Giải bài tập SBT Toán 10 Bài 3: Các phép toán tập hợp

Liệt kê các phần tử của tập hợp A các ước số tự nhiên của 18 và của tập hợp B các ước số tự nhiên của 30. Xác định các tập hợp \({\rm{A}} \cap B,A \cup B,A\backslash B,B\backslash A\)

Phương pháp giải

- Liệt kê các phần tử của tập hợp A, B

- Sau đó sử dụng kiến thức về các phép toán tập hợp để làm bài tập.

+ Giao của hai tập hợp A và B, kí hiệu A ∩ B là tập hợp gồm các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B

+ Hợp của hai tập hợp A và B, kí hiệu A ∪ B là tập hợp gồm các phần tử thuộc A hoặc thuộc B

+ Hiệu của tập hợp A với tập hợp B, kí hiệu \(A\backslash B\) là tập hợp gồm các phần tử thuộc A và không thuộc B

+ Nếu B ⊂ A thì \(A\backslash B\) được gọi là phần bù của B trong A, kí hiệu là \({C_A}B\)

Hướng dẫn giải

\(A = {\rm{\{ }}1,2,3,6,9,18\}\)

\(B = {\rm{\{ }}1,2,3,5,6,10,15,30\}\)

\(A \cap B = {\rm{\{ }}1,2,3,6{\rm{\} }}\)

\(A \cup B = {\rm{\{ }}1,2,3,5,6,9,10,15,18,30{\rm{\} }}\)

\(A\backslash B = {\rm{\{ 9,18\} ; B\backslash A = \{ }}5,10,15,30\}\)

Kí hiệu A là tập các số nguyên lẻ, B là tập các bội của 3. Xác định tập hợp \({\rm{A}} \cap B\) bằng một tính chất đặc trưng.

Phương pháp giải

- Liệt kê các phần tử của tập hợp A, B 

- Sau đó sử dụng kiến thức về các phép toán tập hợp để làm bài tập.

+ Giao của hai tập hợp A và B, kí hiệu A ∩ B là tập hợp gồm các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B

+ Hợp của hai tập hợp A và B, kí hiệu A ∪ B là tập hợp gồm các phần tử thuộc A hoặc thuộc B

+ Hiệu của tập hợp A với tập hợp B, kí hiệu \(A\backslash B\) là tập hợp gồm các phần tử thuộc A và không thuộc B

+ Nếu B ⊂ A thì \(A\backslash B\) được gọi là phần bù của B trong A, kí hiệu là \({C_A}B\)

Hướng dẫn giải

Ta có: \(A = \left\{ {...,-5,-3,-1,1,3,5....} \right\}\)

Suy ra: \(A = \left\{ {2k - 1|k \in \mathbb{Z}} \right\}\)

\(B = \left\{ {...,-9,-6,-3,0,3,6,9....} \right\}\)

Suy ra \(B = \left\{ {3k|k \in \mathbb{Z}} \right\}\)

Vậy suy ra: \({\rm{A}} \cap B = {\rm{\{ }}3(2k - 1)|k \in Z{\rm{\} }}\)

Cho A là một tập hợp tùy ý. Hãy xác định các tập hợp sau:

a) A ∩ A

b) A ∪ A

c) A \ A

d) A ∩ ∅

e) A ∪ ∅

g) A \ ∅

h) ∅ \ A

Phương pháp giải

Sử dụng kiến thức về các phép toán tập hợp.

