Giải bài tập SBT Toán 12 Bài 3: Phép chia số phức
Để giúp các em học sinh lớp 12 học tập thật tốt môn Toán, eLib xin giới thiệu nội dung giải bài tập bài Phép chia số phức SBT trang 204 bên dưới đây. Tài liệu gồm tất cả các bài tập có phương pháp và hướng dẫn giải chi tiết, rõ ràng, sẽ giúp các em ôn tập lại kiến thức, cũng cố kĩ năng làm bài hiệu quả. Mời các em cùng tham khảo.
Mục lục nội dung
1. Giải bài 4.19 trang 204 SBT Giải tích 12
2. Giải bài 4.20 trang 204 SBT Giải tích 12
3. Giải bài 4.21 trang 204 SBT Giải tích 12
4. Giải bài 4.22 trang 204 SBT Giải tích 12
5. Giải bài 4.23 trang 204 SBT Giải tích 12
6. Giải bài 4.24 trang 204 SBT Giải tích 12
1. Giải bài 4.19 trang 204 SBT Giải tích 12
Thực hiện các phép tính sau :
\(\begin{align} & a)\,\dfrac{\left( 2+i \right)+\left( 1+i \right)\left( 4-3i \right)}{3+2i}; \\ & b)\dfrac{\left( 3-4i \right)\left( 1+2i \right)}{1-2i}+4-3i \\ \end{align} \)
Phương pháp giải
Áp dụng công thức: \(\dfrac{a+bi}{c+di}=\dfrac{\left( a+bi \right)\left( c-di \right)}{{{c}^{2}}+{{d}^{2}}} \)
Hướng dẫn giải
\(\begin{aligned} & a)\,\dfrac{\left( 2+i \right)+\left( 1+i \right)\left( 4-3i \right)}{3+2i} \\ & =\dfrac{2+i+7+i}{3+2i} \\ & =\dfrac{9+2i}{3+2i} \\ & =\dfrac{\left( 9+2i \right)\left( 3-2i \right)}{9+4} \\ & =\dfrac{31-12i}{13}=\dfrac{31}{13}-\dfrac{12}{13}i; \\ & b)\dfrac{\left( 3-4i \right)\left( 1+2i \right)}{1-2i}+4-3i \\ & =\dfrac{11+2i}{1-2i}+4-3i \\ & =\dfrac{\left( 11+2i \right)\left( 1+2i \right)}{1+4}+4-3i \\ & =\dfrac{7+24i}{5}+4-3i \\ & =\dfrac{27}{5}+\dfrac{9}{5}i \\ \end{aligned} \)
2. Giải bài 4.20 trang 204 SBT Giải tích 12
Giải các phương trình sau trên tập số phức :
\(\begin{align} & a)\left( 3+4i \right)x=\left( 1+2i \right)\left( 4+i \right) \\ & b)2ix+3=5x+4i \\ & c)\,3x\left( 2-i \right)+1=2ix\left( 1+i \right)+3i \\ \end{align} \)
Phương pháp giải
Biến đổi tương đương phương trình, áp dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân và chia số phức.
Hướng dẫn giải
\(\begin{aligned} & a)\,\left( 3+4i \right)x=\left( 1+2i \right)\left( 4+i \right) \\ & \Leftrightarrow \left( 3+4i \right)x=2+9i \\ & \Leftrightarrow x=\dfrac{2+9i}{3+4i} \\ & \Leftrightarrow x=\dfrac{\left( 2+9i \right)\left( 3-4i \right)}{25} \\ & \Leftrightarrow x=\dfrac{42}{25}+\dfrac{19}{25}i \\ \end{aligned} \\ \begin{aligned} & b)\,2ix+3=5x+4i \\ & \Leftrightarrow \left( 5-2i \right)x=3-4i \\ & \Leftrightarrow x=\dfrac{3-4i}{5-2i}=\dfrac{\left( 3-4i \right)\left( 5+2i \right)}{25+4} \\ & \Leftrightarrow x=\dfrac{23}{29}-\dfrac{14}{29}i \\ \end{aligned} \\ \begin{aligned} & c)3x\left( 2-i \right)+1=2ix\left( 1+i \right)+3i \\ & \Leftrightarrow \left[ 3\left( 2-i \right)-2i\left( 1+i \right) \right]x=-1+3i \\ & \Leftrightarrow \left( 8-5i \right)x=-1+3i \\ & \Leftrightarrow x=\dfrac{-1+3i}{7-5i}=\dfrac{-23}{89}+\dfrac{19}{89}i \\ \end{aligned} \)
3. Giải bài 4.21 trang 204 SBT Giải tích 12
Tìm nghịch đảo của số phức sau
\(\begin{align} & a)\,\sqrt{2}-i\sqrt{3} \\ & b)i \\ & c)\,\dfrac{1+i\sqrt{5}}{3-2i} \\ & d){{\left( 3+i\sqrt{2} \right)}^{2}} \\ \end{align} \)
Phương pháp giải
Tìm số phức nghịch đảo \(\dfrac{1}{z}\) bằng cách nhân với số phức liên hợp và rút gọn.
Hướng dẫn giải
\(\begin{aligned} & a)\dfrac{1}{\sqrt{2}-i\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{2}+i\sqrt{3}}{2+3}=\dfrac{\sqrt{2}}{5}+\dfrac{\sqrt{3}}{5}i \\ & b)\dfrac{1}{i}=-i \\ & c)\dfrac{3-2i}{1+i\sqrt{5}}=\dfrac{\left( 3-2i \right)\left( 1-i\sqrt{5} \right)}{1+5}=\dfrac{3-2\sqrt{5}}{6}-\dfrac{3\sqrt{5}+2}{6}i \\ & d)\dfrac{1}{{{\left( 3+i\sqrt{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{1}{7+6i\sqrt{2}}=\dfrac{7-6i\sqrt{2}}{121}=\dfrac{7}{121}-\dfrac{6\sqrt{2}}{121}i \\ \end{aligned}\)
4. Giải bài 4.22 trang 204 SBT Giải tích 12
Giải phương trình sau trên tập số phức \(\left( 1-i \right)z+\left( 2-i \right)=4-5i \)
Phương pháp giải
Biến đổi chuyển vế, đổi dấu và thực hiện các phép toán cộng, trừ, chia số phức.
Hướng dẫn giải
\(\begin{aligned} & \left( 1-i \right)z+\left( 2-i \right)=4-5i \\ & \Leftrightarrow \left( 1-i \right)z=2-4i \\ & \Leftrightarrow z=\dfrac{2-4i}{1-i} \\ & \Leftrightarrow z=\dfrac{\left( 2-4i \right)\left( 1+i \right)}{2}=3-i \\ \end{aligned}\)
5. Giải bài 4.23 trang 204 SBT Giải tích 12
Tìm các số phức \(2z+\overline{z} \) và \(\dfrac{25i}{z}\) biết rằng \(\dfrac{25i}{z}\)
Phương pháp giải
Tìm số phức liên hợp \(\overline z = a - bi\), thực hiện các phép tính cộng, trừ, nhân, chia số phức.
Hướng dẫn giải
\(z=3-4i\Rightarrow \overline{z}=3+4i \\ \begin{aligned} & 2z+\overline{z}=2\left( 3-4i \right)+\left( 3+4i \right)=9-4i \\ & \dfrac{25i}{z}=\dfrac{25i}{3-4i}=\dfrac{25i\left( 3+4i \right)}{25}=-4+3i \\ \end{aligned}\)
6. Giải bài 4.24 trang 204 SBT Giải tích 12
Cho \(z\in \mathbb{C}\) . Mệnh đề nào sau đây sai?
\(\begin{align} & A.\,\dfrac{1}{z}\in \mathbb{R}\Leftrightarrow z\in \mathbb{R} \\ & B.\,\dfrac{1}{z}\,\,\text{thuần ảo}\Leftrightarrow \,\text{z}\,\text{thuần ảo} \\ & C.\dfrac{1}{z}=\overline{z}\Leftrightarrow \left| z \right|=1 \\ & D.\left| \dfrac{1}{z} \right|=\left| z \right|\Leftrightarrow z\in \mathbb{R} \\ \end{align}\)
Phương pháp giải
Đặt z = a + bi và kiểm tra tính đúng sai của từng đáp án.
Hướng dẫn giải
\(z=a+bi,\,\,\,a,b\in \mathbb{R} \)
A. \(\dfrac{1}{z}=\dfrac{a-bi}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\in \mathbb{R}\Rightarrow b=0\Leftrightarrow z\in \mathbb{R} \). A đúng
B. \(\dfrac{1}{z}=\dfrac{a-bi}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} \) thuần ảo. Suy ra \(a=0\), \(z\) thuần ảo. B đúng
C. \(\dfrac{1}{z}=\dfrac{a-bi}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=a-bi\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=1\Leftrightarrow \left| z \right|=1\) . C đúng
D. \(\left| \dfrac{1}{z} \right|=\left| \dfrac{a-bi}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} \right|=\sqrt{\dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{{{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}^{2}}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}^{2}}}=1\) D. sai
Chọn D
7. Giải bài 4.25 trang 204 SBT Giải tích 12
Cho \(z=a+bi\in \mathbb{C}\), biết \(\dfrac{z}{\overline{z}} \in \mathbb R\). Kết luận nào sau đây đúng?
\(\begin{align} & A.a=0 \\ & B.b=0 \\ & C.a=b \\ & D.ab=0 \\ \end{align} \)
Phương pháp giải
Tính \(\overline z\) và \(\dfrac{z}{{\overline z }}\) rồi sử dụng lý thuyết số phức \(x + yi \in \mathbb{R} \Leftrightarrow y = 0\)
Hướng dẫn giải
\(\dfrac{z}{\overline{z}}=\dfrac{a+bi}{a-bi}=\dfrac{\left( a+bi \right)\left( a+bi \right)}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=\dfrac{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}+2abi}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} \in \mathbb R\)
Suy ra \(ab=0\)
Chọn D.
8. Giải bài 4.26 trang 204 SBT Giải tích 12
Cho \(z=a+bi\in \mathbb{C}\), biết \( \dfrac{z}{\overline{z}}\) là một số thuần ảo. Kết luận nào sau đây đúng?
\(\begin{align} & A.a=0 \\ & B.b=0 \\ & C.a=b \\ & D.a=b\,\text{hoặc}\,a=-b \\ \end{align} \)
Phương pháp giải
Tính \(\overline z \) và \(\dfrac{z}{{\overline z }}\) rồi sử dụng lý thuyết số phức x + yi là số thuần ảo nếu x = 0.
Hướng dẫn giải
\(\dfrac{z}{\overline{z}}=\dfrac{a+bi}{a-bi}=\dfrac{\left( a+bi \right)\left( a+bi \right)}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=\dfrac{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}+2abi}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} \) là số thuần ảo
Suy ra \({{a}^{2}}-{{b}^{2}}=0\Leftrightarrow a=\pm b \)
Chọn D.
Các em hãy luyện tập bài trắc nghiệm Phép chia số phức Toán 12 sau để nắm rõ thêm kiến thức bài học.
Tham khảo thêm
- doc Giải bài tập SBT Toán 12 Bài 1: Số phức, biểu diễn hình học số phức
- doc Giải bài tập SBT Toán 12 Bài 2: Phép cộng và nhân các số phức
- doc Giải bài tập SBT Toán 12 Bài 4: Phương trình bậc hai với hệ số thực