Giải bài tập SBT Toán 12 Bài 2: Phép cộng và nhân các số phức

Thực hiện các phép tính :
$\begin{align} & a)\left( 2+4i \right)\left( 3-5i \right)+7\left( 4-3i \right) \\ & b){{\left( 1-2i \right)}^{2}}-\left( 2-3i \right)\left( 3+2i \right) \\ \end{align}$

Phương pháp giải

Sử dụng phép nhân hai số phức

(a + bi) + ( c + di) = (a + c) + (b + d)i

(a + bi) - ( c + di) = (a - c) + (b - d)i

(a + bi)( c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

Hướng dẫn giải

a)
$\begin{aligned} & \left( 2+4i \right)\left( 3-5i \right)+7\left( 4-3i \right) \\ & =6-10i+12i-20{{i}^{2}}+28-21i \\ & =6+2i+20+28-21i \\ &=54-19i \\ \end{aligned}$
b)
$\begin{aligned} & {{\left( 1-2i \right)}^{2}}-\left( 2-3i \right)\left( 3+2i \right)=1-4i+4{{i}^{2}}-\left( 6+4i-9i-6{{i}^{2}} \right) \\ & =1-4i-4-6+5i-6=-15+i \\ \end{aligned}$

Giải các phương trình sau trên tập số phức:
$\begin{align} & a)\left( 5-7i \right)+\sqrt{3}x=\left( 2-5i \right)\left( 1+3i \right) \\ & b)\,\,5-2ix=\left( 3+4i \right)\left( 1-3i \right) \\ \end{align}$

Phương pháp giải

Chuyển vế, đổi dấu, sử dụng các phép toán trên tập số phức để tính toán.

Hướng dẫn giải

a)
$\begin{aligned} & \left( 5-7i \right)+\sqrt{3}x=\left( 2-5i \right)\left( 1+3i \right) \\ & \Leftrightarrow \left( 5-7i \right)+\sqrt{3}x=2+i+15 \\ & \Leftrightarrow \sqrt{3}x=12+8i \\ & \Leftrightarrow x=4\sqrt{3}+\dfrac{8}{\sqrt{3}}i \\ \end{aligned}$
b)
$\begin{aligned} & 5-2ix=\left( 3+4i \right)\left( 1-3i \right) \\ & \Leftrightarrow 5-2ix=3-5i+12 \\ & \Leftrightarrow -2ix=10-5i \\ & \Leftrightarrow x=-\dfrac{10}{2i}+\dfrac{5i}{2i}=\dfrac{5}{2}+5i \\ \end{aligned}$

Tính các lũy thừa sau :
$\begin{align} & a){{\left( 3-4i \right)}^{2}} \\ & b){{\left( 2+3i \right)}^{3}} \\ & c){{\left[ \left( 4+5i \right)-\left( 4+3i \right) \right]}^{5}} \\ & d){{\left( \sqrt{2}-i\sqrt{3} \right)}^{2}} \\ \end{align}$

Phương pháp giải

Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ kết hợp với các phép toán cộng, trừ, nhân số phức.

$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2\\ i^2=-1$

Hướng dẫn giải

Tính
$\begin{align} & a){{\left( 1+i \right)}^{2006}}; \\ & b){{\left( 1-i \right)}^{2006}}. \\ \end{align}$

Phương pháp giải

Tính $(1+i)^2;(1-i)^2$ rồi suy ra kết quả

Hướng dẫn giải

$\begin{aligned} & a)\, \\ & {{\left( 1+i \right)}^{2006}}={{\left[ {{\left( 1+i \right)}^{2}} \right]}^{1003}}={{\left( 1+2i-1 \right)}^{1003}}={{\left( 2i \right)}^{1003}}={{2}^{1003}}.{{\left( {{i}^{2}} \right)}^{501}}.i=-{{2}^{1003}}i \\ & b) \\ & {{\left( 1-i \right)}^{2006}}={{\left[ {{\left( 1-i \right)}^{2}} \right]}^{1003}}={{\left( 1-2i-1 \right)}^{1003}}={{\left( -2i \right)}^{1003}}=-{{2}^{1003}}.{{\left( {{i}^{2}} \right)}^{501}}.i={{2}^{1003}}i \\ \end{aligned}$

Cho $z=a+bi$. Chứng minh rằng:
$\begin{align} & a){{z}^{2}}+{{\left( \overline{z} \right)}^{2}}=2\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}} \right); \\ & b){{z}^{2}}-{{\left( \overline{z} \right)}^{2}}=4abi; \\ & c){{z}^{2}}{{\left( \overline{z} \right)}^{2}}={{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}^{2}}. \\ \end{align}$

Phương pháp giải

Sử dụng công thức z = a + bi thì $\overline z = a - bi$ và thay vào vế trái mỗi đẳng thức, biến đổi đưa về vế phải và kết luận.

Hướng dẫn giải

$\begin{aligned} & a) \\ & {{z}^{2}}+{{\left( \overline{z} \right)}^{2}}={{\left( a+bi \right)}^{2}}+{{\left( a-bi \right)}^{2}} \\ & ={{a}^{2}}-{{b}^{2}}+2abi+\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}}-2abi \right)=2\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}} \right) \\ & b) \\ & {{z}^{2}}-{{\left( \overline{z} \right)}^{2}}={{\left( a+bi \right)}^{2}}-{{\left( a-bi \right)}^{2}} \\ & ={{a}^{2}}-{{b}^{2}}+2abi-\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}}-2abi \right) \\ & =4abi \\ & c) \\ & {{z}^{2}}.{{\left( \overline{z} \right)}^{2}}={{\left( a+bi \right)}^{2}}.{{\left( a-bi \right)}^{2}}={{\left[ \left( a+bi \right)\left( a-bi \right) \right]}^{2}} \\ & ={{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}^{2}} \\ \end{aligned}$

Phân tích thành nhân tử trên tập hợp số phức :
$\begin{align} & a){{u}^{2}}+{{v}^{2}} \\ & b){{u}^{4}}-{{v}^{4}} \\ \end{align}$

Phương pháp giải

Sử dụng hằng đẳng thức ${A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)$

Hướng dẫn giải

$\begin{aligned} & a) \, {{u}^{2}}+{{v}^{2}}={{u}^{2}}-{{\left( vi \right)}^{2}}=\left( u-vi \right)\left( u+vi \right) \\ & b) \, {{u}^{4}}-{{v}^{4}}=\left( {{u}^{2}}+{{v}^{2}} \right)\left( {{u}^{2}}-{{v}^{2}} \right)=\left( u-vi \right)\left( u+vi \right)\left( u-v \right)\left( u+v \right) \\ \end{aligned}$

Tính giá trị biểu thức $P={{\left( 1+i\sqrt{3} \right)}^{2}}+{{\left( 1-i\sqrt{3} \right)}^{2}}$

Phương pháp giải

Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ kết hợp với các phép toán trên tập số phức để tính toán.

Hướng dẫn giải

$P={{\left( 1+i\sqrt{3} \right)}^{2}}+{{\left( 1-i\sqrt{3} \right)}^{2}}=1-3+2i\sqrt{3}+\left( 1-3-2i\sqrt{3} \right)=-4$

a) Cho hai số phức ${{z}_{1}}=1+2i,{{z}^{2}}=2-3i$. Xác định phần thực và phần ảo của số phức ${{z}_{1}}-2{{z}_{2}}$
b) Cho hai số phức ${{z}_{1}}=2+5i,\,{{z}_{2}}=3-4i$.  Xác định phần thực và phần ảo của số phức ${{z}_{1}}.{{z}_{2}}$

Phương pháp giải

Thực hiện các phép toán với số phức và kết luận.

Hướng dẫn giải

a)
${{z}_{1}}-2{{z}_{2}}=1+2i-2\left( 2-3i \right)=1+2i-4+6i=-3+8i$

Vậy phần thực là -3 và phần ảo là 8
b)
${{z}_{1}}.{{z}_{2}}=\left( 2+5i \right)\left( 3-4i \right)=6-8i+15i-20{{i}^{2}}=26+7i$

Vậy phần thực là 26 và phần ảo là 7

 Cho $z\in \mathbb{C}$. Khẳng định nào sau đây là sai?

$\begin{align} & A.\,\,z+\overline{z}\in \mathbb{R} \\ & B.\,z.\overline{z}\in \mathbb{R} \\ & C.\,z-\overline{z}\in \mathbb{R} \\ & D.{{z}^{2}}+{{\left( \overline{z} \right)}^{2}}\in \mathbb{R} \\ \end{align}$

Phương pháp giải

Tính $\overline z$ và kiếm tra tính đúng sai của từng đáp án.

Hướng dẫn giải

A. $z+\overline{z}=2a\in \mathbb{R}$  . A đúng
B. $z.\overline{z}=\left( a+bi \right)\left( a-bi \right)={{a}^{2}}+{{b}^{2}}\in \mathbb{R}$. B đúng
C. $z-\overline{z}=\left( a+bi \right)-\left( a-bi \right)=2bi\in \mathbb{C}$. C sai
D. ${{z}^{2}}+{{\left( \overline{z} \right)}^{2}}={{\left( a+bi \right)}^{2}}+{{\left( a-bi \right)}^{2}}=2\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}} \right)\in \mathbb{R}$. D  đúng

Chọn C

Cho $n,k\in \mathbb{N}$, biết ${{i}^{n}}=-1$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $n$ là một số chẵn
B. $n$ là một số lẻ
C. $n=4k+2$
D. $n=4k+3$

Phương pháp giải

Sử dụng định nghĩa ${i^2} = - 1$ và nhận xét n.

Hướng dẫn giải

${{i}^{n}}={{\left( {{i}^{2}} \right)}^{\frac{n}{2}}}=-1 \\ \Rightarrow \dfrac{n}{2}=2k+1\Rightarrow n=4k+2$
Chọn C.

Cho ${{z}_{1}};{{z}_{2}}\in \mathbb{C}$. Khẳng định nào sau đây là sai?

$\begin{align} & A.\,{{z}_{1}}.\overline{{{z}_{2}}}+\overline{{{z}_{1}}}.{{z}_{2}}\in \mathbb{R} \\ & B.\,{{z}_{1}}.{{z}_{2}}+\overline{{{z}_{1}}}.\overline{{{z}_{2}}}\in \mathbb{R} \\ & C.\,{{z}_{1}}.\overline{{{z}_{2}}}.\overline{{{z}_{1}}}.{{z}_{2}}\in \mathbb{R} \\ & D.\,{{z}_{1}}.{{z}_{2}}-\overline{{{z}_{1}}}.\overline{{{z}_{2}}}\in \mathbb{R} \\ \end{align}$

Phương pháp giải

Sử dụng chú ý: $z \in \mathbb{R} \Leftrightarrow z = \overline z$, nghĩa là tìm số phức liên hợp của mỗi số phức ở các đáp án và kiểm tra có bằng số phức ban đầu hay không.

Chú ý:

+) $\overline {{z_1} + {z_2}} = \overline {{z_1}} + \overline {{z_2}}$

+) $\overline {{z_1}{z_2}} = \overline {{z_1}} .\overline {{z_2}}$

Hướng dẫn giải

Gọi ${{z}_{1}}=a+bi;{{z}_{2}}=c+di,\,\,\,a,b,c,d\in \mathbb{R}$
$\begin{aligned} & A.\,{{z}_{1}}.\overline{{{z}_{2}}}+\overline{{{z}_{1}}}.{{z}_{2}}=\left( a+bi \right)\left( c-di \right)+\left( a-bi \right)\left( c+di \right) \\ & =ac+bd+\left( bc-ad \right)i+ac+bd+\left( ad-bc \right)i \\ & =2\left( ac+bd \right)\in \mathbb{R} \\ & B.\,{{z}_{1}}.{{z}_{2}}+\overline{{{z}_{1}}}.\overline{{{z}_{2}}}=\left( a+bi \right)\left( c+di \right)+\left( a-bi \right)\left( c-di \right) \\ & =ac-bd+\left( ad+bc \right)i+ac-bd-\left( ad+bc \right)i \\ & =2\left( ac-bd \right)\in \mathbb{R} \\ & C.\,{{z}_{1}}.\overline{{{z}_{2}}}.\overline{{{z}_{1}}}.{{z}_{2}}=\left( a+bi \right)\left( c-di \right)\left( a-bi \right)\left( c+di \right) \\ & =\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\left( {{c}^{2}}+{{d}^{2}} \right)\in \mathbb{R} \\ & D.\,{{z}_{1}}.{{z}_{2}}-\overline{{{z}_{1}}}.\overline{{{z}_{2}}}=\left( a+bi \right)\left( c+di \right)-\left( a-bi \right)\left( c-di \right) \\ & =ac+bd+\left( ad+bc \right)i-\left[ ac-bd-\left( ad+bc \right)i \right]\in \mathbb{C} \\ \end{aligned}$
Chọn D.