Giải bài tập SBT Toán 12 Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

eLib xin chia sẻ với các em học sinh lớp 12 nội dung giải bài tập SBT bài Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số bên dưới đây. Với nội dung đầy đủ 13 bài tập trang 21, 22 đi kèm đó là phương pháp và hướng dẫn giải chi tiết, hi vọng rằng đây sẽ là tài liệu giúp các em học tập tốt hơn. Sau đây mời các em cùng tham khảo.

Giải bài tập SBT Toán 12 Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

1. Giải bài 1.34 trang 21 SBT Giải tích 12

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) \(f\left( x \right)=\sqrt{25-{{x}^{2}}}\) trên đoạn \([-4;4]\);

b) \(f\left( x \right)=|{{x}^{2}}-3x+2|\) trên đoạn \([-10;10]\);

c) \(f\left( x \right)=\dfrac{1}{\sin x}\) trên đoạn \(\left[ \dfrac{\pi }{3};\dfrac{5\pi }{6} \right]\);

d) \(f\left( x \right)=2\sin x+\sin 2x\) trên đoạn \( \left[ 0;\dfrac{3\pi }{2} \right]\).

Phương pháp giải

Cách tìm GTLN, GTNN trên một đoạn.
Bước 1: Tìm \({{x}_{i}}\in \left[ a;b \right]\,\,\,\left( i=1;2;...;n \right)\) tại đó có đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
Bước 2: Tính \(f\left( a \right),f\left( b \right),f\left( {{x}_{i}} \right),\,\,\left( i=1;2;...;n \right)\) 
Bước 3: Tìm \(\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{max}}\,f\left( x \right)=max\left\{ f\left( a \right),f\left( {{x}_{1}} \right),f\left( {{x}_{2}} \right),...,f\left( {{x}_{n}} \right),f\left( b \right) \right\}\)
                      \(\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{min }}\,f\left( x \right)=\min \left\{ f\left( a \right),f\left( {{x}_{1}} \right),f\left( {{x}_{2}} \right),...,f\left( {{x}_{n}} \right),f\left( b \right) \right\}\)

Hướng dẫn giải

a) \(f\left( x \right)=\sqrt{25-{{x}^{2}}}\) trên đoạn \([-4;4]\)
\(f'\left( x \right)=\dfrac{-x}{\sqrt{25-{{x}^{2}}}}\) 
\(f′(x) > 0\) trên khoảng \((-4; 0)\) và \(f’(x) < 0\) trên khoảng \((0; 4)\).

Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\) và \(f_{CĐ} = 5\)

Mặt khác, ta có \(f(-4) = f(4) = 3\)
Vậy \(\underset{\left[ -4;4 \right]}{\mathop{max}}\,f\left( x \right)=5;\,\,\,\underset{\left[ -4;4 \right]}{\mathop{min }}\,f\left( x \right)=3\,\,\,\)
b) \(f\left( x \right)=|{{x}^{2}}-3x+2|\) trên đoạn \([-10;10]\)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(g\left( x \right)={{x}^{2}}-3x+2\)
Ta có: \(g'\left( x \right)=2x-3;\,\,g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2} \)


Vì \(f\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & g\left( x \right)\,\,\,khi\,\,{{x}^{2}}-3x+2\ge 0, \\ & -g\left( x \right)\,\,khi\,{{x}^{2}}-3x+2<0 \\ \end{align} \right.\)
nên ta có đồ thị của \(f(x)\) như sau:


Từ đồ thị suy ra
\(\underset{\left[ -10;10 \right]}{\mathop{max}}\,f\left( x \right)=f\left( -10 \right)=132;\,\,\,\underset{\left[ -10;10 \right]}{\mathop{min }}\,f\left( x \right)=f\left( 1 \right)=f\left( 2 \right)=0\,\,\,\)
c) \(f\left( x \right)=\dfrac{1}{\sin x}\)  trên đoạn \(\left[ \dfrac{\pi }{3};\dfrac{5\pi }{6} \right]\) 
\(f'\left( x \right)=-\dfrac{\cos x}{{{\sin }^{2}}x}; \)
\(f'\left( x \right)<0\) trên \(\left[ \dfrac{\pi }{3};\dfrac{\pi }{2} \right)\)  và \(f'\left( x \right)>0\) trên \(\left( \dfrac{\pi }{2};\dfrac{5\pi }{6} \right]\) nên hàm số đạt cực tiểu tại \(x=\dfrac{\pi }{2}\) và \({{f}_{CT}}=f\left( \dfrac{\pi }{2} \right)=1 \)
Mặt khác, \( f\left( \dfrac{\pi }{3} \right)=\dfrac{2}{\sqrt{3}};\,\,f\left( \dfrac{5\pi }{6} \right)=2 \)
Vậy

