Giải bài tập SBT Toán 10 Bài 3: Các phép toán tập hợp

Liệt kê các phần tử của tập hợp A các ước số tự nhiên của 18 và của tập hợp B các ước số tự nhiên của 30. Xác định các tập hợp ${\rm{A}} \cap B,A \cup B,A\backslash B,B\backslash A$

Phương pháp giải

- Liệt kê các phần tử của tập hợp A, B

- Sau đó sử dụng kiến thức về các phép toán tập hợp để làm bài tập.

+ Giao của hai tập hợp A và B, kí hiệu A ∩ B là tập hợp gồm các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B

+ Hợp của hai tập hợp A và B, kí hiệu A ∪ B là tập hợp gồm các phần tử thuộc A hoặc thuộc B

+ Hiệu của tập hợp A với tập hợp B, kí hiệu $A\backslash B$ là tập hợp gồm các phần tử thuộc A và không thuộc B

+ Nếu B ⊂ A thì $A\backslash B$ được gọi là phần bù của B trong A, kí hiệu là ${C_A}B$

Hướng dẫn giải

$A = {\rm{\{ }}1,2,3,6,9,18\}$

$B = {\rm{\{ }}1,2,3,5,6,10,15,30\}$

$A \cap B = {\rm{\{ }}1,2,3,6{\rm{\} }}$

$A \cup B = {\rm{\{ }}1,2,3,5,6,9,10,15,18,30{\rm{\} }}$

$A\backslash B = {\rm{\{ 9,18\} ; B\backslash A = \{ }}5,10,15,30\}$

Kí hiệu A là tập các số nguyên lẻ, B là tập các bội của 3. Xác định tập hợp ${\rm{A}} \cap B$ bằng một tính chất đặc trưng.

Phương pháp giải

- Liệt kê các phần tử của tập hợp A, B 

- Sau đó sử dụng kiến thức về các phép toán tập hợp để làm bài tập.

+ Giao của hai tập hợp A và B, kí hiệu A ∩ B là tập hợp gồm các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B

+ Hợp của hai tập hợp A và B, kí hiệu A ∪ B là tập hợp gồm các phần tử thuộc A hoặc thuộc B

+ Hiệu của tập hợp A với tập hợp B, kí hiệu $A\backslash B$ là tập hợp gồm các phần tử thuộc A và không thuộc B

+ Nếu B ⊂ A thì $A\backslash B$ được gọi là phần bù của B trong A, kí hiệu là ${C_A}B$

Hướng dẫn giải

Ta có: $A = \left\{ {...,-5,-3,-1,1,3,5....} \right\}$

Suy ra: $A = \left\{ {2k - 1|k \in \mathbb{Z}} \right\}$

$B = \left\{ {...,-9,-6,-3,0,3,6,9....} \right\}$

Suy ra $B = \left\{ {3k|k \in \mathbb{Z}} \right\}$

Vậy suy ra: ${\rm{A}} \cap B = {\rm{\{ }}3(2k - 1)|k \in Z{\rm{\} }}$

Cho A là một tập hợp tùy ý. Hãy xác định các tập hợp sau:

a) A ∩ A

b) A ∪ A

c) A \ A

d) A ∩ ∅

e) A ∪ ∅

g) A \ ∅

h) ∅ \ A

Phương pháp giải

Sử dụng kiến thức về các phép toán tập hợp.

- Giao của hai tập hợp A và B, kí hiệu A ∩ B là tập hợp gồm các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B

- Hợp của hai tập hợp A và B, kí hiệu A ∪ B là tập hợp gồm các phần tử thuộc A hoặc thuộc B

- Hiệu của tập hợp A với tập hợp B, kí hiệu $A\backslash B$ là tập hợp gồm các phần tử thuộc A và không thuộc B

- Nếu B ⊂ A thì $A\backslash B$ được gọi là phần bù của B trong A, kí hiệu là ${C_A}B$

Hướng dẫn giải

a) $A \cap A = \left\{ {x|x \in A{\rm\text{ và }}x \in A} \right\}= \left\{ {x|x \in A} \right\} = A$

b) $A \cup A = \left\{ {x|x \in A{\rm\text{ hoặc }}x \in A} \right\} = \left\{ {x|x \in A} \right\} = A$

c) $A\backslash A = \left\{ {x|x \in A{\rm\text{ và }}x \notin A} \right\} = \emptyset$

d) $A \cap \emptyset = \left\{ {x|x \in A{\rm\text{ và }}x \in \emptyset } \right\} = \emptyset$

e) $A \cup \emptyset = \left\{ {x|x \in A{\rm\text{ hoặc }}x \in \emptyset } \right\}= \left\{ {x|x \in A} \right\} = A$

g) $A\backslash \emptyset = \left\{ {x|x \in A{\rm\text{ và }}x \notin \emptyset } \right\} = \left\{ {x|x \in A} \right\} = A$

h) $\emptyset \backslash A = \left\{ {x|x \in \emptyset {\rm\text{ và }}x \notin A} \right\} = \emptyset$

Cho hai tập hợp $A,B \,\, biết \,\, A \subset B$. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. $A \cup B = A$                            B. $A \cap B = B$

C. $A\backslash B = \emptyset$                               D. $B\backslash A = A$

Phương pháp giải

Sử dụng kiến thức về các phép toán tập hợp.

- Giao của hai tập hợp A và B, kí hiệu A ∩ B là tập hợp gồm các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B

- Hợp của hai tập hợp A và B, kí hiệu A ∪ B là tập hợp gồm các phần tử thuộc A hoặc thuộc B

- Hiệu của tập hợp A với tập hợp B, kí hiệu $A\backslash B$ là tập hợp gồm các phần tử thuộc A và không thuộc B

- Nếu B ⊂ A thì $A\backslash B$ được gọi là phần bù của B trong A, kí hiệu là ${C_A}B$

Hướng dẫn giải

$A \cup B = B$ nên A sai.

$A \cap B = A$ nên B sai.

$A\backslash B = \emptyset$ nên C đúng.

$B\backslash A$ bao gồm các phần tử thuộc B nhưng không thuộc A nên không thể là A được nên D sai.

Đáp án đúng: C

Cho hai tập hợp A, B. Mệnh đề nào là sai trong các mệnh đề sau?

A. $A \cap B \subset A$                      B. $A \cap B \subset B$

C. $A \cap B \subset A \cup B$               D. $A \cap B \subset A\backslash B$

Phương pháp giải

Sử dụng kiến thức về các phép toán tập hợp.

- Giao của hai tập hợp A và B, kí hiệu A ∩ B là tập hợp gồm các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B

- Hợp của hai tập hợp A và B, kí hiệu A ∪ B là tập hợp gồm các phần tử thuộc A hoặc thuộc B

- Hiệu của tập hợp A với tập hợp B, kí hiệu $A\backslash B$ là tập hợp gồm các phần tử thuộc A và không thuộc B

- Nếu B ⊂ A thì $A\backslash B$ được gọi là phần bù của B trong A, kí hiệu là ${C_A}B$

Hướng dẫn giải

Đáp án A đúng vì nếu lấy

$x \in A \cap B \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in A}\\{x \in B}\end{array}} \right. \Rightarrow x \in A$

$\Rightarrow A \cap B \subset A$

Đáp án B đúng vì nếu lấy

$x \in A \cap B \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in A}\\{x \in B}\end{array}} \right. \Rightarrow x \in B$

$\Rightarrow A \cap B \subset B$

Đáp án C đúng vì nếu lấy $x \in A \cap B \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in A}\\{x \in B}\end{array}} \right. \Rightarrow x \in A \cup B$

$\Rightarrow A \cap B \subset A \cup B$

Đáp án D sai vì nếu lấy

$x \in A \cap B \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in A}\\{x \in B}\end{array}} \right. \Rightarrow x \notin A\backslash B$

Đáp án đúng: D

Cho hai tập hợp A, B. Mệnh đề nào là sai trong các mệnh đề sau?

A. $A \backslash B \subset A$     

B. $B \backslash A \subset B$

C. $A\backslash B \cup B\backslash A \subset A \cup B$

D. $A\backslash B \cup B\backslash A = A \cup B$

Phương pháp giải

Sử dụng kiến thức về các phép toán tập hợp.

- Giao của hai tập hợp A và B, kí hiệu A ∩ B là tập hợp gồm các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B

- Hợp của hai tập hợp A và B, kí hiệu A ∪ B là tập hợp gồm các phần tử thuộc A hoặc thuộc B

- Hiệu của tập hợp A với tập hợp B, kí hiệu $A\backslash B$ là tập hợp gồm các phần tử thuộc A và không thuộc B

- Nếu B ⊂ A thì $A\backslash B$ được gọi là phần bù của B trong A, kí hiệu là ${C_A}B$

Hướng dẫn giải

Đáp án A đúng vì nếu lấy $x \in A\backslash B \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in A}\\{x \notin B}\end{array}} \right. \Rightarrow x \in A$

$\Rightarrow A\backslash B \subset A$

Đáp án B đúng vì nếu lấy $x \in B\backslash A \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in B}\\{x \notin A}\end{array}} \right. \Rightarrow x \in B$

$\Rightarrow B\backslash A \subset B$

Đáp án C đúng vì nếu lấy $x \in A\backslash B \cup B\backslash A \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in A\backslash B}\\{x \in B\backslash A}\end{array}} \right.$

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in A}\\{x \notin B}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in B}\\{x \notin A}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in A}\\{x \in B}\end{array}} \right.$

$\Rightarrow x \in A \cup B$

Đáp án D sai. Phản ví dụ:

Giả sử $A = \left\{ 1 \right\};B = \left\{ {1,2} \right\}$

Ta có: $1 \in A \cup B$ nhưng

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 \notin A\backslash B}\\{1 \notin B\backslash A}\end{array}} \right. \Rightarrow 1 \notin A\backslash B \cup B\backslash A$

Đáp án đúng: D

Cho ba tập hợp A, B, C biết $A \subset B \subset C$. Mệnh đề nào là đúng trong các mệnh đề sau?

A. $A \subset B \cap C$                   B. $B \subset A \cap C$

C. $C \subset A \cup B$                   D. $B\backslash A \subset C\backslash B$

Phương pháp giải

Sử dụng kiến thức về các phép toán tập hợp.

- Giao của hai tập hợp A và B, kí hiệu A ∩ B là tập hợp gồm các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B

- Hợp của hai tập hợp A và B, kí hiệu A ∪ B là tập hợp gồm các phần tử thuộc A hoặc thuộc B

- Hiệu của tập hợp A với tập hợp B, kí hiệu $A\backslash B$ là tập hợp gồm các phần tử thuộc A và không thuộc B

- Nếu B ⊂ A thì $A\backslash B$ được gọi là phần bù của B trong A, kí hiệu là ${C_A}B$

Hướng dẫn giải

Đáp án A đúng vì $A \subset B \subset C \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{A \subset B}\\{A \subset C}\end{array}} \right. \Rightarrow A \subset B \cap C$

Đáp án B sai vì $A \subset C \Rightarrow A \cap C = A \subset B \Rightarrow B \subset A \cap C$ sai.

Đáp án C sai vì

$C \subset A \cup B \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{C \subset A}\\{C \subset B}\end{array}} \right.$ (vô lý)

Đáp án D sai vì $x \in B\backslash A \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in B}\\{x \notin A}\end{array}} \right. \Rightarrow x \notin C\backslash B$

Đáp án đúng: A