Giải bài tập SBT Toán 12 Bài 1: Tích phân

Dưới đây là hướng dẫn giải bài tập SBT Toán 12 Bài Tích phân trang 170 - 174 với nội dung gồm 15 bài tập có hướng dẫn giải chi tiết, rõ ràng, trình bày khoa học. eLib hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học sinh lớp 12 học tập thật tốt.

Giải bài tập SBT Toán 12 Bài 1: Tích phân

Giải bài tập SBT Toán 12 Bài 1: Tích phân

1. Giải bài 3.16 trang 170 SBT Giải tích 12

Tính các tích phân sau:

a) 10(y3+3y22)dy10(y3+3y22)dy

b) 41(t+1t1t2)dt41(t+1t1t2)dt

c) π20(2cosxsin2x)dxπ20(2cosxsin2x)dx

d) 10(3s2s)2ds10(3s2s)2ds

e) π30cos3xdx+3π2π3cos3xdx+5π23π2cos3xdxπ30cos3xdx+3π2π3cos3xdx+5π23π2cos3xdx

Phương pháp giải

Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a;b] . Khi đó

baf(x)dx=F(b)F(a)baf(x)dx=F(b)F(a)

Hướng dẫn giải

a)

10(y3+3y22)dy=10y3dy+103y2dy102dy=14y4|10+y3|102y|10=14+12=34

b) 

41(t+1t1t2)dt=41tdt+411tdt411t2dt=t22|41+2t|41+1t|41=(16212)+(242)+(141)=354

c)

π20(2cosxsin2x)dx=π202cosxdxπ20sin2xdx=2sinx|π20+12cos2x|π20=2+12(11)=1

d) 

10(3s2s)2ds=10(9s2.6s+4s)ds=109sds2106sds+104sds=9sln9|102.6sln6|10+4sln4|10=8ln910ln6+3ln4

e) 

π30cos3xdx+3π2π3cos3xdx+5π23π2cos3xdx=5π20cos3xdx=13sin3x|5π20=13(sin5π2sin0)=13

2. Giải bài 3.17 trang 170 SBT Giải tích 12

 Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến số:

a) 21x(1x)5dx    (đặt t=1x)

b) ln20ex1dx  (đặt t=ex1)

c) 91x31xdx (đặt t=31x)

d) π0xsinx1+cos2xdx (đặt x=πt)

e) 11x2(1x3)4dx

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp đổi biến tính tích phân, cách đổi biến đã được gợi ý ngay ở đề bài.

Hướng dẫn giải

a) Đặt t=1xdx=dt

x=1t=0x=2t=1

Ta có:

10(1t)t5(dt)=01(t5t6)dt=(16t617t7)|01=1617=1342

b) Đặt t=ex1t2=ex12tdt=exdx=(t2+1)dxdx=2tdtt2+1

x=0t=0x=ln2t=1

Ta có:

ln20ex1dx=102t2dtt2+1=10(22t2+1)dt=2t2arctant|10=22.π4=2π2

c) Đặt  t=31xt3=1xdx=3t2dt

x=1t=0x=9t=2

Ta có:

91x31xdx=320(1t3)t3dt=302(t3t6)dt=3(t44t77)|02=4687

d) Đặt x=πtdx=dt

x=0t=πx=πt=0

Ta có: 

π0xsinx1+cos2xdx=0π(πt)sin(πt)1+cos2(πt)dt=π0(πt)sint1+cos2tdt=π0πsint1+cos2tdtπ0tsint1+cos2tdt

Suy ra 

π0xsinx1+cos2xdx=π2π0sinx1+cos2xdx=π2π0d(cosx)1+cos2xdx=π211du1+u2=π2(arctanu)|11=π24

e) Đặt t=1x3dt=3x2dxhayx2dx=dt3

x=1t=2x=1t=0

Ta có: 

11x2(1x3)4dx=1320t4dt=115t5|20=3215

3. Giải bài 3.18 trang 171 SBT Giải tích 12

Áp dụng phương pháp tích phân từng phần, hãy tính các tích phân sau:

a) π20xcos2xdx

b) ln20xe2xdx

c) 10ln(2x+1)dx

d) 32[ln(x1)ln(x+1)]dx

e) 212(1+x1x)ex+1xdx

g) π20xcosxsin2xdx

Phương pháp giải

Phương pháp tích phân từng phần:

bau(x)v(x)dx=[u(x)v(x)]|babau(x)v(x)dx

Hướng dẫn giải

a) Đặt {u=xdv=cos2xdx{du=dxv=12sin2x

Ta có: 

π20xcos2xdx=12xsin2x|π2012π20sin2xdx=0+14cos2x|π20=+14(11)=12

b) Đặt {u=xdv=e2xdx{du=dxv=12e2x

ln20xe2xdx=12xe2x|ln20+12ln20e2xdx=12(ln2.140)14e2x|ln20=12(ln2.140)14(141)=31618ln2

c) Đặt {u=ln(2x+1)dv=dx{du=2dx2x+1v=x

ta có: 

10ln(2x+1)dx=xln(2x+1)|10102x2x+1dx=ln310(112x+1)dx=ln3[x12ln(2x+1)]|10=ln3(112ln3)=32ln31

d) Đặt {u=ln(x1)ln(x+1)dv=dx{du=(1x11x+1)dxv=x

Ta có: 

32[ln(x1)ln(x+1)]dx=[xln(x1)xln(x+1)]|3232(xx1xx+1)dx=2ln33ln232(1x1+1x+1)dx=2ln33ln2[ln(x1)+ln(x+1)]|32=2ln33ln2(3ln2ln3)=3ln36ln2

e) I=212(1+x1x)ex+1xdx=212ex+1xdx+212(x1x)ex+1xdx=I1+I2

Tính tích phân I1

Đặt {u=ex+1xdv=dx{du=(11x2)ex+1xv=x

Ta có: 

I1=xex+1x|212212x(11x2)ex+1xdx=2e5212e52I2=32e52I2

Suy ra:

 I=32e52

g) Đặt {u=xdv=cosxsin2xdx{du=dxv=13sin3x

Ta có: 

π20xcosxsin2xdx=13xsin3x|π2013π20sin3xdx=π613J

trong đó 

J=π20sin3xdx=π20(34sinx14sin3x)dx=(34cosx+112cos3x)|π20=34112=23

Vậy π20xcosxsin2xdx=π629.

4. Giải bài 3.19 trang 171 SBT Giải tích 12

Tính các tích phân sau đây:

a) π20(x+1)cos(x+π2)dx

b) 10x2+x+1x+1log2(x+1)dx

c) 112x21x4+1dx (đặt t=x+1x)

d) π20sin2xdx3+4sinxcos2x

Phương pháp giải

a) Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, chú ý cos(x+π2)=sinx

b) Biến đổi x2+x+1x+1log2(x+1)=1ln2[xln(x+1)+ln(x+1)x+1] rồi chia thành các tích phân nhỏ, sử dụng phương pháp tích phân từng phần và đổi biến để tính.

c) 

- Nhân cả tử và mẫu của biểu thức dưới dấu tích phân với x2.

- Đổi biến t=x+1x và tính tích phân.

d) 

- Biến đổi sin2x3+4sinxcos2x=sinxcosx(sinx+1)2

- Đổi biến t = sin x và tính tích phân.

Hướng dẫn giải

a) Đặt {u=x+1dv=cos(π2+x)dx{du=dxv=sin(π2+x)

Ta có: 

I=(x+1)sin(π2+x)|π20π20sin(π2+x)dx=1+cos(π2+x)|π20=2

b) Ta có: 

 log2(x+1)=ln(x+1)ln2x2+x+1x+1log2(x+1)=1ln2[xln(x+1)+ln(x+1)x+1]I=10x2+x+1x+1log2(x+1)dx=1ln2[10xln(x+1)dx+10ln(x+1)x+1dx]=1ln2(I1+I2)

+) I1=10xln(x+1)dx

Đặt {u=ln(x+1)dv=xdx{du=dxx+1v=12x2

Ta có:

I1=12x2ln(x+1)|101210x2x+1dx=12ln21210(x1+1x+1)dx=12ln212[x22x+ln(x+1)]|10=12ln212[121+ln2]=14

+ Tính I2

 I2=10ln(x+1)x+1dx=10ln(x+1)d[ln(x+1)]=12ln2(x+1)|10=12ln22

Ta có: I=1ln2(14+12ln22)=14ln2+12ln2

c) Ta có: x21x4+1=11x2x2+1x2=11x2(x+1x)2

Đặt t=x+1xdt=(11x2)dx, ta có:

112x21x4+1dx=252dtt22=122ln|t2t+2||252=122ln626+2

d) 

sin2x3+4sinxcos2x=2sinxcosx3+4sinx(12sin2x)=sinxcosxsin2x+2sinx+1=sinxcosx(sinx+1)2π20sin2x3+4sinxcos2xdx=π20sinxd(sinx+1)(sinx+1)2dx=(ln|sinx+1|+1sinx+1)|π20=ln212

5. Giải bài 3.20 trang 172 SBT Giải tích 12

Chứng minh rằng hàm số f(x) cho bởi x0t1+t4dt,xR

là hàm số chẵn.

Phương pháp giải

Hàm số f(x) xác định trên D là hàm số chẵn nếu f(x)=f(x)xD

Hướng dẫn giải

Ta có: f(x)=x0t1+t4dt,xR

Đặt t=s, khi đó: f(x)=x0s1+s4ds=f(x)

Vậy f(x) là hàm số chẵn.

6. Giải bài 3.21 trang 172 SBT Giải tích 12

Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [-a;a]. Chứng minh rằng

aaf(x)dx={2a0f(x)dxnếuflà hàm số chẵn0nếuflà hàm số lẻ

Áp dụng để tính 22ln(x+1+x2)dx

Phương pháp giải

Cho hàm số f(x) xác định trên D.

(i) f(x) là hàm số chẵn nếu f(x)=f(x)xD

(ii) f(x) là hàm số lẻ nếu f(x)=f(x)xD

Hướng dẫn giải

aaf(x)dx=0af(x)dx+a0f(x)dx

Đổi biến x=t

+ Nếu f là hàm số chẵn trên đoạn [-a;a] thì f(x)=f(x),x[a;a]

 ta có: 0af(x)dx=0af(t)dt=a0f(t)dt

Suy ra: aaf(x)dx=2a0f(x)dx

+ Nếu f là hàm số lẻ trên đoạn [-a;a] thì f(x)=f(x),x[a;a]. Suy ra f(x)+f(x)=0,x[a;a]

Ta có: 0af(x)dx=0af(t)dt=a0f(t)dt 

Khi đó aaf(x)dx=0

Áp dụng để tính 22ln(x+1+x2)dx

Đặt g(x)=ln(x+1+x2)

Vì g(x) là hàm số lẻ trên đoạn [-2;2] nên  22ln(x+1+x2)dx=0

7. Giải bài 3.22 trang 172 SBT Giải tích 12

Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Chứng minh rằng

π20f(sinx)dx=π20f(cosx)dx

Phương pháp giải

Đổi biến số x=π2t tính tích phân π20f(sinx)dx

Hướng dẫn giải

Đổi biến x=π2t, ta có 

π20f(sinx)dx=0π2f[sin(π2x)]dx=π20f(cosx)dx

Vậy π20f(sinx)dx=π20f(cosx)dx

8. Giải bài 3.23 trang 172 SBT Giải tích 12

Đặt In=π20sinnxdx,nN.

a) Chứng minh rằng In=n1nIn2,n>2

b) Tính I3 và I5

Phương pháp giải

a) Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, đặt u=sinn1x và dv=sinxdx

b) Thay n = 3,n = 5 vào tính I3,I5

Hướng dẫn giải

a) Xét với n > 2, ta có:

In=π20sinn1xsinxdx,nN.

Đặt {u=sinn1xdv=sinxdx{du=(n1)sinn2x.cosxv=cosx

Khi đó:

In=sinn1x.cosx|π20+(n1)π20sinn2xcos2xdx=(n1)π20sinn2x(1sin2x)dx=(n1)(In2In)In=(n1)In2(n1)InIn=n1nIn2

b) 

I3=23I1=23π20sinxdx=23cosx|π20=23I5=45I3=45.23=815

9. Giải bài 3.24 trang 172 SBT Giải tích 12

Khẳng định nào dưới đây đúng?

a) π20sinxdx+3π2π2sinxdx+2π3π2sinxdx=0

b) π203sinx3cosxdx=0

c) 1212ln1x1+xdx=0

d) 20(11+x+x2+x3+1)dx=0

Phương pháp giải

Xét tính đúng sai của mỗi đáp án bằng cách tính các tích phân, sử dụng kiến thức các bài tập trước đã làm.

Hướng dẫn giải

a) Đúng vì vế trái bằng 2π0sinxdx=0

b) Đúng (theo bài 3.17)

c) Đúng (theo bài 3.16)

d) Sai vì 11+x+x2+x3+1>1x[0;2] nên 20(11+x+x2+x3+1)dx>20dx=2

10. Giải bài 3.25 trang 173 SBT Giải tích 12

Hãy chỉ ra kết quả sai trong việc khử giá trị tuyệt đối của tích phân sau đây:

2π0|sinx|dx

A. 2π0sinxdx                                     

B. π02sinxdx

C. π0sinxdx2π0sinxdx                 

D. 2ππ2sinxdx

Phương pháp giải

Xét các khoảng âm, dương của sin x và phá dấu giá trị tuyệt đối.

Hướng dẫn giải

Ta có: sinx>00<x<π và sinx<0π<x<2π

2π0|sinx|dx=π0|sinx|dx+2ππ|sinx|dx=π0sinxdx+2ππ(sinx)dx =π0sinxdx2ππsinxdx

Do đó A sai.

Chọn A.

11. Giải bài 3.26 trang 173 SBT Giải tích 12

11|xx3|dx bằng:

A. 12 

B. 2

C. -1

D. 0

Phương pháp giải

Phá dấu giá trị tuyệt đối và tính tích phân.

Hướng dẫn giải

Vì |xx3|={x3x,1x0xx3,0x2πnên tích phân đã cho bằng:

11|xx3|dx=01(x3x)dx+10(xx3)dx

                    =(x44x22)|01+(x22x44)|10=14+12+1214=12

Vậy chọn A

12. Giải bài 3.27 trang 173 SBT Giải tích 12

π2π2(sin2xsinx2+cos3x)dx bằng

A. 2 

B. 2π

C. π

D. π

Phương pháp giải

Biến đổi sin2xsinx2+cos3x=cosx và tính tích phân.

Hướng dẫn giải

Vì sin2xsinx2+cos3x=(sin2x+cos2x)cosx=cosxnên

π2π2(sin2xsinx2+cos3x)dx=π2π2cosxdx=2

Vậy chọn A

13. Giải bài 3.28 trang 173 SBT Giải tích 12

e1lnxx2dx

A. 11e

B. 12e

C. 1+2e

D. 0

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp từng phần tính tích phân.

Hướng dẫn giải

Đặt dv=1x2dx,u=lnx

Suy ra v=1x,du=dxx

Ta có: 

e1lnxx2dx=lnxx|e1+e11x2dx=1e1x|e1=1e(1e1)=12e

Vậy chọn B

14. Giải bài 3.29 trang 174 SBT Giải tích 12

Đối với tích phân π40tanxcos2xdx, thực hiện đổi biến số t=tanx, ta được:

A. π40tdt

B. 01tdt

C. 10tdt

D. 10tdt

Phương pháp giải

Tính dt và đổi cận suy ra tích phân mới.

Hướng dẫn giải

Đặt t=tanxdt=1cos2xdx

Đổi cận x=0t=0,x=π4t=1

Khi đó π40tanxcos2xdx=10tdt

Chọn C

15. Giải bài 3.30 trang 174 SBT Giải tích 12

10sinxdx bằng

A. 2(sin1cos1)

B. 2(cos1sin1)

C. sin1cos1

D. 2(sin1+cos1)

Phương pháp giải

Đặt t=x, kết hợp với phương pháp từng phần để tính tích phân.

Hướng dẫn giải

Đặt t=xt2=x2tdt=dx

Khi đó 10sinxdx=10sint.2tdt=210tsintdt

Đặt {u=tdv=sintdt{du=dtv=cost

10tsintdt=tcost|10+10costdt=1cos1+sint|10=cos1+sin1

Vậy 10sinxdx=2(sin1cos1)

Chọn A.

Các em hãy luyện tập bài trắc nghiệm Tích phân Toán 12 sau để nắm rõ thêm kiến thức bài học.

Trắc Nghiệm

Ngày:23/10/2020 Chia sẻ bởi:Thi

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM