Giải bài tập SBT Toán 12 Bài 3: Lôgarit

Tính

\(a)\,\dfrac 1 2\log_7{36}-\log_7{14}-3\log_7{\sqrt[3]{21}}\)

\(b)\,\dfrac{\log_2{24}-\dfrac 1 2 \log_272}{\log_318-\dfrac1 3\log _372}\)

\(c)\,\dfrac{\log_24+\log_2\sqrt{10}}{\log_2{20}+3\log_22}\)

Phương pháp giải

Sử dụng các tính chất của logarit.

Hướng dẫn giải

a)

\(\,\,\,\,\,\dfrac 1 2\log_7{36}-\log_7{14}-3\log_7{\sqrt[3]{21}}\\ =\log_7\sqrt{36}-\log_714-3.\dfrac 1 3 \log_721\\ =\log_76-\log_714-\log_721\\ =\log_7{\dfrac{6}{14.21}}=\log_7{\dfrac 1 {49}}=-2\)

b)

\(\begin{align} & \dfrac{{{\log }_{2}}24-{{\log }_{2}}\sqrt{72}}{{{\log }_{3}}18-{{\log }_{3}}\sqrt[3]{72}} \\ & =\dfrac{{{\log }_{2}}\dfrac{24}{\sqrt{72}}}{{{\log }_{3}}\dfrac{18}{\sqrt[3]{72}}} \\ & =\dfrac{{{\log }_{2}}\dfrac{24}{3\sqrt{8}}}{{{\log }_{3}}\dfrac{18}{2\sqrt[3]{9}}} \\ & =\dfrac{{{\log }_{2}}\dfrac{8}{\sqrt{8}}}{{{\log }_{3}}\dfrac{9}{\sqrt[3]{9}}} \\ & =\dfrac{{{\log }_{2}}{{2}^{3-\frac{3}{2}}}}{{{\log }_{3}}{{3}^{2-\frac{2}{3}}}}=\dfrac{\dfrac{3}{2}}{\dfrac{4}{3}}=\dfrac{9}{8} \\ \end{align}\)

c)

\(\dfrac{\log_24+\log_2\sqrt{10}}{\log_2{20}+3\log_22}\\ \begin{align} & =\frac{{{\log }_{2}}\left( 4.\sqrt{10} \right)}{{{\log }_{2}}\left( {{20.2}^{3}} \right)} \\ & =\frac{{{\log }_{2}}\left( {{2}^{2}}{{.2}^{\frac{1}{2}}}{{.5}^{\frac{1}{2}}} \right)}{{{\log }_{2}}\left( {{2}^{2}}{{.5.2}^{3}} \right)} \\ & =\frac{{{\log }_{2}}{{2}^{\frac{5}{2}}}+{{\log }_{2}}{{5}^{\frac{1}{2}}}}{{{\log }_{2}}{{2}^{5}}+{{\log }_{2}}5} \\ & =\frac{\dfrac{1}{2}\left( {{\log }_{2}}{{2}^{5}}+{{\log }_{2}}5 \right)}{{{\log }_{2}}{{2}^{5}}+{{\log }_{2}}5}=\frac{1}{2} \\ \end{align} \)

Tìm x, biết:

\(a)\,\log_5x=2\log_5a-3\log_5b\)

\(b)\,\log_{\frac 1 2}x=\dfrac 2 3\log_{\frac 1 2 }a-\dfrac 1 5 \log_{\frac 1 2}b\)

Phương pháp giải

Biến đổi phương trình đã cho về cùng cơ số và sử dụng lý thuyết \(\displaystyle{\log _a}m = {\log _a}n \Leftrightarrow m = n\)

Hướng dẫn giải

a)

\(\begin{align} & {{\log }_{5}}x=2{{\log }_{5}}a-3{{\log }_{5}}b \\ & \Leftrightarrow {{\log }_{5}}x={{\log }_{5}}{{a}^{2}}-{{\log }_{5}}{{b}^{3}} \\ & \Leftrightarrow {{\log }_{5}}x={{\log }_{5}}\dfrac{{{a}^{2}}}{{{b}^{3}}} \\ & \Leftrightarrow x=\dfrac{{{a}^{2}}}{{{b}^{3}}} \\ \end{align} \)

b)

\(\begin{align} & {{\log }_{\frac{1}{2}}}x=\dfrac{2}{3}{{\log }_{\frac{1}{2}}}a-\dfrac{1}{5}{{\log }_{\frac{1}{2}}}b \\ & \Leftrightarrow {{\log }_{\frac{1}{2}}}x={{\log }_{\frac{1}{2}}}{{a}^{\frac{2}{3}}}-{{\log }_{\frac{1}{2}}}{{b}^{\frac{1}{5}}} \\ & \Leftrightarrow {{\log }_{\frac{1}{2}}}x={{\log }_{\frac{1}{2}}}\dfrac{{{a}^{\frac{2}{3}}}}{{{b}^{\frac{1}{5}}}} \\ & \Leftrightarrow x=\dfrac{{{a}^{\frac{2}{3}}}}{{{b}^{\frac{1}{5}}}}=\dfrac{\sqrt[3]{{{a}^{2}}}}{\sqrt[5]{b}} \\ \end{align} \)

a) Cho \( a = \log_315, b=\log_310\). Hãy tính \(\log_{\sqrt 3}50\), theo a và b

b) Cho \(a =\log_2 3, b=\log_3 5, c=\log_7 2\). Hãy tính \(\log_{140}63\) theo \(a, b, c.\)

Phương pháp giải

Thu gọn các số \(\displaystyle a,b\), từ đó biến đổi biểu thức cần tính giá trị về làm xuất hiện (a,b).

Hướng dẫn giải

a)

\(\begin{align} & {{\log }_{\sqrt{3}}}50=2.{{\log }_{3}}50=2.\left( {{\log }_{3}}5+{{\log }_{3}}10 \right) \\ & =2.\left( {{\log }_{3}}\dfrac{15}{3}+{{\log }_{3}}10 \right) \\ & =2.\left( {{\log }_{3}}15+{{\log }_{3}}10-{{\log }_{3}}3 \right) \\ & =2\left( a+b-1 \right) \\ \end{align}\)

b)

\(\begin{align} & {{\log }_{140}}63=\dfrac{{{\log }_{2}}63}{{{\log }_{2}}140} \\ & =\dfrac{{{\log }_{2}}\left( 9.7 \right)}{{{\log }_{2}}\left( {{2}^{2}}.5.7 \right)}=\dfrac{2{{\log }_{2}}3+{{\log }_{2}}7}{{{\log }_{2}}{{2}^{2}}+{{\log }_{2}}5+{{\log }_{2}}7} \\ & =\dfrac{2{{\log }_{2}}3+\dfrac{1}{{{\log }_{7}}2}}{2+\dfrac{{{\log }_{3}}5}{{{\log }_{3}}2}+\dfrac{1}{{{\log }_{7}}2}} \\ & =\dfrac{2a+\dfrac{1}{c}}{2+ab+\dfrac{1}{c}}=\dfrac{\dfrac{2ac+1}{c}}{\dfrac{2c+abc+1}{c}}=\dfrac{2{{a}}c+1}{abc+2c+1} \\ \end{align}\)

Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau :

A. \( \log_3\dfrac 6 5 < \log_3\dfrac 5 6\)

B. \( \log_{\frac 1 3}17 > \log_{\frac 1 3}9\)

C. \(\log_{\frac 1 2}e<\log_{\frac 1 2}\pi\)

D. \(\log_2\dfrac{\sqrt 5} 2 > \log_2\dfrac{\sqrt 3} 2\)

Phương pháp giải

Với \(a > 1\)

\(b>c\Rightarrow \log_ab>\log_ac\\ b< c\Rightarrow \log_ab<\log_ac\)

Với \(0< a<1\)

\(b>c\Rightarrow \log_ab<\log_ac\\ b< c\Rightarrow \log_ab>\log_ac\)

Hướng dẫn giải

Vì 3 > 1 và \(\dfrac 6 5 > \dfrac 5 6\) nên \( \log_3\dfrac 6 5 >\log_3\dfrac 5 6\) 

A - sai

Vì \(0<\dfrac 1 3 <1\) nên \( \log_{\frac 1 3}17 < \log_{\frac 1 3}9\) 

B - sai

Vì \(0<\dfrac 1 2 <1\) và \(e< \pi\) nên  \(\log_{\frac 1 2}e>\log_{\frac 1 2}\pi\)

C - sai

Vì 2 > 1 và \(\dfrac{\sqrt 5} 2 > \dfrac{\sqrt 3} 2\) nên \(\log_2\dfrac{\sqrt 5} 2 > \log_2\dfrac{\sqrt 3} 2\)

D - đúng

Chọn D.

Tính giá trị bằng số của biểu thức \(\log_{a^2}a\,\,\,(a>0, a\ne 1)\)

A. 2

B. -2

C. \(\dfrac 1 2\)

D. \(-\dfrac 1 2\)

Phương pháp giải

Với \(a > 1\)

\(b>c\Rightarrow \log_ab>\log_ac\\ b< c\Rightarrow \log_ab<\log_ac\)

Với \(0< a<1\)

\(b>c\Rightarrow \log_ab<\log_ac\\ b< c\Rightarrow \log_ab>\log_ac\)

Hướng dẫn giải

\(\log_{a^2}a=\dfrac 1 2 \log_aa=\dfrac 1 2\)

Chọn C.

Tính giá trị bằng số của biểu thức \(\ln\dfrac 1 e\)

A. 1

B. -1

C. \(\dfrac 1 e\)

D. \(-\dfrac 1 e\)

Phương pháp giải

Áp dụng

\(\ln e=1\\ a^{\log_ab}=b\)

Hướng dẫn giải

\(\ln\dfrac 1 e =\ln {e^{-1}}=-1\ln e=-1\)

Chọn B

Tính giá trị bằng số của biểu thức \(9^{\log_32}\)

A. 2

B. 4

C. \(\dfrac 1 3\)

D. \( \dfrac 1 2\)

Phương pháp giải

Áp dụng

\(\ln e=1\\ a^{\log_ab}=b\)

Hướng dẫn giải

\(9^{\log_32}=(3^2)^{\log_32}=(3^{\log_32})^2=2^2=4\)

Chọn B

Tính giá trị bằng số của biểu thức \(4^{\log_{\sqrt 2}3}\)

A. 81

B. 9

C. \(\dfrac 1 3\)

D. \(\dfrac 1 {27}\)

Phương pháp giải

Sử dụng công thức \(\displaystyle {a^{{{\log }_a}b}} = b\) và \(\displaystyle {\log _{{a^n}}}b = \frac{1}{n}{\log _a}b\) với \(\displaystyle 0 < a \ne 1,b > 0\)

Hướng dẫn giải

\({{4}^{{{\log }_{\sqrt{2}}}3}}={{\left( {{2}^{2}} \right)}^{2{{\log }_{2}}3}}={{2}^{4{{\log }_{2}}3}}={{\left( {{2}^{{{\log }_{2}}3}} \right)}^{4}}={{3}^{4}}=81\)

Chọn A.

Tìm số dương trong các số sau đây.

A. \( \log_{\frac 2 e}1,25\)

B. \(\log_{\frac 1 3}0,25\)

C. \( \ln \dfrac 1 {e^2}\)

D. \(\log_{\frac 1 e} 3\)

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất so sánh logarit:

+ Nếu \(\displaystyle a > 1\) thì \(\displaystyle {\log _a}m < {\log _a}n \Leftrightarrow m < n\)

+ Nếu  0 < a < 1 thì \(\displaystyle {\log _a}m < {\log _a}n \Leftrightarrow m > n\)

Hướng dẫn giải

\(\dfrac 2 e < 1\Rightarrow \log_{\frac 2 e}1,25<\log_{\frac 2 e }1=0\)

\(\dfrac 1 3 < 1\Rightarrow {{\log }_{\frac{1}{3}}}0,25>{{\log }_{\frac{1}{3}}}1=0 \)

\(\ln \dfrac{1}{{{e}^{2}}}=\ln {{e}^{-2}}=-2 \)

\(\dfrac 1 e < 1\Rightarrow{{\log }_{\frac{1}{e}}}3<{{\log }_{\frac{1}{e}}}1=0 \)

Chọn B

Tìm số âm trong các số sau đây

A. \( \log_2 3\)

B. \(\ln\sqrt e\)

C. \( \lg 2,5\)

D. \( \log_30,3\)

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất so sánh logarit:

+ Nếu \(\displaystyle a > 1\) thì \(\displaystyle {\log _a}m < {\log _a}n \Leftrightarrow m < n\)

+ Nếu  0 < a < 1 thì \(\displaystyle {\log _a}m < {\log _a}n \Leftrightarrow m > n\)

Hướng dẫn giải

\(\log_23>\log_21=0\\ \ln\sqrt e=\dfrac 1 2\\ \lg2,5>\lg1=0\\ \log_30,3=\log_3\dfrac 3 {10}=\log_33-\log_3{10}<0\)

Chọn D.

Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau:

A. \(\log_23> \log_3 2\)

B. \(\log_{\frac 1 2}4=\log_3\dfrac 1 9\)

C. \( \log_43<\log_34\)

D. \(\log_23<\log_34\)

Phương pháp giải

Với \(a > 1\)

\(b>c\Rightarrow \log_ab>\log_ac\\ b< c\Rightarrow \log_ab<\log_ac\)

Với \(0< a<1\)

\(b>c\Rightarrow \log_ab<\log_ac\\ b< c\Rightarrow \log_ab>\log_ac\)

Hướng dẫn giải

\(\begin{aligned} & \left\{ \begin{align} & {{\log }_{2}}3>{{\log }_{2}}2=1 \\ & {{\log }_{3}}2<{{\log }_{3}}3=1 \\ \end{align} \right.\Rightarrow {{\log }_{2}}3>{{\log }_{3}}2 \\ & \left\{ \begin{aligned} & {{\log }_{\frac{1}{2}}}4=-{{\log }_{2}}4=-2 \\ & {{\log }_{3}}\dfrac{1}{9}=-2 \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow {{\log }_{\dfrac{1}{2}}}4={{\log }_{3}}\dfrac{1}{9} \\ & {{\log }_{4}}3<1<{{\log }_{3}}4 \\ \end{aligned} \)

Chọn D

Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau :

A. \(4^{\log_2 3}<4^{\log_32}\)

B. \(\log_24=\log_4 2\)

C. \(\log_3\dfrac 3 5>\log_3\dfrac 2 3\)

D. \(\log_{\frac 3 4} 5>\log_{\frac 3 4}6\)

Phương pháp giải

Với \(a > 1\)

\(b>c\Rightarrow \log_ab>\log_ac\\ b< c\Rightarrow \log_ab<\log_ac\)

Với \(0< a<1\)

\(b>c\Rightarrow \log_ab<\log_ac\\ b< c\Rightarrow \log_ab>\log_ac\)

Hướng dẫn giải

\(\begin{align} & {{\log }_{2}}3>{{\log }_{3}}2\Leftrightarrow {{4}^{{{\log }_{2}}3}}>{{4}^{{{\log }_{3}}2}} \\ & {{\log }_{2}}4=2>{{\log }_{4}}2=\frac{1}{2} \\ & \frac{3}{4}<1\Rightarrow {{\log }_{\frac{3}{4}}}5>{{\log }_{\frac{3}{4}}}6 \\ \end{align} \)

Chọn D