 \(\underset{\left[ \dfrac{\pi }{3};\dfrac{5\pi }{6} \right]}{\mathop{max}}\,f\left( x \right)=2;\,\,\,\underset{\left[ \dfrac{\pi }{3};\dfrac{5\pi }{6} \right]}{\mathop{min }}\,f\left( x \right)=1\,\)
d) \(f\left( x \right)=2\sin x+\sin 2x\) trên đoạn \( \left[ 0;\dfrac{3\pi }{2} \right]\) . 
\(\begin{aligned} & f'\left( x \right)=2\cos x+2\cos 2x=4\cos \dfrac{x}{2}\cos \dfrac{3x}{2}; \\ & f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & \cos \dfrac{x}{2}=0 \\ & cos\dfrac{3x}{2}=0\, \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \begin{aligned} & x=\pi \\ & x=\dfrac{\pi }{3} \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \)
Ta có \(f\left( 0 \right)=0,\,\,f\left( \dfrac{\pi }{3} \right)=\dfrac{3\sqrt{3}}{2},\,\,f\left( \pi \right)=0,\,\,f\left( \dfrac{3\pi }{2} \right)=-2 \)
Từ đó ta có:

 \(\underset{\left[ 0;\dfrac{3\pi }{2} \right]}{\mathop{max}}\,f\left( x \right)=\dfrac{3\sqrt{3}}{2};\,\,\,\underset{\left[ 0;\dfrac{3\pi }{2} \right]}{\mathop{min }}\,f\left( x \right)=-2\,\)

2. Giải bài 1.35 trang 21 SBT Giải tích 12

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) \(y=\dfrac{x}{4+x^2}\) trên khoảng \((-\infty;+\infty)\);

b) \(y=\dfrac{1}{\cos x}\) trên khoảng \(\left( \dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2} \right)\);

Phương pháp giải

Cách tìm GTLN, GTNN trên một đoạn.
Bước 1: Tìm \({{x}_{i}}\in \left[ a;b \right]\,\,\,\left( i=1;2;...;n \right)\) tại đó có đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
Bước 2: Tính \(f\left( a \right),f\left( b \right),f\left( {{x}_{i}} \right),\,\,\left( i=1;2;...;n \right)\) 
Bước 3: Tìm \(\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{max}}\,f\left( x \right)=max\left\{ f\left( a \right),f\left( {{x}_{1}} \right),f\left( {{x}_{2}} \right),...,f\left( {{x}_{n}} \right),f\left( b \right) \right\}\)
                      \(\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{min }}\,f\left( x \right)=\min \left\{ f\left( a \right),f\left( {{x}_{1}} \right),f\left( {{x}_{2}} \right),...,f\left( {{x}_{n}} \right),f\left( b \right) \right\}\)

Hướng dẫn giải

a) \(y=\dfrac{x}{4+{{x}^{2}}}\) trên \(\left( -\infty ;+\infty \right) \)
\(y'=\dfrac{4-{{x}^{2}}}{{{\left( 4+{{x}^{2}} \right)}^{2}}};y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-2 \\ & y=2 \\ \end{align} \right.\) 
Bảng biến thiên:


Từ đó ta có \(\underset{\mathbb{R}}{\mathop{max }}\,y=\dfrac{1}{4};\,\,\underset{\mathbb{R}}{\mathop{min }}\,y=-\dfrac{1}{4} .\)
b) \(y=\dfrac{1}{\cos x}\)  trên khoảng \(\left( \dfrac{\pi }{2};\dfrac{3\pi }{2} \right) \).
\(y'=\dfrac{\operatorname{sinx}}{{{\cos }^{2}}x\,};\,\,y'=0\Leftrightarrow x=\pi \)
Bảng biến thiên:


Hàm số không có giá trị nhỏ nhất. Giá trị lớn nhất của hàm số là

 \(\underset{\left( \dfrac{\pi }{2};\dfrac{3\pi }{2} \right)}{\mathop{max}}\,y=y\left( \pi \right)=-1\). .