- Giao của hai tập hợp A và B, kí hiệu A ∩ B là tập hợp gồm các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B

- Hợp của hai tập hợp A và B, kí hiệu A ∪ B là tập hợp gồm các phần tử thuộc A hoặc thuộc B

- Hiệu của tập hợp A với tập hợp B, kí hiệu \(A\backslash B\) là tập hợp gồm các phần tử thuộc A và không thuộc B

- Nếu B ⊂ A thì \(A\backslash B\) được gọi là phần bù của B trong A, kí hiệu là \({C_A}B\)

Hướng dẫn giải

a) \(A \cap A = \left\{ {x|x \in A{\rm\text{ và }}x \in A} \right\}= \left\{ {x|x \in A} \right\} = A\)

b) \(A \cup A = \left\{ {x|x \in A{\rm\text{ hoặc }}x \in A} \right\} = \left\{ {x|x \in A} \right\} = A\)

c) \(A\backslash A = \left\{ {x|x \in A{\rm\text{ và }}x \notin A} \right\} = \emptyset\)

d) \(A \cap \emptyset = \left\{ {x|x \in A{\rm\text{ và }}x \in \emptyset } \right\} = \emptyset\)

e) \(A \cup \emptyset = \left\{ {x|x \in A{\rm\text{ hoặc }}x \in \emptyset } \right\}= \left\{ {x|x \in A} \right\} = A\)

g) \(A\backslash \emptyset = \left\{ {x|x \in A{\rm\text{ và }}x \notin \emptyset } \right\} = \left\{ {x|x \in A} \right\} = A\)

h) \(\emptyset \backslash A = \left\{ {x|x \in \emptyset {\rm\text{ và }}x \notin A} \right\} = \emptyset \)

Cho hai tập hợp \(A,B \,\, biết \,\, A \subset B\). Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. \(A \cup B = A\)                            B. \(A \cap B = B\)

C. \(A\backslash B = \emptyset\)                               D. \(B\backslash A = A\)

Phương pháp giải

Sử dụng kiến thức về các phép toán tập hợp.

- Giao của hai tập hợp A và B, kí hiệu A ∩ B là tập hợp gồm các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B

- Hợp của hai tập hợp A và B, kí hiệu A ∪ B là tập hợp gồm các phần tử thuộc A hoặc thuộc B

- Hiệu của tập hợp A với tập hợp B, kí hiệu \(A\backslash B\) là tập hợp gồm các phần tử thuộc A và không thuộc B

- Nếu B ⊂ A thì \(A\backslash B\) được gọi là phần bù của B trong A, kí hiệu là \({C_A}B\)

Hướng dẫn giải

\(A \cup B = B\) nên A sai.

\(A \cap B = A\) nên B sai.

\(A\backslash B = \emptyset\) nên C đúng.

\(B\backslash A\) bao gồm các phần tử thuộc B nhưng không thuộc A nên không thể là A được nên D sai.

Đáp án đúng: C

Cho hai tập hợp A, B. Mệnh đề nào là sai trong các mệnh đề sau?

A. \(A \cap B \subset A\)                      B. \(A \cap B \subset B\)

C. \(A \cap B \subset A \cup B\)               D. \(A \cap B \subset A\backslash B\)

Phương pháp giải

Sử dụng kiến thức về các phép toán tập hợp.

- Giao của hai tập hợp A và B, kí hiệu A ∩ B là tập hợp gồm các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B

- Hợp của hai tập hợp A và B, kí hiệu A ∪ B là tập hợp gồm các phần tử thuộc A hoặc thuộc B

- Hiệu của tập hợp A với tập hợp B, kí hiệu \(A\backslash B\) là tập hợp gồm các phần tử thuộc A và không thuộc B

- Nếu B ⊂ A thì \(A\backslash B\) được gọi là phần bù của B trong A, kí hiệu là \({C_A}B\)

Hướng dẫn giải

Đáp án A đúng vì nếu lấy

\(x \in A \cap B \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in A}\\{x \in B}\end{array}} \right. \Rightarrow x \in A\)

\(\Rightarrow A \cap B \subset A\)

Đáp án B đúng vì nếu lấy

\(x \in A \cap B \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in A}\\{x \in B}\end{array}} \right. \Rightarrow x \in B\)

\(\Rightarrow A \cap B \subset B\)

Đáp án C đúng vì nếu lấy \(x \in A \cap B \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in A}\\{x \in B}\end{array}} \right. \Rightarrow x \in A \cup B\)

\(\Rightarrow A \cap B \subset A \cup B\)

Đáp án D sai vì nếu lấy

\(x \in A \cap B \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in A}\\{x \in B}\end{array}} \right. \Rightarrow x \notin A\backslash B\)

Đáp án đúng: D

Cho hai tập hợp A, B. Mệnh đề nào là sai trong các mệnh đề sau?

A. \(A \backslash B \subset A\)     

B. \(B \backslash A \subset B\)

C. \(A\backslash B \cup B\backslash A \subset A \cup B\)

D. \(A\backslash B \cup B\backslash A = A \cup B\)

Phương pháp giải

Sử dụng kiến thức về các phép toán tập hợp.

- Giao của hai tập hợp A và B, kí hiệu A ∩ B là tập hợp gồm các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B

- Hợp của hai tập hợp A và B, kí hiệu A ∪ B là tập hợp gồm các phần tử thuộc A hoặc thuộc B

- Hiệu của tập hợp A với tập hợp B, kí hiệu \(A\backslash B\) là tập hợp gồm các phần tử thuộc A và không thuộc B

- Nếu B ⊂ A thì \(A\backslash B\) được gọi là phần bù của B trong A, kí hiệu là \({C_A}B\)

Hướng dẫn giải

Đáp án A đúng vì nếu lấy \(x \in A\backslash B \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in A}\\{x \notin B}\end{array}} \right. \Rightarrow x \in A\)

\(\Rightarrow A\backslash B \subset A\)

Đáp án B đúng vì nếu lấy \(x \in B\backslash A \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in B}\\{x \notin A}\end{array}} \right. \Rightarrow x \in B\)

\(\Rightarrow B\backslash A \subset B\)

Đáp án C đúng vì nếu lấy \(x \in A\backslash B \cup B\backslash A \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in A\backslash B}\\{x \in B\backslash A}\end{array}} \right.\)

\(\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in A}\\{x \notin B}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in B}\\{x \notin A}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in A}\\{x \in B}\end{array}} \right.\)

\(\Rightarrow x \in A \cup B\)

Đáp án D sai. Phản ví dụ:

Giả sử \(A = \left\{ 1 \right\};B = \left\{ {1,2} \right\}\)

Ta có: \(1 \in A \cup B\) nhưng

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 \notin A\backslash B}\\{1 \notin B\backslash A}\end{array}} \right. \Rightarrow 1 \notin A\backslash B \cup B\backslash A\)

Đáp án đúng: D

Cho ba tập hợp A, B, C biết \(A \subset B \subset C\). Mệnh đề nào là đúng trong các mệnh đề sau?

A. \(A \subset B \cap C\)                   B. \(B \subset A \cap C\)

C. \(C \subset A \cup B\)                   D. \(B\backslash A \subset C\backslash B\)

Phương pháp giải

Sử dụng kiến thức về các phép toán tập hợp.

- Giao của hai tập hợp A và B, kí hiệu A ∩ B là tập hợp gồm các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B

- Hợp của hai tập hợp A và B, kí hiệu A ∪ B là tập hợp gồm các phần tử thuộc A hoặc thuộc B

- Hiệu của tập hợp A với tập hợp B, kí hiệu \(A\backslash B\) là tập hợp gồm các phần tử thuộc A và không thuộc B

- Nếu B ⊂ A thì \(A\backslash B\) được gọi là phần bù của B trong A, kí hiệu là \({C_A}B\)

Hướng dẫn giải

Đáp án A đúng vì \(A \subset B \subset C \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{A \subset B}\\{A \subset C}\end{array}} \right. \Rightarrow A \subset B \cap C\)

Đáp án B sai vì \(A \subset C \Rightarrow A \cap C = A \subset B \Rightarrow B \subset A \cap C\) sai.

Đáp án C sai vì

\(C \subset A \cup B \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{C \subset A}\\{C \subset B}\end{array}} \right.\) (vô lý)

Đáp án D sai vì \(x \in B\backslash A \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in B}\\{x \notin A}\end{array}} \right. \Rightarrow x \notin C\backslash B\)

Đáp án đúng: A