với hệ số thực

Giải các phương trình sau trên tập số phức :
\(\begin{align} & a)2{{x}^{2}}+3x+4=0 \\ & b)3{{x}^{2}}+2x+7=0 \\ & c)2{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}-5=0 \\ \end{align} \)

Phương pháp giải

- Tính \(\Delta = {b^2} - 4ac\)

- Nếu \(\Delta = 0\) thì phương trình có nghiệm \(x = - \dfrac{b}{{2a}}\)

- Nếu \(\Delta < 0\) thì phương trình có nghiệm \({x_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm i\sqrt {\left| \Delta \right|} }}{{2a}}\)

- Nếu \(\Delta > 0\) thì phương trình có nghiệm \({x_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt \Delta }}{{2a}}\)

Hướng dẫn giải

\(\begin{aligned} & a)2{{x}^{2}}+3x+4=0,\,\,\,\Delta =-23,\sqrt{\Delta }=-\sqrt{23} \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=\dfrac{-3+i\sqrt{23}}{4} \\ & x=\dfrac{-3-i\sqrt{23}}{4} \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \)
\(\begin{aligned} & b)3{{x}^{2}}+2x+7=0,\,\,\,\Delta '=-20,\sqrt{\Delta '}=2\sqrt{5}i \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=\dfrac{-1+2i\sqrt{5}}{3} \\ & x=\dfrac{-1-2i\sqrt{5}}{3} \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \)
\(\begin{aligned} & c)2{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}-5=0,\,\,\,\Delta =49,\sqrt{\Delta }=7 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & {{x}^{2}}=-\dfrac{5}{2} \\ & {{x}^{2}}=1 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=\pm i\sqrt{\dfrac{5}{2}} \\ & x=\pm 1 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \)

Biết \(z_1\) và \(z_2\) là hai nghiệm của phương trình \(2{{x}^{2}}+\sqrt{3}x+3=0\). Hãy tính :
\(\begin{align} & a)\,z_{1}^{2}+z_{2}^{2} \\ & b)z_{1}^{3}+z_{2}^{3} \\ & c)z_{1}^{4}+z_{2}^{4} \\ & d)\dfrac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}}+\dfrac{{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}} \\ \end{align} \)

Phương pháp giải

Áp dụng: Phương trình \(ax^2+bx+c =0\) có hai nghiệm \({{z}_{1}};{{z}_{2}} \)  thì \(\left\{ \begin{aligned} & {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=-\dfrac{b}{a} \\ & {{z}_{1}}.{{z}_{2}}=\dfrac{c}{a} \\ \end{aligned} \right. \)

Hướng dẫn giải

Ta có: \({{z}_{1}}+{{z}_{2}}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2};\,{{z}_{1}}.{{z}_{2}}=\dfrac{3}{2} \)

a) \(z_{1}^{2}+z_{2}^{2}={{\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)}^{2}}-2{{z}_{1}}{{z}_{2}}={{\left( \dfrac{-\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}-2.\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{4}-3=-\dfrac{9}{4} \) 

b) \(z_{1}^{3}+z_{2}^{3}={{\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)}^{3}}-3{{z}_{1}}{{z}_{2}}\left( {{z}_{1}}+{{z}_{3}} \right)={{\left( \dfrac{-\sqrt{3}}{2} \right)}^{3}}-3.\dfrac{3}{2}.\left( -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)=\dfrac{15\sqrt{3}}{8} \)

c) \(z_{1}^{4}+z_{2}^{4}={{\left( z_{1}^{2}+z_{2}^{2} \right)}^{2}}-2z_{1}^{2}.z_{2}^{2}={{\left( -\dfrac{9}{4} \right)}^{2}}-2.{{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{9}{16} \)

d) \(\dfrac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}}+\dfrac{{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}}=\dfrac{z_{1}^{2}+z_{2}^{2}}{{{z}_{1}}{{z}_{2}}}=\left( -\dfrac{9}{4} \right):\left( \dfrac{3}{2} \right)=-\dfrac{3}{2}\) 

Chứng minh rằng hai số phức liên hợp \(z \) và \(\overline{z} \) là hai nghiệm của một phương trình bậc hai với hệ số thực.

Phương pháp giải

Tính \(z + \overline z \) và \(z.\overline z\) rồi suy ra phương trình bậc hai nhận z và \(\overline z\) làm nghiệm.

Hướng dẫn giải

Áp dụng: Nếu hai số \(u\) và \(v\) có: \(u+v=S;uv=P\)  thì \(u\) và \(v\) là nghiệm của phương trình \({{X}^{2}}-SX+P=0 \)

Gọi \(z=a+bi\Rightarrow \overline{z}=a-bi,\,\,\,a,b\in \mathbb{R} \)

Ta có:

\(\left\{ \begin{aligned} & z+\overline{z}=a+bi+\left( a-bi \right)=2a \\ & z.\overline{z}=\left( a+bi \right)\left( a-bi \right)={{a}^{2}}+{{b}^{2}} \\ \end{aligned} \right. \)

Vậy \(z\) và \(\overline{z} \) là hai nghiệm của phương trình: \({{X}^{2}}-2aX+{{a}^{2}}+{{b}^{2}}=0 \)

Lập phương trình bậc hai có nghiệm là

\(\begin{align} & a)1+i\sqrt{2}\,\text{và}\,1-i\sqrt{2} \\ & b)\sqrt{3}+2i\,\text{và}\,\sqrt{3}-2i \\ & c)\,-\sqrt{3}+i\sqrt{2}\,\text{và}\,-\sqrt{3}-i\sqrt{2} \\ \end{align}\)

Phương pháp giải

Tính \({z_1} + {z_2},{z_1}.{z_2}\) và suy ra phương trình cần tìm, dựa vào chú ý:

Nếu \(S = {z_1} + {z_2}\) và \(P = {z_1}{z_2}\) thì \({z_1},{z_2}\) là các nghiệm của phương trình \({z^2} - Sz + P = 0\)

Hướng dẫn giải

a) Đặt \({z_1} = 1 + i\sqrt 2 ,{z_2} = 1 - i\sqrt 2\) thì:

\(\begin{array}{l} {z_1} + {z_2} = 1 + i\sqrt 2 + 1 - i\sqrt 2 = 2\\ {z_1}{z_2} = \left( {1 + i\sqrt 2 } \right)\left( {1 - i\sqrt 2 } \right)\\ = {1^2} - {\left( {i\sqrt 2 } \right)^2} = 1 + 2 = 3 \end{array}\)

Vậy \({z_1},{z_2}\) là các nghiệm của phương trình \({z^2} - 2z + 3 = 0\)

b) Đặt \({z_1} = \sqrt 3 + 2i\) và \({z_2} = \sqrt 3 - 2i\) thì

\(\begin{array}{l} {z_1} + {z_2} = \sqrt 3 + 2i + \sqrt 3 - 2i = 2\sqrt 3 \\ {z_1}{z_2} = \left( {\sqrt 3 + 2i} \right)\left( {\sqrt 3 - 2i} \right)\\ = {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} - {\left( {2i} \right)^2} = 3 + 4 = 7 \end{array}\)

Vậy \({z_1},{z_2}\) là các nghiệm của phương trình \({z^2} - 2\sqrt 3 z + 7 = 0\)

c) Đặt \({z_1} = - \sqrt 3 + i\sqrt 2\) và \({z_2} = - \sqrt 3 - i\sqrt 2\) thì

\(\begin{array}{l} {z_1} + {z_2} = - \sqrt 3 - i\sqrt 2 - \sqrt 3 + i\sqrt 2 = - 2\sqrt 3 \\ {z_1}{z_2} = \left( { - \sqrt 3 - i\sqrt 2 } \right)\left( { - \sqrt 3 + i\sqrt 2 } \right)\\ = {\left( { - \sqrt 3 } \right)^2} - {\left( {i\sqrt 2 } \right)^2} = 3 + 2 = 5 \end{array}\)

Vậy \({z_1},{z_2}\) là các nghiệm của phương trình \({z^2} + 2\sqrt 3 z + 5 = 0\)

Giải các hệ phương trình sau trên tập số phức:
\(\begin{align} & a){{x}^{3}}-8=0 \\ & b)\,{{x}^{3}}+8=0 \\ \end{align}\)

Phương pháp giải

Phân tích vế trái thành tích và giải phương trình.

Hướng dẫn giải

\(\begin{aligned} & a){{x}^{3}}-8=0 \\ & \Leftrightarrow \left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=2 \\ & x=-1-i\sqrt{3} \\ & x=-1+i\sqrt{3} \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} & b){{x}^{3}}+8=0 \\ & \Leftrightarrow \left( x+2 \right)\left( {{x}^{2}}-2x+4 \right)=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=-2 \\ & x=1+i\sqrt{3} \\ & x=1-i\sqrt{3} \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \)

Giải phương trình \({{\left( z-i \right)}^{2}}+4=0\) trên tập số phức.

Phương pháp giải

Phân tích vế trái thành tích rồi giải phương trình.

Hướng dẫn giải

\(\begin{aligned} & {{\left( z-i \right)}^{2}}+4=0 \\ & \Leftrightarrow {{\left( z-i \right)}^{2}}-{{\left( 2i \right)}^{2}}=0 \\ & \Leftrightarrow \left( z-i-2i \right)\left( z-i+2i \right)=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & z=3i \\ & z=-i \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \)

Giả sử \({{z}_{1}},{{z}_{2}}\in \mathbb{C} \) là hai nghiệm của một phương trình bậc hai với hệ số thực.Mệnh đề nào sau đây sai?

\(\begin{align} & A.{{z}_{1}}\in \mathbb{R}\Rightarrow {{z}_{2}}\in \mathbb{R} \\ & B.{{z}_{1}}\,\text{thuần ảo}\,\Rightarrow {{z}_{2}}\,\text{thuần ảo} \\ & C.{{z}_{1}}=\overline{{{z}_{2}}} \\ & D.\,{{z}_{1}}\in C\backslash \mathbb{R}\Rightarrow {{z}_{2}}\in C\backslash \mathbb{R} \\ \end{align} \)

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp giải phương trình bậc hai trên tập số phức với hệ số thực.

- Nếu \(\Delta = 0\) thì phương trình có nghiệm \(x = - \dfrac{b}{{2a}}\)

- Nếu \(\Delta < 0\) thì phương trình có nghiệm \({x_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm i\sqrt {\left| \Delta \right|} }}{{2a}}\)

- Nếu \(\Delta > 0\) thì phương trình có nghiệm \({x_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt \Delta }}{{2a}}\)

Hướng dẫn giải

Đáp án A đúng, \({z_1} \in \mathbb{R}\) thì theo công thức nghiệm \({z_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt \Delta }}{{2a}}\) ta suy ra \({z_2} \in \mathbb{R}\)

Đáp án B đúng, \({z_1}\) thuần ảo thì b = 0 nên \({z_2}\) cũng thuần ảo.

Đáp án C chưa chắc đúng vì còn trường hợp phương trình có hai nghiệm thực phân biệt và nghiệm kép.

Đáp án D đúng vì nếu phương trình có nghiệm không thực thì nghiệm thứ hai sẽ là số phức liên hợp của nghiệm thứ nhất.

Chọn C.

Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Số phức \(z=a+bi\)  là nghiệm của phương trình \({{x}^{2}}-2ax+\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)=0 \)

B. Mọi số phức đều là nghiệm của một phương trình bậc hai với hệ số thực.

C. Mọi phương trình bậc hai với hệ số thực đều có hai nghiệm trong tập số phức \(\mathbb{C}\) (hai nghiệm không nhất thiết phân biệt)

D. Mọi phương trình bậc hai với hệ số thực có ít nhất một nghiệm thực.

Phương pháp giải

Nhận xét tính đúng sai của từng đáp án và kết luận.

Hướng dẫn giải

Đáp án A đúng vì \({\left( {a + bi} \right)^2} - 2a\left( {a + bi} \right) + {a^2} + {b^2}\) \( = {a^2} + 2abi - {b^2} - 2{a^2} - 2abi + {a^2} + {b^2} = 0\)

Đáp án B đúng vì số phức z = a + bi luôn là nghiệm của phương trình \({x^2} - 2ax + \left( {{a^2} + {b^2}} \right) = 0\)

Đáp án C: Đúng.

Đáp án D: Sai vì trường hợp \(\Delta < 0\) thì phương trình bậc hai sẽ có nghiệm phức chứ không có nghiệm thực.

Chọn D.