3. Giải bài 1.36 trang 21 SBT Giải tích 12

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x)=x+\dfrac{9}{x}\) trên đoạn [2;4].

Phương pháp giải

Cách tìm GTLN, GTNN trên một đoạn.
Bước 1: Tìm \({{x}_{i}}\in \left[ a;b \right]\,\,\,\left( i=1;2;...;n \right)\) tại đó có đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
Bước 2: Tính \(f\left( a \right),f\left( b \right),f\left( {{x}_{i}} \right),\,\,\left( i=1;2;...;n \right)\) 
Bước 3: Tìm \(\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{max}}\,f\left( x \right)=max\left\{ f\left( a \right),f\left( {{x}_{1}} \right),f\left( {{x}_{2}} \right),...,f\left( {{x}_{n}} \right),f\left( b \right) \right\}\)
                      \(\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{min }}\,f\left( x \right)=\min \left\{ f\left( a \right),f\left( {{x}_{1}} \right),f\left( {{x}_{2}} \right),...,f\left( {{x}_{n}} \right),f\left( b \right) \right\}\)

Hướng dẫn giải

TXĐ: \(D=\mathbb{R}\backslash \text{ }\!\!\{\!\!\text{ }0\} \).
\(\begin{align} & f'\left( x \right)=1-\dfrac{9}{{{x}^{2}}}=\dfrac{{{x}^{2}}-9}{{{x}^{2}}} \\ & f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=\pm 3 \\ \end{align} \)
Hàm số nghịch biến trên các khoảng \((-3;0), (0;3)\) và đồng biến trên các khoảng \(\left( -\infty ;-3 \right),\,\left( 3;+\infty \right)\).
Bảng biến thiên:


Ta có \(\left[ 2;4 \right]\,\subset \left( 0;+\infty \right)\,;\,\,f\left( 2 \right)=6,5;\,\,f\left( 3 \right)=6;\,\,f\left( 4 \right)=6,25 \)
Suy ra

\(\underset{\left[ 2;4 \right]}{\mathop{max}}\,f\left( x \right)=6,5\,;\,\,\underset{\left[ 2;4 \right]}{\mathop{min }}\,f\left( x \right)=f\left( 3 \right)=6\).

4. Giải bài 1.37 trang 21 SBT Giải tích 12

Tìm các giá trị của tham số m để phương trình \(x^3-3x^2-m=0\) có ba nghiệm phân biệt.

Phương pháp giải

- Đặt \(f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}},\,y=m\).

- Biến đổi phương trình về dạng \(m = {x^3} - 3{x^2}\)

- Xét hàm \(f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2}\), lập bảng biến thiên và suy ra điều kiện m cần tìm.

Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đường thẳng với đồ thị hàm số.

Hướng dẫn giải

Đặt \(f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}},\,\,\,\,\,\,\left( {{C}_{1}} \right) \)
\(y=m \,\,\,\,\, (C_2)\)
Phương trình \({{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-m=0\) có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \((C_1)\) và \((C_2)\) có ba giao điểm.
Ta có \(f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6x=3x\left( x-2 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=2 \\ \end{align} \right. \)
Bảng biến thiên


Suy ra \((C_1), (C_2)\) cắt nhau tại 3 điểm khi \(-4 < m < 0.\)
Kết luận: Phương trình \({{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-m=0\)  có ba nghiệm phân biệt với những giá trị m thỏa mãn điều kiện \(-4 < m < 0.\)

5. Giải bài 1.38 trang 21 SBT Giải tích 12

Cho số dương m. Hãy phân tích m thành tổng của hai số dương sao cho tích của chúng là lớn nhất.

Phương pháp giải

- Gọi số thứ nhất là x suy ra số thứ 2 theo m và x.

- Lập hàm số tình tích hai số.

- Tìm GTLN của hàm số trên và kết luận.

Hướng dẫn giải

Cho \(m > 0\). Đặt x là số thứ nhất, \(0 < x < m\), số thứ hai là \(m-x\)
Xét tích \(P\left( x \right)=x\left( m-x \right)\) 
Ta có \(P'\left( x \right)=-2x+m=0\Leftrightarrow x=\dfrac{m}{2} \)
Bảng biến thiên


Từ đó ta có giá trị lớn nhất của tích hai số là
\(\underset{(o,m)}{\mathop{max}}\,P\left( x \right)=P\left( \dfrac{m}{2} \right)=\dfrac{{{m}^{2}}}{4}.\)

6. Giải bài 1.39 trang 21 SBT Giải tích 12

Một chất điểm chuyển động theo quy luật \(s=6t^2-t^3\). Tính thời điểm t (giây) tại đó vận tốc \(v (m/s)\) của chuyển động đạt giá trị lớn nhất.

Phương pháp giải

- Tìm hàm số vận tốc \(v\left( t \right) = s'\left( t \right)\)

- Tìm GTLN của hàm số \(v\left( t \right)\) đạt được tại t và kết luận.

Hướng dẫn giải

\(s=6{{t}^{2}}-{{t}^{3}}\,,\,t>0 \)
Vận tốc chuyển động là \(v=s'\) , tức là \(v=12t-3{{t}^{2}}\) 
Ta có \(v'=12-6t=0\Leftrightarrow t=2 \)
Hàm số \(v\) đồng biến trên khoảng \((0;2)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( 2;+\infty \right) \)
Vận tốc đạt giá trị lớn nhất khi \(t=2\). Khi đó \(\underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\max \,}}\,V={{V}_{\text{CĐ}}}=v\left( 2 \right)=12\,\,\left( m/s \right) \).

7. Giải bài 1.40 trang 21 SBT Giải tích 12

Hãy tìm tam giác vuông có diện tích lớn nhất nếu tổng của một cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng hằng số a (a > 0).

Phương pháp giải

- Lập hàm số tính diện tích tam giác theo biến là một cạnh góc vuông.

- Xét hàm tìm GTLN và kết luận.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC vuông tại A.

Kí hiệu cạnh góc vuông AB là \(x,\,\,0 < x< \dfrac{a}{2} \)
Khi đó, cạnh huyển \(BC=a-x\), cạnh góc vuông kia là
\(\begin{align} & AC=\sqrt{B{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}}=\sqrt{{{\left( a-x \right)}^{2}}-{{x}^{2}}} \\ & hay\,\,AC=\sqrt{{{a}^{2}}-2ax} \\ \end{align} \)
Diện tích tam giác ABC là
\(\begin{align} & S\left( x \right)=\dfrac{1}{2}x\sqrt{{{a}^{2}}-2ax} \\ & S'\left( x \right)=\dfrac{1}{2}\sqrt{{{a}^{2}}-2ax}-\dfrac{1}{2}\dfrac{ax}{\sqrt{{{a}^{2}}-2ax}}=\dfrac{a\left( a-3x \right)}{2\sqrt{{{a}^{2}}-2ax}} \\ & S'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=\dfrac{a}{3} \\ \end{align} \)
Bảng biến thiên

Tam giác có diện tích lớn nhất khi \(AB=\dfrac{a}{3},\,\,BC=\dfrac{2a}{3}\) . 

8. Giải bài 1.41 trang 21 SBT Giải tích 12

Giá trị lớn nhất của hàm số \(y=-x^2+4x-5\) trên đoạn [0;3] bằng:

A. - 1                               

B. 1                             

C. 2                              

D. 0

Phương pháp giải

Cách tìm GTLN, GTNN trên một đoạn.
Bước 1: Tìm \({{x}_{i}}\in \left[ a;b \right]\,\,\,\left( i=1;2;...;n \right)\) tại đó có đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
Bước 2: Tính \(f\left( a \right),f\left( b \right),f\left( {{x}_{i}} \right),\,\,\left( i=1;2;...;n \right)\) 
Bước 3: Tìm \(\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{max}}\,f\left( x \right)=max\left\{ f\left( a \right),f\left( {{x}_{1}} \right),f\left( {{x}_{2}} \right),...,f\left( {{x}_{n}} \right),f\left( b \right) \right\}\)
                      \(\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{min }}\,f\left( x \right)=\min \left\{ f\left( a \right),f\left( {{x}_{1}} \right),f\left( {{x}_{2}} \right),...,f\left( {{x}_{n}} \right),f\left( b \right) \right\}\)

Hướng dẫn giải

Ta có \(y\left( 0 \right)=-5,\,\,y\left( 3 \right)=-2\), tọa độ đỉnh: \(x=-\dfrac{b}{2a}=2 \)
\(\Rightarrow y\left( 2 \right)=-4+8-5=-1;\,\,\underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{max}}\,=max\left( -5;-2;-1 \right)=-1\) 
Cách khác: Vì \(a=-1\) nên parabol \(y=-{{x}^{2}}+4x-5\) đạt cực đại tại đỉnh \((2;-1)\).

Vì vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [0;3] là \(y(2)=-1\).

Chọn A

9. Giải bài 1.42 trang 22 SBT Giải tích 12

Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x)=x^3+3x^2-9x-7\) trên đoạn [-4;3] bằng: 

A. - 5                         

B. 0                            

C. 7                           

D. - 12

Phương pháp giải

Cách tìm GTLN, GTNN trên một đoạn.
Bước 1: Tìm \({{x}_{i}}\in \left[ a;b \right]\,\,\,\left( i=1;2;...;n \right)\) tại đó có đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
Bước 2: Tính \(f\left( a \right),f\left( b \right),f\left( {{x}_{i}} \right),\,\,\left( i=1;2;...;n \right)\) 
Bước 3: Tìm \(\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{max}}\,f\left( x \right)=max\left\{ f\left( a \right),f\left( {{x}_{1}} \right),f\left( {{x}_{2}} \right),...,f\left( {{x}_{n}} \right),f\left( b \right) \right\}\)
                      \(\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{min }}\,f\left( x \right)=\min \left\{ f\left( a \right),f\left( {{x}_{1}} \right),f\left( {{x}_{2}} \right),...,f\left( {{x}_{n}} \right),f\left( b \right) \right\}\)

Hướng dẫn giải

Ta có  \(f\left( x \right)={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-9x-7\Rightarrow f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+6x-9=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=1 \\ & x=-3 \\ \end{align} \right.\)

\(f\left( -4 \right)=13,\,\,f\left( -3 \right)=20,\,\,f\left( 1 \right)=-12,\,\,f\left( 3 \right)=20\)

Vậy \(\underset{\left[ -4;3 \right]}{\mathop{min }}\,f\left( x \right)=-12\)

Chọn D

10. Giải bài 1.43 trang 22 SBT Giải tích 12

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x)=\dfrac{2x-1}{x-3}\) trên đoạnm [0;2] bằng:

A. \(\dfrac{1}{3}\) và 3                          

B. \(\dfrac{3}{2}\) và -1                        

C. 2 và -3                      

D. \(\dfrac{1}{2}\) và 5

Phương pháp giải

Cách tìm GTLN, GTNN trên một đoạn.
Bước 1: Tìm \({{x}_{i}}\in \left[ a;b \right]\,\,\,\left( i=1;2;...;n \right)\) tại đó có đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
Bước 2: Tính \(f\left( a \right),f\left( b \right),f\left( {{x}_{i}} \right),\,\,\left( i=1;2;...;n \right)\) 
Bước 3: Tìm \(\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{max}}\,f\left( x \right)=max\left\{ f\left( a \right),f\left( {{x}_{1}} \right),f\left( {{x}_{2}} \right),...,f\left( {{x}_{n}} \right),f\left( b \right) \right\}\)
                      \(\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{min }}\,f\left( x \right)=\min \left\{ f\left( a \right),f\left( {{x}_{1}} \right),f\left( {{x}_{2}} \right),...,f\left( {{x}_{n}} \right),f\left( b \right) \right\}\)

Hướng dẫn giải

TXĐ: \(D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\};\,\,f'\left( x \right)=-\dfrac{5}{{{\left( x-3 \right)}^{2}}}<0\,,\,\,\forall x\in D \)
Do đó \(f(x)\) nghịch biến trên \(\left( -\infty ;3 \right),\,\left( 3;+\infty \right) \).
Ta thấy \(\left[ 0;2 \right]\subset \left( -\infty ;3 \right)\) .

Vì vậy
\(\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{max}}\,f\left( x \right)=f\left( 0 \right)=\frac{1}{3},\,\,\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{min }}\,f\left( x \right)=f\left( 2 \right)=-3\) .

Chọn A

11. Giải bài 1.44 trang 22 SBT Giải tích 12

Tìm hai số có hiệu là 13 sao cho tích của chúng là bé nhất.

A. 13 và 0                    

B. \(\dfrac{13}{2}\) và \(-\dfrac{13}{2}\)                     

C. 15 và 2                    

D. 30 và 15

Phương pháp giải

- Lập hàm số tính tích của hai số.

- Tìm GTNN của hàm số trên và suy ra kết luận.

Hướng dẫn giải

Gọi số thứ nhất là x và số thứ hai là x - 13.

Tích hai số là \(P\left( x \right) = x\left( {x - 13} \right) = {x^2} - 13x\)

\(P'\left( x \right) = 2x - 13 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{{13}}{2}\)

Bảng biến thiên:

Do đó

\(\mathop {\min }\limits_\mathbb{R} P\left( x \right) = - \dfrac{{169}}{4}\) khi \(x = \dfrac{{13}}{2}\)

Vậy hai số đó là \(\dfrac{{13}}{2}\) và \( - \dfrac{{13}}{2}\)

12. Giải bài 1.45 trang 22 SBT Giải tích 12

Giá trị lớn nhất của hàm số \(y=\dfrac{1}{x^2+x+1}\) trên khoảng \((-\infty;+\infty)\) là:

A. 1                             

B. \(\dfrac{4}{3}\)                            

C. \(\dfrac{5}{3}\)                         

D. 0

Phương pháp giải

- Tính y', tìm nghiệm của y'=0.

- Lập bảng biến thiên của hàm số và kết luận.

Hướng dẫn giải

Ta có: \(y' = \dfrac{{ - 2x - 1}}{{{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = - \dfrac{1}{2}\)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy, hàm số đạt GTLN \(\mathop {\max }\limits_{\left( { - \infty ; + \infty } \right)} y = \dfrac{4}{3}\) khi \(x = - \dfrac{1}{2}\)

Chọn B.

13. Giải bài 1.46 trang 22 SBT Giải tích 12

Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=\dfrac{1}{\sin x+\cos x}\) trên khoảng \(\left( 0;\dfrac{\pi}{2} \right)\) là:

A. 1                             

B. \(2\sqrt{2}\)                          

C. \(-\sqrt{2}\)                       

D. \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) 

Phương pháp giải

Cách tìm GTNN, GTLN trên một khoảng

y=f(x) liên tục trên khoảng (a;b) ta xét hai trường hợp:

 

(trong đó f'(x0) bằng 0 hoặc f'(x0) không xác định tại x0.

Hướng dẫn giải

\(y=\dfrac{1}{\sin x+\cos x}=\dfrac{1}{\sqrt{2}\sin \left( x+\dfrac{\pi }{4} \right)} \)
Trên khoảng \(\left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right),\,\,\sin \left( x+\dfrac{\pi }{4} \right)\le 1 \)
Dấu ‘’=’’ xảy ra khi và chỉ khi \(x=\dfrac{\pi }{4} \)
Suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số là

 \(\underset{\left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)}{\mathop{min }}\,y=y\left( \dfrac{\pi }{4} \right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \)

Chọn D.

Các em hãy luyện tập bài trắc nghiệm Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Toán 12 sau để nắm rõ thêm kiến thức bài học.

Trắc Nghiệm

Ngày:20/10/2020 Chia sẻ bởi:Denni

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM