Giải bài tập SBT Toán 12 Bài 2: Hàm số lũy thừa

Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y=(x^2-4x+3)^{-2}$

b) $y=(x^3-8)^{\frac{\pi} 3}$

c) $y=(x^3-3x^2+2x)^{\frac 1 4}$

d) $y=(x^2+x-6)^{-\frac 1 3}$

Phương pháp giải

Sử dụng lý thuyết về tập xác định của hàm số lũy thừa.

+ Lũy thừa có số mũ nguyên dương thì cơ số tùy ý.

+ Lũy thừa có số mũ nguyên âm hoặc bằng 0 thì cơ số khác 0.

+ Lũy thừa có số mũ không nguyên thì cơ số phải dương.

Hướng dẫn giải

a) ĐKXĐ:

$x^2-4x+3\ne 0\Leftrightarrow x\notin \{1;3\}$

TXĐ: $\mathbb{R}\backslash \left\{ 1;3 \right\}$

b) ĐKXĐ: $x^3-8>0\Rightarrow x^3>8\Leftrightarrow x > 2$

TXĐ: $(2;+\infty)$

c) ĐKXĐ: $x^3-2x^2+2x>0\Rightarrow x(x^2-2x+2)>0\Rightarrow x > 0$

(vì $x^2-2x+2=(x-1)^2+1>0\,\,\forall x\in \mathbb R$)

TXĐ: $(0;+\infty)$

d) ĐKXĐ: $x^2+x-6>0\Rightarrow x\in (-\infty;-3)\cup (2;+\infty)$

TXĐ: $(-\infty;-3)\cup (2;+\infty)$

Tính đạo hàm của các hàm số cho ở bài tập 2.6

a) $y=(x^2-4x+3)^{-2}$

b) $y=(x^3-8)^{\frac{\pi} 3}$

c) $y=(x^3-3x^2+2x)^{\frac 1 4}$

d) $y=(x^2+x-6)^{-\frac 1 3}$

Phương pháp giải

Áp dụng: $(u^\alpha)'=\alpha.u'.u^{\alpha -1}$

Hướng dẫn giải

a)

$y'=-2(2x-4)(x^2-4x+3)^{-2-1}=-2(2x-4)(x^2-4x+3)^{-3}$

b) 

$y'=\dfrac{\pi} 3 .3x^2.(x^3-8)^{\frac\pi 3-1}=\pi x^2(x^3-8)^{\frac{\pi-3}3}$

c)

$y'=\dfrac 1 4 (3x^2-6x+2).(x^3-3x^2+2x)^{\frac 1 4 -1}\\ =\dfrac 1 4(3x^2-6x+2).(x^3-3x^2+2x)^{-\frac 3 4}$

d) 

$y'=-\dfrac 1 3(2x+1)(x^2+x-6)^{-\frac 1 3 -1}\\ =-\dfrac 1 3 (2x+1)(x^2+x-6)^{-\frac 4 3}$

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau :

a) $y=x^{-3}$

b) $y=x^{-\frac 1 2}$

c) $y=x^{\frac {\pi} 4}$

Phương pháp giải

Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: 

- Tìm tập xác định

- Tính đạo hàm

- Tìm giới hạn xác định các tiệm cận (nếu có)

- Lập bảng biến thiên

- Vẽ đồ thị

Hướng dẫn giải

a) 

$y=x^{-3}=\dfrac1 {x^3}$

TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$

Hàm số đã cho là hàm lẻ vì $y(x)=-y(-x)$

$y'=-3x^{-4}=-\dfrac 3 {x^4}<0\,\,\forall x\in D$

$\lim\limits_{x\to 0^-}y=-\infty; \lim\limits_{x\to 0^+}y=+\infty\\ \lim\limits_{x\to -\infty}y=\lim\limits_{x\to +\infty}y=0$

Đồ thị có tiệm cận đứng là trục tung và tiệm cận ngang là trục hoành.

Bảng biến thiên

Đồ thị nhận gốc O là tâm đối xứng

b)

$y=x^{-\frac 1 2}=\dfrac1 {\sqrt x}$

TXĐ: $D=(0;+\infty)$

$y'=-\dfrac 1 2x^{-\frac 3 2}=-\dfrac 1 {2\sqrt{x^3}}<0\,\,\forall x\in D$

$\lim\limits_{x\to 0}y=+\infty\\ \lim\limits_{x\to +\infty}y=0$

Đồ thị có tiệm cận đứng là trục tung và tiệm cận ngang là trục hoành.

Bảng biến thiên

Đồ thị

​

c) 

$y=x^{\frac \pi 4}$

TXĐ: $D=(0;+\infty)$

$y'=\dfrac {\pi} 4 x^{\frac \pi 4 -1} > 0\,\,\forall x\in D$

$\lim\limits_{x\to 0}y=0\\ \lim\limits_{x\to+\infty}y=+\infty$

Đồ thị không có tiệm cận

Bảng biến thiên

Đồ thị

Vẽ đồ thị của các hàm số $y=x^2$ và $y=x^{\frac 1 2}$ trên cùng một hệ trục tọa độ. Hãy so sánh giá trị của các hàm số đó khi $x=0,5;1;\dfrac 3 2; 2; 3; 4$

Phương pháp giải

- Vẽ đồ thị các hàm số đã cho dựa vào kiến thức đã học về hàm số bậc hai và hàm số lũy thừa.

- So sánh giá trị của hai hàm số tại các điểm $x = {x_i}$ bằng cách dựng đường thẳng $x = {x_i}$ và nhận xét vị trí các điểm giao trên hình vẽ.

Hướng dẫn giải

+) Vẽ đồ thị hàm số $y=x^{2}$

TXĐ: $D=\mathbb R$

Hàm số là hàm chẵn vì $y(x)=y(-x)$

$y'=2x\\ y'=0\Rightarrow x=0$

$\lim\limits_{x\to -\infty}y= \lim\limits_{x\to +\infty}y=+\infty$

Đồ thị không có tiệm cận, nhận trục tung là trục đối xứng.

Bảng biến thiên

+) Vẽ đồ thị hàm số $y=x^{\frac 12}$

TXĐ: $D=(0;+\infty)$

$y'=\dfrac 1 2 x^{-\frac 1 2}=\dfrac {1}{2\sqrt x}$

$\lim\limits_{x\to 0}y=0 \\ \lim\limits_{x\to +\infty}y=+\infty$

Đồ thị không có tiệm cận

Bảng biến thiên

Đồ thị hai hàm số:

Đặt $f(x)=x^2; g(x)=x^{\frac 1 2}$

$\bullet$Tại $x=0,5$:

$f(0,5)=0,5^2; g(0,5)=0,5^{\frac 1 2}$

Vì $0<0,5<1$ và $2>\dfrac 1 2$ nên $f(0,5)< g(0,5)$

$\bullet$Tại $x=1$:

$f(1)=1^2=1; g(1)=1^{\frac 1 2}=1$

Nên $f(1)= g(1)$

$\bullet$Tại $x=\dfrac 3 2$:

$f\left(\dfrac 3 2\right)=\left(\dfrac 3 2\right)^2; g\left(\dfrac 3 2\right)=\left(\dfrac 3 2\right)^{\frac 1 2}$

Vì $\dfrac 3 2>1$ và $2>\dfrac 1 2$ nên $f\left(\dfrac 3 2\right)> g\left(\dfrac 3 2\right)$

Từ đồ thị hàm số nhận thấy từ giá trị $x= 1$ trở đi, hàm số $y=f(x)$ luôn lớn hơn $y=g(x$). Hay

$f(2)>g(2)\\ f(3)>g(3)\\ f(4)>g(4)$

Tìm x, sao cho $x^{-4}=16$.

A. $x=2$

B. $x=-2$

C. $x=\dfrac 1 2$

D. $x=4$

Phương pháp giải

Biến đổi phương trình về dạng ${x^n} = {a^n} \Leftrightarrow x = \pm a$ với n chẵn.

Hướng dẫn giải

Ta có:

$x^{-4}=16\\ \Rightarrow \dfrac 1 {x^4}=\dfrac 1{16}\\ \Leftrightarrow x=\dfrac 1 2$

Chọn C.

Tìm số lớn nhất trong các số: $0,3^{\pi};0,3^{0,5}; 0,3^{\frac 2 3}; 0,3 ^{3,1415}$

A. $0,3^{\pi}$

B. $0,3^{0,5}$

C. $0,3^{\frac 2 3}$

D. $0,3 ^{3,1415}$

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất so sánh lũy thừa: Nếu 0 < a < 1 thì ${a^m} > {a^n} \Leftrightarrow m < n$

Hướng dẫn giải

Vì $0<0,3<1$ và $0,5<\dfrac 2 3 < 3,1415<\pi$

Nên giá trị lớn nhất trong các số là $0,3^{0,5}$

Chọn B

Tìm số nhỏ nhất trong các số: $\sqrt{2^\pi}$; $1,9^\pi$; $\left(\dfrac 1 {\sqrt 2}\right)^\pi$; $\pi ^\pi$

A. $\sqrt{2^\pi}$

B. $1,9^\pi$

C. $\left(\dfrac 1 {\sqrt 2}\right)^\pi$

D. $\pi ^\pi$

Phương pháp giải

Sử dụng so sánh lũy thừa: Nếu n > 0 thì ${a^n} < {b^n} \Leftrightarrow a < b$

Hướng dẫn giải

Ta có: $\dfrac 1{\sqrt 2}<\sqrt 2<1,9<\pi$

Số nhỏ nhất trong các số là $\sqrt{2^\pi}$

Chọn A.

Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau :

A. $5^{-2}>5^{-0,7}$

B. $5^{\frac 1 3}<\left(\dfrac 1 5 \right)^{2,1}$

C. $2^\pi > e^\pi$

D. $\pi ^{\frac 1 2}>1$

Phương pháp giải

Nhận xét tính đúng sai của từng đáp án, sử dụng tính chất so sánh lũy thừa:

+) Nếu a > 1 thì ${a^m} > {a^n} \Leftrightarrow m > n$

+) Nếu $n > 0,n \notin \mathbb{Z}$ thì ${a^n} > {b^n} \Leftrightarrow a > b > 0$

Hướng dẫn giải

$\left\{\begin{align} &5> 1\\& -2<-0,7\\ \end{align}\right.\Rightarrow 5^{-2}<5^{-0,7}$

A - sai

$\left(\dfrac 1 5\right)^{2,1}=5^{-2,1}\\ \left\{\begin{align} &5> 1\\&\dfrac 1 3 > -2,1\\ \end{align}\right.\Rightarrow 5^{\frac 1 3}>5^{-2,1}$

B - sai

$e\approx 2,71>2\Rightarrow 2^\pi < e^\pi$

C - sai

 $\pi^{\frac 1 2}>1^{\frac 1 2}=1$

D - đúng

Chọn D.

Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau :

A. $0,5 ^{-\frac 2 3}> 0,6^{-\frac 2 3}$

B. $36^{-\frac 4 5}< \pi^{-\frac 4 5}$

C. $e^{\frac 1 2}<2$

D. $(\sqrt 2 ) ^{-\frac 3 4}<1$

Phương pháp giải

Nhận xét tính đúng sai của từng đáp án, sử dụng tính chất so sánh lũy thừa:

+) Nếu a > 1 thì ${a^m} > {a^n} \Leftrightarrow m > n$

+) Nếu $n > 0,n \notin \mathbb{Z}$ thì ${a^n} > {b^n} \Leftrightarrow a > b > 0$

Hướng dẫn giải

$0<0,5<0,6<1$ nên $0,5 ^{-\frac 2 3}>0,6^{-\frac 2 3}$

A - đúng

$36> \pi>1\Rightarrow 36^{-\frac 4 5}> \pi^{-\frac 4 5}$

B - sai

$e< 4\Rightarrow e^{\frac 1 2 }< 4^{\frac 1 2}=2$

C - đúng

$\sqrt 2 > 1 \Rightarrow (\sqrt 2)^{-\frac 3 4}<1$

D - đúng

Chọn B