Toán 8 Chương 2 Bài 9: Biến đổi các biểu thức hữu tỉ và Giá trị của phân thức

Mỗi biểu thức là một phân thức hoặc biểu thị một dãy các phép toán: cộng, trừ, nhân , chia trên những phân thức. Ta gọi những biểu thức như thế là những biểu thức hữu tỉ.

Nhờ các quy tắc của phép toán cộng, trừ, nhân, chia các phân thức ta có thể biến đổi một biểu thức hữu tỉ thành một phân thức.

Khi làm các bài toán liên quan đến giá trị của phân thức thì trước hết phải tìm điều kiện của biến để giá trị tương ứng của mẫu thức khác \(0\). Đó chính là điều kiện để giá trị của phân thức được xác định.

Biến đổi biểu thức sau thành một phân thức

\(B = \dfrac{{1 + \dfrac{2}{{x - 1}}}}{{1 + \dfrac{{2x}}{{{x^2} + 1}}}}\)

Hướng dẫn giải

\(B = \dfrac{{1 + \dfrac{2}{{x - 1}}}}{{1 + \dfrac{{2x}}{{{x^2} + 1}}}}\)

\(\eqalign{& \Rightarrow B = \left( {1 + {2 \over {x - 1}}} \right):\left( {1 + {{2x} \over {{x^2} + 1}}} \right)  \cr &  = \left( {{{x - 1} \over {x - 1}} + {2 \over {x - 1}}} \right):\left( {{{{x^2} + 1} \over {{x^2} + 1}} + {{2x} \over {{x^2} + 1}}} \right)  \cr &  = {{x - 1 + 2} \over {x - 1}}:{{{x^2} + 1 + 2x} \over {{x^2} + 1}}  \cr&  = {{x +1} \over {x - 1}}:{{(x+1)^2} \over {{x^2} + 1}}  \cr &  = {{x + 1} \over {x - 1}}.{{{x^2} + 1} \over {{{(x + 1)}^2}}}  \cr &  = {{(x+1).({x^2} + 1)} \over {\left( {x - 1} \right).(x+1)^2}} \cr &=  {{{x^2} + 1} \over {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}=\frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2} - 1}} \cr} \)

Cho phân thức \(\dfrac{{x + 1}}{{{x^2} + x}}\)

a) Tìm điều kiện của \(x\) để giá trị của phân thức được xác định

b) Tính giá trị của phân thức tại \(x = 1 000 000\) và tại \(x = - 1\).

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \({x^2} + x = x\left( {x + 1} \right)\)

Giá trị phân thức này được xác định với điều kiện \({x^2} + x ≠ 0\)

\( \Rightarrow x\left( {x + 1} \right) \ne 0\) 
\(\Rightarrow x \ne 0 \) và \(x+1 \ne 0\)
\(\Rightarrow x \ne 0 \) và \(x \ne -1\) 

b) Với điều kiện \(x\ne 0, x\ne -1\). Ta có: 

\(\dfrac{{x + 1}}{{{x^2} + x}} = \dfrac{{x + 1}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \dfrac{1}{x}\)

Tại \(x = 1000000 \) (thỏa mãn điều kiện), ta có:

\(\dfrac{{x + 1}}{{{x^2} + x}} = \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{{1000000}}\)

Tại \(x =  - 1 \) không thỏa mãn điều kiện nên phân thức đã cho không được xác định.

Vậy không tồn tại giá trị của phân thức tại \(x = -1.\)

Tính giá trị biểu thức A tại x=-8

\(A = \frac{{3{x^2} - x}}{{9{x^2} - 6x + 1}}\)

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(\begin{array}{l} A = \frac{{3{x^2} - x}}{{9{x^2} - 6x + 1}}\\ {\rm{ }} = \frac{{x\left( {3x - 1} \right)}}{{{{\left( {3x - 1} \right)}^2}}} \end{array}\)

ĐKXĐ:

\(x \ne \frac{1}{3}\)

Tại \(x = - 8\) ta có:

\(\begin{array}{l} \frac{x}{{3x - 1}}\\ = \frac{{ - 8}}{{3.\left( { - 8} \right) - 1}}\\ = \frac{8}{{25}} \end{array}\)

Câu 1: Biến đổi các biểu thức sau thành phân thức

a) \(\displaystyle {1 \over 2} + \displaystyle {x \over {1 - \displaystyle {x \over {x + 2}}}}\)

b) \(\displaystyle {{x - \displaystyle {1 \over {{x^2}}}} \over {x + \displaystyle {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}}}\)

Câu 2: Thực hiện các phép tính sau : 

a) \(\displaystyle \left( {{{5x + y} \over {{x^2} - 5xy}} + {{5x - y} \over {{x^2} + 5xy}}} \right)\)\(.\displaystyle {{{x^2} - 25{y^2}} \over {{x^2} + {y^2}}}\)

b) \(\displaystyle {{4xy} \over {{y^2} - {x^2}}}\)\(:\displaystyle \left( {{1 \over {{x^2} + 2xy + {y^2}}} - {1 \over {{x^2} - {y^2}}}} \right)\)

c) \(\displaystyle \left[ {{1 \over {{{\left( {2x - y} \right)}^2}}} + {2 \over {4{x^2} - {y^2}}} + {1 \over {{{\left( {2x + y} \right)}^2}}}} \right]\)\(. \displaystyle {{4{x^2} + 4xy + {y^2}} \over {16x}}\)

d) \(\displaystyle \left( {{2 \over {x + 2}} - {4 \over {{x^2} + 4x + 4}}} \right)\)\(:\displaystyle \left( {{2 \over {{x^2} - 4}} + {1 \over {2 - x}}} \right)\)

Câu 3: Tìm điều kiện của biến để giá trị của phân thức xác định :

a) \(\displaystyle {{5{x^2} - 4x + 2} \over {20}}\)

b) \(\displaystyle {8 \over {x + 2004}}\)

c) \(\displaystyle {{4x} \over {3x - 7}}\)

d) \(\displaystyle {{{x^2}} \over {x + z}}\)

Câu 4: Phân tích mẫu thức của các phân thức sau thành nhân tử rồi tìm điều kiện của \(x\) để giá trị của phân thức xác định :

a) \(\displaystyle {5 \over {2x - 3{x^2}}}\)

b) \(\displaystyle {{2x} \over {8{x^3} + 12{x^2} + 6x + 1}}\)

Câu 1: Kết quả thực hiện phép tính \((2x+1-\frac{1}{1-2x}):(2x-\frac{4x^{2}}{2x-1})\) là:

A. 1-2x

B. 2x

C. -2x

D. 1+2x

Câu 2: Kết quả thực hiện phép tính \((\frac{5x+y}{x^{2}-5xy}+\frac{5x-y}{x^{2}+5xy}).\frac{x^{2}-25y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\) là:

A. \(\frac{x}{2}\)

B. \(\frac{5}{x}\)

C. \(\frac{10}{x}\)

D. Một đáp số khác 

Câu 3: Biểu thức \(\frac{{x + \frac{1}{{{x^2}}}}}{{1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}}}\) được biến đổi thành phân thúc đại số là

A. \(\frac{1}{{x + 1}}\)

B. x + 1

C. x - 1

D. \(\frac{1}{{x - 1}}\)

Câu 4: Cho biểu thức \(B = \left( {\frac{1}{{x + 2}} - \frac{{2x}}{{4 - {x^2}}} + \frac{1}{{2 + x}}} \right).\left( {\frac{2}{x} - 1} \right)\). Với giá trị nào của x thì B xác định 

A. \(x \ne \left\{ { 0;2} \right\}\)

B. \(x \ne \left\{ { - 2;0;2} \right\}\)

C. \(x \ne \left\{ { - 2;2} \right\}\)

D. \(x \ne \left\{ { 0; -2} \right\}\)

Câu 5: Cho biểu thức \(B = \left( {\frac{1}{{x + 2}} - \frac{{2x}}{{4 - {x^2}}} + \frac{1}{{2 + x}}} \right).\left( {\frac{2}{x} - 1} \right)\). Tìm x để \(B = \frac{1}{2}\)

A. x = 10

B. x = -10

C. x = -6

D. x = 6

Qua bài học này, các em nắm được một số nội dung chính như sau:

• Hiểu các khái niệm về biểu thức hữu tỉ, biết được mỗi phân thức và mỗi đa thức đều là những biểu thức hữu tỉ
• Thực hiện các phép toán trong biểu thức để biến nó thành một biểu thức đại số