Giải bài tập SBT Toán 12 Bài 2: Phép cộng và nhân các số phức

eLib xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh nội dung giải bài tập bài Phép cộng và nhân các số phức Toán 12. Tài liệu gồm 11 bài tập trang 201, 202 có phương pháp và hướng dẫn giải chi tiết cho từng bài sẽ giúp các em ôn tập thật tốt kiến thức, cũng cố kỹ năng làm bài tập hiệu quả. Mời các em cùng tham khảo.

Giải bài tập SBT Toán 12 Bài 2: Phép cộng và nhân các số phức

1. Giải bài 4.8 trang 201 SBT Giải tích 12

Thực hiện các phép tính :
\(\begin{align} & a)\left( 2+4i \right)\left( 3-5i \right)+7\left( 4-3i \right) \\ & b){{\left( 1-2i \right)}^{2}}-\left( 2-3i \right)\left( 3+2i \right) \\ \end{align}\)

Phương pháp giải

Sử dụng phép nhân hai số phức

(a + bi) + ( c + di) = (a + c) + (b + d)i

(a + bi) - ( c + di) = (a - c) + (b - d)i

(a + bi)( c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

Hướng dẫn giải

a)
\(\begin{aligned} & \left( 2+4i \right)\left( 3-5i \right)+7\left( 4-3i \right) \\ & =6-10i+12i-20{{i}^{2}}+28-21i \\ & =6+2i+20+28-21i \\ &=54-19i \\ \end{aligned} \)
b)
\(\begin{aligned} & {{\left( 1-2i \right)}^{2}}-\left( 2-3i \right)\left( 3+2i \right)=1-4i+4{{i}^{2}}-\left( 6+4i-9i-6{{i}^{2}} \right) \\ & =1-4i-4-6+5i-6=-15+i \\ \end{aligned} \)

2. Giải bài 4.9 trang 201 SBT Giải tích 12

Giải các phương trình sau trên tập số phức:
\(\begin{align} & a)\left( 5-7i \right)+\sqrt{3}x=\left( 2-5i \right)\left( 1+3i \right) \\ & b)\,\,5-2ix=\left( 3+4i \right)\left( 1-3i \right) \\ \end{align} \)

Phương pháp giải

Chuyển vế, đổi dấu, sử dụng các phép toán trên tập số phức để tính toán.

Hướng dẫn giải

a)
\(\begin{aligned} & \left( 5-7i \right)+\sqrt{3}x=\left( 2-5i \right)\left( 1+3i \right) \\ & \Leftrightarrow \left( 5-7i \right)+\sqrt{3}x=2+i+15 \\ & \Leftrightarrow \sqrt{3}x=12+8i \\ & \Leftrightarrow x=4\sqrt{3}+\dfrac{8}{\sqrt{3}}i \\ \end{aligned}\)
b)
\(\begin{aligned} & 5-2ix=\left( 3+4i \right)\left( 1-3i \right) \\ & \Leftrightarrow 5-2ix=3-5i+12 \\ & \Leftrightarrow -2ix=10-5i \\ & \Leftrightarrow x=-\dfrac{10}{2i}+\dfrac{5i}{2i}=\dfrac{5}{2}+5i \\ \end{aligned}\)

3. Giải bài 4.10 trang 201 SBT Giải tích 12

Tính các lũy thừa sau :
\(\begin{align} & a){{\left( 3-4i \right)}^{2}} \\ & b){{\left( 2+3i \right)}^{3}} \\ & c){{\left[ \left( 4+5i \right)-\left( 4+3i \right) \right]}^{5}} \\ & d){{\left( \sqrt{2}-i\sqrt{3} \right)}^{2}} \\ \end{align} \)

Phương pháp giải

Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ kết hợp với các phép toán cộng, trừ, nhân số phức.

