Giải bài tập SBT Toán 12 Bài 6: Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit

Giải các bất phương trình mũ sau :

\(\begin{align} & a)\,{{3}^{\left| x-2 \right|}}<9; \\ & b)\,{{4}^{\left| x+1 \right|}}>16; \\ & c)\,{{2}^{-{{x}^{2}}+3x}}<4; \\ & d)\,{{\left( \dfrac{7}{9} \right)}^{2{{x}^{2}}-3x}}\ge \dfrac{9}{7}; \\ & e)\,{{11}^{\sqrt{x+6}}}\ge {{11}^{x}}; \\ & g)\,{{2}^{2x-1}}+{{2}^{2x-2}}+{{2}^{2x-3}}\ge 448; \\ & h)\,{{16}^{x}}-{{4}^{x}}-6\le 0; \\ & i)\dfrac{{{3}^{x}}}{{{3}^{x}}-2}<3. \\ \end{align} \)

Phương pháp giải

Đưa về cùng cơ số và sử dụng tính chất so sánh:

+ Nếu a > 1 thì \(\displaystyle {a^m} > {a^n} \Leftrightarrow m > n\)

+ Nếu  0 < a < 1 thì \(\displaystyle {a^m} > {a^n} \Leftrightarrow m < n\)

Hướng dẫn giải

\(\begin{aligned} & a) \\ & {{3}^{\left| x-2 \right|}}<9={{3}^{2}} \\ & \Leftrightarrow \left| x-2 \right|<2 \\ & \Leftrightarrow -2< x-2<2 \\ & \Leftrightarrow 0< x<4 \\ \end{aligned} \)

\(\begin{aligned} & b) \\ & {{4}^{\left| x+1 \right|}}>16={{4}^{2}} \\ & \Leftrightarrow \left| x+1 \right|>2 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x+1<-2 \\ & x+1>2 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x<-3 \\ & x>1 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \)

\( \begin{aligned} & c) \\ & {{2}^{-{{x}^{2}}+3x}}<4={{2}^{2}} \\ & \Leftrightarrow -{{x}^{2}}+3x<2 \\ & \Leftrightarrow -{{x}^{2}}+3x-2<0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x<1 \\ & x>2 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \)

\( \begin{aligned} & d) \\ & {{\left( \dfrac{7}{9} \right)}^{2{{x}^{2}}-3x}}\ge \dfrac{9}{7}={{\left( \dfrac{7}{9} \right)}^{-1}} \\ & \Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-3x\le -1 \\ & \Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-3x+1\le 0 \\ & \Leftrightarrow x\in \left[ \dfrac{1}{2};1 \right] \\ \end{aligned} \)

\(\begin{aligned} & e)\,x\ge -6 \\ & {{11}^{\sqrt{x+6}}}\ge {{11}^{x}} \\ & \Leftrightarrow \sqrt{x+6}\ge x \\ \end{aligned} \)
+) Luôn đúng với \(x \in [-6;0]\)
+) Nếu \(x > 0\), ta có:
\(\begin{aligned} & x+6\ge {{x}^{2}} \\ & \Leftrightarrow {{x}^{2}}-x-6\le 0 \\ & \Leftrightarrow \left( x-3 \right)\left( x+2 \right)\le 0 \\ & \Leftrightarrow x\in \left[ -2;3 \right] \\ \end{aligned} \)
Vậy \(x\in \left[ -6;0 \right]\cup \left[ -2;3 \right] =[-6;3]\)

\(\begin{aligned} & g) \\ & {{2}^{2x-1}}+{{2}^{2x-2}}+{{2}^{2x-3}}\ge 448 \\ & \Leftrightarrow {{2}^{2x-3}}\left( {{2}^{2}}+2+1 \right)\ge 448 \\ & \Leftrightarrow {{2}^{2x-3}}\ge 64={{2}^{6}} \\ & \Leftrightarrow 2x-3\ge 6 \\ & \Leftrightarrow x\ge \dfrac{9}{2} \\ \end{aligned} \)

\(\begin{aligned} & h)\, \\ & {{16}^{x}}-{{4}^{x}}-6\le 0 \\ & \Leftrightarrow {{4}^{2x}}-{{4}^{x}}-6\le 0 \\ & \Leftrightarrow \left( {{4}^{x}}-3 \right)\left( {{4}^{x}}+2 \right)\le 0 \\ & \Leftrightarrow {{4}^{x}}-3\le 0\,\,\,\,\,\,\,\,\left( \text{vì}\,\,{{4}^{x}}+2>0\,\,\,\forall x \right) \\ & \Leftrightarrow x\le {{\log }_{4}}3 \\ \end{aligned} \)

\(\begin{aligned} & i) \\ & \dfrac{{{3}^{x}}}{{{3}^{x}}-2}<3 \\ & \Leftrightarrow \dfrac{{{3}^{x}}}{{{3}^{x}}-2}-3<0 \\ & \Leftrightarrow \dfrac{{{3}^{x}}-3\left( {{3}^{x}}-2 \right)}{{{3}^{x}}-2}<0 \\ & \Leftrightarrow \dfrac{-{{2.3}^{x}}+6}{{{3}^{x}}-2}<0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & {{3}^{x}}>3 \\ & {{3}^{x}}<2 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x>1 \\ & x<{{\log }_{3}}2 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \)

Giải các bất phương trình lôgarit sau :

\(\begin{align} & a)\,{{\log }_{\frac{1}{3}}}\left( x-1 \right)\ge -2; \\ & b)\,{{\log }_{3}}\left( x-3 \right)+{{\log }_{3}}\left( x-5 \right)<1; \\ & c)\,{{\log }_{\frac{1}{2}}}\dfrac{2{{x}^{2}}+3}{x-7}<0; \\ & d)\,{{\log }_{\frac{1}{3}}}{{\log }_{2}}{{x}^{2}}>0; \\ & e)\dfrac{1}{5-\log x}+\dfrac{2}{1+\log x}<1; \\ & g)4{{\log }_{4}}x-33{{\log }_{x}}4\le 1. \\ \end{align} \)

Phương pháp giải

Biến đổi bất phương trình dạng cơ bản và sử dụng so sánh logarit:

+ Nếu \(\displaystyle 0 < a < 1\) thì \(\displaystyle {\log _a}f\left( x \right) > {\log _a}g\left( x \right)\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow f\left( x \right) < g\left( x \right)\).

+ Nếu \(\displaystyle a > 1\) thì \(\displaystyle {\log _a}f\left( x \right) > {\log _a}g\left( x \right)\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow f\left( x \right) > g\left( x \right)\).

Hướng dẫn giải

a) ĐK : \( x > 1\)

\(\begin{aligned} & {{\log }_{\frac{1}{3}}}\left( x-1 \right)\ge -2 \\ & \Leftrightarrow -{{\log }_{3}}\left( x-1 \right)\ge -2 \\ & \Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( x-1 \right)\le 2 \\ & \Leftrightarrow x-1\le {{3}^{2}} \\ & \Leftrightarrow x\le 10 \\ \end{aligned}\)

Vậy \(x\in (1;10] \)

b) ĐK: \(x>5 \)

\(\begin{aligned} & {{\log }_{3}}\left( x-3 \right)+{{\log }_{3}}\left( x-5 \right)<1 \\ & \Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left[ \left( x-3 \right)\left( x-5 \right) \right]<1 \\ & \Leftrightarrow {{x}^{2}}-8x+15<3 \\ & \Leftrightarrow {{x}^{2}}-8x+12<0 \\ & \Leftrightarrow 2< x<6 \\ \end{aligned} \)

Kết hợp điều kiện, suy ra \(5< x<6 \)

c) ĐK: \(x>7 \)

\(\begin{aligned} & {{\log }_{\frac{1}{2}}}\dfrac{2{{x}^{2}}+3}{x-7}<0 \\ & \Leftrightarrow \dfrac{2{{x}^{2}}+3}{x-7}>1 \\ & \Leftrightarrow \dfrac{2{{x}^{2}}+3}{x-7}-1>0 \\ & \Leftrightarrow \dfrac{2{{x}^{2}}-x+10}{x-7}>0 \\ & \Leftrightarrow \dfrac{{{x}^{2}}+{{x}^{2}}-x+1+9}{x-7}>0 \\ & \Leftrightarrow x-7>0 \\ & \Leftrightarrow x>7 \\ \end{aligned} \)

Vậy x> 7

d) ĐK: \(x\in \mathbb{R} \)

\(\begin{aligned} & {{\log }_{\frac{1}{3}}}{{\log }_{2}}{{x}^{2}}>0 \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & {{\log }_{2}}{{x}^{2}}>0 \\ & {{\log }_{2}}{{x}^{2}}<1 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & {{x}^{2}}>1 \\ & {{x}^{2}}<2 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & \left[ \begin{aligned} & x<-1 \\ & x>1 \\ \end{aligned} \right. \\ & -\sqrt{2}< x<\sqrt{2} \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow x\in \left( -\sqrt{2};-1 \right)\cup \left( 1;\sqrt{2} \right) \\ \end{aligned} \)

e) ĐK \(x> 0; x\ne {{10}^{5}};x\ne \dfrac{1}{10} \)

\(\begin{aligned} & \dfrac{1}{5-\log x}+\dfrac{2}{1+\log x}<1 \\ & \Leftrightarrow \dfrac{1+\log x+2\left( 5-\log x \right)-\left( 5-\log x \right)\left( 1+\log x \right)}{\left( 5-\log x \right)\left( 1+\log x \right)}<0 \\ & \Leftrightarrow \dfrac{{{\log }^{2}}x-5\log x+6}{\left( 5-\log x \right)\left( 1+\log x \right)}<0 \\ & \Leftrightarrow \dfrac{\left( \log x-2 \right)\left( \log x-3 \right)}{\left( 5-\log x \right)\left( 1+\log x \right)}<0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & \log x<-1 \\ & 2<\log x<3 \\ & \log x>5 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x<\dfrac{1}{10} \\ & 100< x<1000 \\ & x>{{10}^{5}} \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned}\)

Kết hợp điều kiện, ta có:
\(\left[ \begin{aligned} & 0< x<\dfrac{1}{10} \\ & 100< x<1000 \\ & x>100000 \\ \end{aligned} \right. \)

g) ĐK: \(x> 0\)

\(\begin{aligned} & 4{{\log }_{4}}x-33{{\log }_{x}}4\le 1 \\ & \Leftrightarrow 4{{\log }_{4}}x-\dfrac{33}{{{\log }_{4}}x}-1\le 0 \\ & \Leftrightarrow \dfrac{4\log _{4}^{2}x-{{\log }_{4}}x-33}{{{\log }_{4}}x}\le 0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & {{\log }_{4}}x\le -\dfrac{11}{4} \\ & 0<{{\log }_{4}}x\le 3 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x\le {{4}^{-\frac{11}{4}}} \\ & 1< x<{{4}^{3}} \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \)

Kết hợp điều kiện, ta có: \(\left[ \begin{aligned} & 0 < x\le {{4}^{-\frac{11}{4}}} \\ & 1< x\le 64 \\ \end{aligned} \right. \)

Giải các bất phương trình sau bằng đồ thị

\( \begin{align} & a)\,{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{x}}< x-\dfrac{1}{2}; \\ & b)\,{{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{x}}\ge x+1; \\ & c)\,{{\log }_{\frac{1}{3}}}x >3x; \\ & d)\,{{\log }_{2}}x\le 6-x \\ \end{align} \)

Phương pháp giải

- Vẽ đồ thị hàm số\(\displaystyle y = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}\left( C \right)\) và đường thẳng \(\displaystyle y = x - \frac{1}{2}\left( d \right)\) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

- Quan sát đồ thị, nghiệm của bất phương trình là phần x mà ứng với nó thì đồ thị (C) nằm phía dưới đường thẳng d

Hướng dẫn giải

a)

Vẽ đồ thị hàm số \(y=\left(\dfrac 1 2 \right)^x\) và \(y=x-\dfrac 1 2\) trên cùng một hệ tọa độ ta được:

Do vậy \(\,{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{x}}< x-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow x > 1\)

b)

Vẽ đồ thị hàm số \(y=\left(\dfrac 1 3 \right)^x\) và \(y=x+1\) trên cùng một hệ tọa độ ta được:

Từ đồ thị hàm số, ta có: \({{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{x}}\ge x+1\Rightarrow x\le 0\)

c)

Vẽ đồ thị hàm số \(y={{\log }_{\frac{1}{3}}}x \) và \(y=3x\) trên cùng một hệ tọa độ ta được:

Từ đồ thị hàm số, ta có: \({{\log }_{\frac{1}{3}}}x >3x\Rightarrow 0 < x < \dfrac 1 3\)

d)

Vẽ đồ thị hàm số \(y={{\log }_{2}}x \) và \(y=6-x\) trên cùng một hệ tọa độ ta được:

Từ đồ thị hàm số, ta có: \(\log_2x\le 6-x\Rightarrow 0< x\le 4\)

Tìm tập hợp nghiệm của bất đẳng thức \(\left(\dfrac 1 2 \right)^{\frac 1 x}\ge \left(\dfrac 1 2 \right)^4\)

A. \((-\infty;0)\)

B. \(\left(\dfrac 1 4 ;+\infty\right)\)

C. \((-\infty;0)\cup \left(\dfrac 1 4 ;+\infty \right)\)

D. \((-\infty;0)\cup \left[\dfrac 1 4 ;+\infty\right)\)

Phương pháp giải

Sử dụng so sánh \(\displaystyle {a^m} > {a^n} \Leftrightarrow m < n\) nếu 0 < a < 1

Hướng dẫn giải

\(\begin{aligned} & {{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{\frac{1}{x}}}\ge {{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{4}} \\ & \Leftrightarrow \dfrac{1}{x}\le 4 \\ & \Leftrightarrow \dfrac{1}{x}-4\le 0 \\ & \Leftrightarrow \dfrac{1-4x}{x}\le 0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x<0 \\ & x\ge \dfrac{1}{4} \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \)

Chọn D.

Tìm \(x\), biết \(\lg2x<1\)

A. \(x> 5\)

B. \(0< x< 5\)

C. \(x> 10\)

D. \(0< x< 10\)

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp giải phương trình logarit cơ bản \(\displaystyle {\log _a}f\left( x \right) < m \Leftrightarrow f\left( x \right) < {a^m} \,\, với \,\,\displaystyle a > 1\)

Hướng dẫn giải

Tìm tập hợp nghiệm của bất phương trình \(\log_3 \dfrac{2x}{x+1}>1\)

A. \((-\infty;-3)\)

B. \(​​(-1;+\infty)\)

C. \((-\infty;-3)\cup(-1;+\infty)\)

D. \((-3;-1)\)

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp giải phương trình logarit cơ bản \(\displaystyle {\log _a}f\left( x \right) < m \Leftrightarrow f\left( x \right) < {a^m} \,\, với \,\,\displaystyle a > 1\)

Hướng dẫn giải

\(\begin{aligned} & {{\log }_{3}}\dfrac{2x}{x+1}>1 \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & \dfrac{2x}{x+1}>0 \\ & \dfrac{2x}{x+1}>3 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & \left[ \begin{aligned} & x<-1 \\ & x>0 \\ \end{aligned} \right. \\ & \dfrac{2x}{x+1}-3>0 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & \left[ \begin{aligned} & x<-1 \\ & x>0 \\ \end{aligned} \right. \\ & \dfrac{-x-3}{x+1}>0 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & \left[ \begin{aligned} & x<-1 \\ & x>0 \\ \end{aligned} \right. \\ & -3< x<-1 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow -3< x<-1 \\ \end{aligned} \)

Chọn D