Giải bài tập SBT Toán 12 Bài 3: Lôgarit

Tính

$a)\,\dfrac 1 2\log_7{36}-\log_7{14}-3\log_7{\sqrt[3]{21}}$

$b)\,\dfrac{\log_2{24}-\dfrac 1 2 \log_272}{\log_318-\dfrac1 3\log _372}$

$c)\,\dfrac{\log_24+\log_2\sqrt{10}}{\log_2{20}+3\log_22}$

Phương pháp giải

Sử dụng các tính chất của logarit.

Hướng dẫn giải

a)

$\,\,\,\,\,\dfrac 1 2\log_7{36}-\log_7{14}-3\log_7{\sqrt[3]{21}}\\ =\log_7\sqrt{36}-\log_714-3.\dfrac 1 3 \log_721\\ =\log_76-\log_714-\log_721\\ =\log_7{\dfrac{6}{14.21}}=\log_7{\dfrac 1 {49}}=-2$

b)

$\begin{align} & \dfrac{{{\log }_{2}}24-{{\log }_{2}}\sqrt{72}}{{{\log }_{3}}18-{{\log }_{3}}\sqrt[3]{72}} \\ & =\dfrac{{{\log }_{2}}\dfrac{24}{\sqrt{72}}}{{{\log }_{3}}\dfrac{18}{\sqrt[3]{72}}} \\ & =\dfrac{{{\log }_{2}}\dfrac{24}{3\sqrt{8}}}{{{\log }_{3}}\dfrac{18}{2\sqrt[3]{9}}} \\ & =\dfrac{{{\log }_{2}}\dfrac{8}{\sqrt{8}}}{{{\log }_{3}}\dfrac{9}{\sqrt[3]{9}}} \\ & =\dfrac{{{\log }_{2}}{{2}^{3-\frac{3}{2}}}}{{{\log }_{3}}{{3}^{2-\frac{2}{3}}}}=\dfrac{\dfrac{3}{2}}{\dfrac{4}{3}}=\dfrac{9}{8} \\ \end{align}$

c)

$\dfrac{\log_24+\log_2\sqrt{10}}{\log_2{20}+3\log_22}\\ \begin{align} & =\frac{{{\log }_{2}}\left( 4.\sqrt{10} \right)}{{{\log }_{2}}\left( {{20.2}^{3}} \right)} \\ & =\frac{{{\log }_{2}}\left( {{2}^{2}}{{.2}^{\frac{1}{2}}}{{.5}^{\frac{1}{2}}} \right)}{{{\log }_{2}}\left( {{2}^{2}}{{.5.2}^{3}} \right)} \\ & =\frac{{{\log }_{2}}{{2}^{\frac{5}{2}}}+{{\log }_{2}}{{5}^{\frac{1}{2}}}}{{{\log }_{2}}{{2}^{5}}+{{\log }_{2}}5} \\ & =\frac{\dfrac{1}{2}\left( {{\log }_{2}}{{2}^{5}}+{{\log }_{2}}5 \right)}{{{\log }_{2}}{{2}^{5}}+{{\log }_{2}}5}=\frac{1}{2} \\ \end{align}$

Tìm x, biết:

$a)\,\log_5x=2\log_5a-3\log_5b$

$b)\,\log_{\frac 1 2}x=\dfrac 2 3\log_{\frac 1 2 }a-\dfrac 1 5 \log_{\frac 1 2}b$

Phương pháp giải

Biến đổi phương trình đã cho về cùng cơ số và sử dụng lý thuyết $\displaystyle{\log _a}m = {\log _a}n \Leftrightarrow m = n$

Hướng dẫn giải

a)

$\begin{align} & {{\log }_{5}}x=2{{\log }_{5}}a-3{{\log }_{5}}b \\ & \Leftrightarrow {{\log }_{5}}x={{\log }_{5}}{{a}^{2}}-{{\log }_{5}}{{b}^{3}} \\ & \Leftrightarrow {{\log }_{5}}x={{\log }_{5}}\dfrac{{{a}^{2}}}{{{b}^{3}}} \\ & \Leftrightarrow x=\dfrac{{{a}^{2}}}{{{b}^{3}}} \\ \end{align}$

b)

$\begin{align} & {{\log }_{\frac{1}{2}}}x=\dfrac{2}{3}{{\log }_{\frac{1}{2}}}a-\dfrac{1}{5}{{\log }_{\frac{1}{2}}}b \\ & \Leftrightarrow {{\log }_{\frac{1}{2}}}x={{\log }_{\frac{1}{2}}}{{a}^{\frac{2}{3}}}-{{\log }_{\frac{1}{2}}}{{b}^{\frac{1}{5}}} \\ & \Leftrightarrow {{\log }_{\frac{1}{2}}}x={{\log }_{\frac{1}{2}}}\dfrac{{{a}^{\frac{2}{3}}}}{{{b}^{\frac{1}{5}}}} \\ & \Leftrightarrow x=\dfrac{{{a}^{\frac{2}{3}}}}{{{b}^{\frac{1}{5}}}}=\dfrac{\sqrt[3]{{{a}^{2}}}}{\sqrt[5]{b}} \\ \end{align}$

a) Cho $a = \log_315, b=\log_310$. Hãy tính $\log_{\sqrt 3}50$, theo a và b

b) Cho $a =\log_2 3, b=\log_3 5, c=\log_7 2$. Hãy tính $\log_{140}63$ theo $a, b, c.$

Phương pháp giải

Thu gọn các số $\displaystyle a,b$, từ đó biến đổi biểu thức cần tính giá trị về làm xuất hiện (a,b).

Hướng dẫn giải

a)

$\begin{align} & {{\log }_{\sqrt{3}}}50=2.{{\log }_{3}}50=2.\left( {{\log }_{3}}5+{{\log }_{3}}10 \right) \\ & =2.\left( {{\log }_{3}}\dfrac{15}{3}+{{\log }_{3}}10 \right) \\ & =2.\left( {{\log }_{3}}15+{{\log }_{3}}10-{{\log }_{3}}3 \right) \\ & =2\left( a+b-1 \right) \\ \end{align}$

b)

$\begin{align} & {{\log }_{140}}63=\dfrac{{{\log }_{2}}63}{{{\log }_{2}}140} \\ & =\dfrac{{{\log }_{2}}\left( 9.7 \right)}{{{\log }_{2}}\left( {{2}^{2}}.5.7 \right)}=\dfrac{2{{\log }_{2}}3+{{\log }_{2}}7}{{{\log }_{2}}{{2}^{2}}+{{\log }_{2}}5+{{\log }_{2}}7} \\ & =\dfrac{2{{\log }_{2}}3+\dfrac{1}{{{\log }_{7}}2}}{2+\dfrac{{{\log }_{3}}5}{{{\log }_{3}}2}+\dfrac{1}{{{\log }_{7}}2}} \\ & =\dfrac{2a+\dfrac{1}{c}}{2+ab+\dfrac{1}{c}}=\dfrac{\dfrac{2ac+1}{c}}{\dfrac{2c+abc+1}{c}}=\dfrac{2{{a}}c+1}{abc+2c+1} \\ \end{align}$

Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau :

A. $\log_3\dfrac 6 5 < \log_3\dfrac 5 6$

B. $\log_{\frac 1 3}17 > \log_{\frac 1 3}9$

C. $\log_{\frac 1 2}e<\log_{\frac 1 2}\pi$

D. $\log_2\dfrac{\sqrt 5} 2 > \log_2\dfrac{\sqrt 3} 2$

Phương pháp giải

Với $a > 1$

$b>c\Rightarrow \log_ab>\log_ac\\ b< c\Rightarrow \log_ab<\log_ac$

Với $0< a<1$

$b>c\Rightarrow \log_ab<\log_ac\\ b< c\Rightarrow \log_ab>\log_ac$

Hướng dẫn giải

Vì 3 > 1 và $\dfrac 6 5 > \dfrac 5 6$ nên $\log_3\dfrac 6 5 >\log_3\dfrac 5 6$ 

A - sai

Vì $0<\dfrac 1 3 <1$ nên $\log_{\frac 1 3}17 < \log_{\frac 1 3}9$ 

B - sai

Vì $0<\dfrac 1 2 <1$ và $e< \pi$ nên  $\log_{\frac 1 2}e>\log_{\frac 1 2}\pi$

C - sai

Vì 2 > 1 và $\dfrac{\sqrt 5} 2 > \dfrac{\sqrt 3} 2$ nên $\log_2\dfrac{\sqrt 5} 2 > \log_2\dfrac{\sqrt 3} 2$

D - đúng

Chọn D.

Tính giá trị bằng số của biểu thức $\log_{a^2}a\,\,\,(a>0, a\ne 1)$

A. 2

B. -2

C. $\dfrac 1 2$

D. $-\dfrac 1 2$

Phương pháp giải

Với $a > 1$

$b>c\Rightarrow \log_ab>\log_ac\\ b< c\Rightarrow \log_ab<\log_ac$

Với $0< a<1$

$b>c\Rightarrow \log_ab<\log_ac\\ b< c\Rightarrow \log_ab>\log_ac$

Hướng dẫn giải

$\log_{a^2}a=\dfrac 1 2 \log_aa=\dfrac 1 2$

Chọn C.

Tính giá trị bằng số của biểu thức $\ln\dfrac 1 e$

A. 1

B. -1

C. $\dfrac 1 e$

D. $-\dfrac 1 e$

Phương pháp giải

Áp dụng

$\ln e=1\\ a^{\log_ab}=b$

Hướng dẫn giải

$\ln\dfrac 1 e =\ln {e^{-1}}=-1\ln e=-1$

Chọn B

Tính giá trị bằng số của biểu thức $9^{\log_32}$

A. 2

B. 4

C. $\dfrac 1 3$

D. $\dfrac 1 2$

Phương pháp giải

Áp dụng

$\ln e=1\\ a^{\log_ab}=b$

Hướng dẫn giải

$9^{\log_32}=(3^2)^{\log_32}=(3^{\log_32})^2=2^2=4$

Chọn B

Tính giá trị bằng số của biểu thức $4^{\log_{\sqrt 2}3}$

A. 81

B. 9

C. $\dfrac 1 3$

D. $\dfrac 1 {27}$

Phương pháp giải

Sử dụng công thức $\displaystyle {a^{{{\log }_a}b}} = b$ và $\displaystyle {\log _{{a^n}}}b = \frac{1}{n}{\log _a}b$ với $\displaystyle 0 < a \ne 1,b > 0$

Hướng dẫn giải

${{4}^{{{\log }_{\sqrt{2}}}3}}={{\left( {{2}^{2}} \right)}^{2{{\log }_{2}}3}}={{2}^{4{{\log }_{2}}3}}={{\left( {{2}^{{{\log }_{2}}3}} \right)}^{4}}={{3}^{4}}=81$

Chọn A.

Tìm số dương trong các số sau đây.

A. $\log_{\frac 2 e}1,25$

B. $\log_{\frac 1 3}0,25$

C. $\ln \dfrac 1 {e^2}$

D. $\log_{\frac 1 e} 3$

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất so sánh logarit:

+ Nếu $\displaystyle a > 1$ thì $\displaystyle {\log _a}m < {\log _a}n \Leftrightarrow m < n$

+ Nếu  0 < a < 1 thì $\displaystyle {\log _a}m < {\log _a}n \Leftrightarrow m > n$

Hướng dẫn giải

$\dfrac 2 e < 1\Rightarrow \log_{\frac 2 e}1,25<\log_{\frac 2 e }1=0$

$\dfrac 1 3 < 1\Rightarrow {{\log }_{\frac{1}{3}}}0,25>{{\log }_{\frac{1}{3}}}1=0$

$\ln \dfrac{1}{{{e}^{2}}}=\ln {{e}^{-2}}=-2$

$\dfrac 1 e < 1\Rightarrow{{\log }_{\frac{1}{e}}}3<{{\log }_{\frac{1}{e}}}1=0$

Chọn B

Tìm số âm trong các số sau đây

A. $\log_2 3$

B. $\ln\sqrt e$

C. $\lg 2,5$

D. $\log_30,3$

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất so sánh logarit:

+ Nếu $\displaystyle a > 1$ thì $\displaystyle {\log _a}m < {\log _a}n \Leftrightarrow m < n$

+ Nếu  0 < a < 1 thì $\displaystyle {\log _a}m < {\log _a}n \Leftrightarrow m > n$

Hướng dẫn giải

$\log_23>\log_21=0\\ \ln\sqrt e=\dfrac 1 2\\ \lg2,5>\lg1=0\\ \log_30,3=\log_3\dfrac 3 {10}=\log_33-\log_3{10}<0$

Chọn D.

Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau:

A. $\log_23> \log_3 2$

B. $\log_{\frac 1 2}4=\log_3\dfrac 1 9$

C. $\log_43<\log_34$

D. $\log_23<\log_34$

Phương pháp giải

Với $a > 1$

$b>c\Rightarrow \log_ab>\log_ac\\ b< c\Rightarrow \log_ab<\log_ac$

Với $0< a<1$

$b>c\Rightarrow \log_ab<\log_ac\\ b< c\Rightarrow \log_ab>\log_ac$

Hướng dẫn giải

$\begin{aligned} & \left\{ \begin{align} & {{\log }_{2}}3>{{\log }_{2}}2=1 \\ & {{\log }_{3}}2<{{\log }_{3}}3=1 \\ \end{align} \right.\Rightarrow {{\log }_{2}}3>{{\log }_{3}}2 \\ & \left\{ \begin{aligned} & {{\log }_{\frac{1}{2}}}4=-{{\log }_{2}}4=-2 \\ & {{\log }_{3}}\dfrac{1}{9}=-2 \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow {{\log }_{\dfrac{1}{2}}}4={{\log }_{3}}\dfrac{1}{9} \\ & {{\log }_{4}}3<1<{{\log }_{3}}4 \\ \end{aligned}$

Chọn D

Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau :

A. $4^{\log_2 3}<4^{\log_32}$

B. $\log_24=\log_4 2$

C. $\log_3\dfrac 3 5>\log_3\dfrac 2 3$

D. $\log_{\frac 3 4} 5>\log_{\frac 3 4}6$

Phương pháp giải

Với $a > 1$

$b>c\Rightarrow \log_ab>\log_ac\\ b< c\Rightarrow \log_ab<\log_ac$

Với $0< a<1$

$b>c\Rightarrow \log_ab<\log_ac\\ b< c\Rightarrow \log_ab>\log_ac$

Hướng dẫn giải

$\begin{align} & {{\log }_{2}}3>{{\log }_{3}}2\Leftrightarrow {{4}^{{{\log }_{2}}3}}>{{4}^{{{\log }_{3}}2}} \\ & {{\log }_{2}}4=2>{{\log }_{4}}2=\frac{1}{2} \\ & \frac{3}{4}<1\Rightarrow {{\log }_{\frac{3}{4}}}5>{{\log }_{\frac{3}{4}}}6 \\ \end{align}$

Chọn D