\((a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2\\ i^2=-1\)

Hướng dẫn giải

\(\begin{aligned} & a) \\ & {{\left( 3-4i \right)}^{2}}=9-24i+16{{i}^{2}}=-7-24i \\ & b)\, \\ & {{\left( 2+3i \right)}^{3}}=8+36i+54{{i}^{2}}+27{{i}^{3}}=-46+9i \\ & c) \\ & {{\left[ \left( 4+5i \right)-\left( 4+3i \right) \right]}^{5}}={{\left( 2i \right)}^{5}}=32{{i}^{5}}=32i\,\,\,\left( \,\,\text{Vì}\,\,\,{{i}^{4}}={{\left( {{i}^{2}} \right)}^{2}}=1 \right) \\ & d)\, \\ & {{\left( \sqrt{2}-i\sqrt{3} \right)}^{2}}=2-2\sqrt{6}i+3{{i}^{2}}=-1-2\sqrt{6}i \\ \end{aligned} \)

4. Giải bài 4.11 trang 202 SBT Giải tích 12

Tính
\(\begin{align} & a){{\left( 1+i \right)}^{2006}}; \\ & b){{\left( 1-i \right)}^{2006}}. \\ \end{align} \)

Phương pháp giải

Tính \((1+i)^2;(1-i)^2\) rồi suy ra kết quả

Hướng dẫn giải

\(\begin{aligned} & a)\, \\ & {{\left( 1+i \right)}^{2006}}={{\left[ {{\left( 1+i \right)}^{2}} \right]}^{1003}}={{\left( 1+2i-1 \right)}^{1003}}={{\left( 2i \right)}^{1003}}={{2}^{1003}}.{{\left( {{i}^{2}} \right)}^{501}}.i=-{{2}^{1003}}i \\ & b) \\ & {{\left( 1-i \right)}^{2006}}={{\left[ {{\left( 1-i \right)}^{2}} \right]}^{1003}}={{\left( 1-2i-1 \right)}^{1003}}={{\left( -2i \right)}^{1003}}=-{{2}^{1003}}.{{\left( {{i}^{2}} \right)}^{501}}.i={{2}^{1003}}i \\ \end{aligned}\)

5. Giải bài 4.12 trang 202 SBT Giải tích 12

Cho \(z=a+bi\). Chứng minh rằng:
\( \begin{align} & a){{z}^{2}}+{{\left( \overline{z} \right)}^{2}}=2\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}} \right); \\ & b){{z}^{2}}-{{\left( \overline{z} \right)}^{2}}=4abi; \\ & c){{z}^{2}}{{\left( \overline{z} \right)}^{2}}={{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}^{2}}. \\ \end{align}\)

Phương pháp giải

Sử dụng công thức z = a + bi thì \(\overline z = a - bi\) và thay vào vế trái mỗi đẳng thức, biến đổi đưa về vế phải và kết luận.

Hướng dẫn giải

\(\begin{aligned} & a) \\ & {{z}^{2}}+{{\left( \overline{z} \right)}^{2}}={{\left( a+bi \right)}^{2}}+{{\left( a-bi \right)}^{2}} \\ & ={{a}^{2}}-{{b}^{2}}+2abi+\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}}-2abi \right)=2\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}} \right) \\ & b) \\ & {{z}^{2}}-{{\left( \overline{z} \right)}^{2}}={{\left( a+bi \right)}^{2}}-{{\left( a-bi \right)}^{2}} \\ & ={{a}^{2}}-{{b}^{2}}+2abi-\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}}-2abi \right) \\ & =4abi \\ & c) \\ & {{z}^{2}}.{{\left( \overline{z} \right)}^{2}}={{\left( a+bi \right)}^{2}}.{{\left( a-bi \right)}^{2}}={{\left[ \left( a+bi \right)\left( a-bi \right) \right]}^{2}} \\ & ={{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}^{2}} \\ \end{aligned} \)

6. Giải bài 4.13 trang 202 SBT Giải tích 12

Phân tích thành nhân tử trên tập hợp số phức :
\(\begin{align} & a){{u}^{2}}+{{v}^{2}} \\ & b){{u}^{4}}-{{v}^{4}} \\ \end{align} \)

Phương pháp giải

Sử dụng hằng đẳng thức \({A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)\)

Hướng dẫn giải

\(\begin{aligned} & a) \, {{u}^{2}}+{{v}^{2}}={{u}^{2}}-{{\left( vi \right)}^{2}}=\left( u-vi \right)\left( u+vi \right) \\ & b) \, {{u}^{4}}-{{v}^{4}}=\left( {{u}^{2}}+{{v}^{2}} \right)\left( {{u}^{2}}-{{v}^{2}} \right)=\left( u-vi \right)\left( u+vi \right)\left( u-v \right)\left( u+v \right) \\ \end{aligned} \)

7. Giải bài 4.14 trang 202 SBT Giải tích 12

Tính giá trị biểu thức \(P={{\left( 1+i\sqrt{3} \right)}^{2}}+{{\left( 1-i\sqrt{3} \right)}^{2}} \)

Phương pháp giải

Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ kết hợp với các phép toán trên tập số phức để tính toán.

Hướng dẫn giải

\(P={{\left( 1+i\sqrt{3} \right)}^{2}}+{{\left( 1-i\sqrt{3} \right)}^{2}}=1-3+2i\sqrt{3}+\left( 1-3-2i\sqrt{3} \right)=-4 \)

8. Giải bài 4.15 trang 202 SBT Giải tích 12

a) Cho hai số phức \({{z}_{1}}=1+2i,{{z}^{2}}=2-3i\). Xác định phần thực và phần ảo của số phức \({{z}_{1}}-2{{z}_{2}} \)
b) Cho hai số phức \({{z}_{1}}=2+5i,\,{{z}_{2}}=3-4i\).  Xác định phần thực và phần ảo của số phức \({{z}_{1}}.{{z}_{2}} \)

Phương pháp giải

Thực hiện các phép toán với số phức và kết luận.

Hướng dẫn giải

a)
\({{z}_{1}}-2{{z}_{2}}=1+2i-2\left( 2-3i \right)=1+2i-4+6i=-3+8i\)

Vậy phần thực là -3 và phần ảo là 8
b)
\({{z}_{1}}.{{z}_{2}}=\left( 2+5i \right)\left( 3-4i \right)=6-8i+15i-20{{i}^{2}}=26+7i\)

Vậy phần thực là 26 và phần ảo là 7

9. Giải bài 4.16 trang 202 SBT Giải tích 12

 Cho \(z\in \mathbb{C}\). Khẳng định nào sau đây là sai?

\(\begin{align} & A.\,\,z+\overline{z}\in \mathbb{R} \\ & B.\,z.\overline{z}\in \mathbb{R} \\ & C.\,z-\overline{z}\in \mathbb{R} \\ & D.{{z}^{2}}+{{\left( \overline{z} \right)}^{2}}\in \mathbb{R} \\ \end{align} \)

Phương pháp giải

Tính \(\overline z \) và kiếm tra tính đúng sai của từng đáp án.

Hướng dẫn giải

A. \(z+\overline{z}=2a\in \mathbb{R}\)  . A đúng
B. \( z.\overline{z}=\left( a+bi \right)\left( a-bi \right)={{a}^{2}}+{{b}^{2}}\in \mathbb{R} \). B đúng
C. \(z-\overline{z}=\left( a+bi \right)-\left( a-bi \right)=2bi\in \mathbb{C} \). C sai
D. \({{z}^{2}}+{{\left( \overline{z} \right)}^{2}}={{\left( a+bi \right)}^{2}}+{{\left( a-bi \right)}^{2}}=2\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}} \right)\in \mathbb{R} \). D  đúng

Chọn C

10. Giải bài 4.17 trang 202 SBT Giải tích 12

Cho \(n,k\in \mathbb{N}\), biết \({{i}^{n}}=-1\). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. \(n\) là một số chẵn
B. \(n\) là một số lẻ
C. \(n=4k+2\)
D. \(n=4k+3\)

Phương pháp giải

Sử dụng định nghĩa \({i^2} = - 1\) và nhận xét n.

Hướng dẫn giải

\({{i}^{n}}={{\left( {{i}^{2}} \right)}^{\frac{n}{2}}}=-1 \\ \Rightarrow \dfrac{n}{2}=2k+1\Rightarrow n=4k+2 \)
Chọn C.

11. Giải bài 4.18 trang 202 SBT Giải tích 12

Cho \({{z}_{1}};{{z}_{2}}\in \mathbb{C} \). Khẳng định nào sau đây là sai?

\(\begin{align} & A.\,{{z}_{1}}.\overline{{{z}_{2}}}+\overline{{{z}_{1}}}.{{z}_{2}}\in \mathbb{R} \\ & B.\,{{z}_{1}}.{{z}_{2}}+\overline{{{z}_{1}}}.\overline{{{z}_{2}}}\in \mathbb{R} \\ & C.\,{{z}_{1}}.\overline{{{z}_{2}}}.\overline{{{z}_{1}}}.{{z}_{2}}\in \mathbb{R} \\ & D.\,{{z}_{1}}.{{z}_{2}}-\overline{{{z}_{1}}}.\overline{{{z}_{2}}}\in \mathbb{R} \\ \end{align}\)

Phương pháp giải

Sử dụng chú ý: \(z \in \mathbb{R} \Leftrightarrow z = \overline z\), nghĩa là tìm số phức liên hợp của mỗi số phức ở các đáp án và kiểm tra có bằng số phức ban đầu hay không.

Chú ý:

+) \(\overline {{z_1} + {z_2}} = \overline {{z_1}} + \overline {{z_2}}\)

+) \(\overline {{z_1}{z_2}} = \overline {{z_1}} .\overline {{z_2}}\)

Hướng dẫn giải

Gọi \( {{z}_{1}}=a+bi;{{z}_{2}}=c+di,\,\,\,a,b,c,d\in \mathbb{R}\)
\(\begin{aligned} & A.\,{{z}_{1}}.\overline{{{z}_{2}}}+\overline{{{z}_{1}}}.{{z}_{2}}=\left( a+bi \right)\left( c-di \right)+\left( a-bi \right)\left( c+di \right) \\ & =ac+bd+\left( bc-ad \right)i+ac+bd+\left( ad-bc \right)i \\ & =2\left( ac+bd \right)\in \mathbb{R} \\ & B.\,{{z}_{1}}.{{z}_{2}}+\overline{{{z}_{1}}}.\overline{{{z}_{2}}}=\left( a+bi \right)\left( c+di \right)+\left( a-bi \right)\left( c-di \right) \\ & =ac-bd+\left( ad+bc \right)i+ac-bd-\left( ad+bc \right)i \\ & =2\left( ac-bd \right)\in \mathbb{R} \\ & C.\,{{z}_{1}}.\overline{{{z}_{2}}}.\overline{{{z}_{1}}}.{{z}_{2}}=\left( a+bi \right)\left( c-di \right)\left( a-bi \right)\left( c+di \right) \\ & =\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\left( {{c}^{2}}+{{d}^{2}} \right)\in \mathbb{R} \\ & D.\,{{z}_{1}}.{{z}_{2}}-\overline{{{z}_{1}}}.\overline{{{z}_{2}}}=\left( a+bi \right)\left( c+di \right)-\left( a-bi \right)\left( c-di \right) \\ & =ac+bd+\left( ad+bc \right)i-\left[ ac-bd-\left( ad+bc \right)i \right]\in \mathbb{C} \\ \end{aligned}\)
Chọn D.

Các em hãy luyện tập bài trắc nghiệm Phép cộng và nhân các số phức Toán 12 sau để nắm rõ thêm kiến thức bài học.

Trắc Nghiệm

Ngày:26/10/2020 Chia sẻ bởi:Hoang Oanh Nguyen

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM