Toán 7 Chương 4 Bài 8: Cộng, trừ đa thức một biến

Để cộng hoặc trừ các đa thức một biến, ta có thể theo một trong hai cách sau:

• Cách 1: Cộng, trừ đa thức theo “hàng ngang”
• Cách 2: Sắp xếp các hạng từ của hai đa thức cùng theo lũy thừa giảm (hoặc tăng) của biến rồi đặt phép tính theo cột dọc tương ứng như cộng, trừ các số (chú ý đặt các đơn thức đồng dạng ở cùng một cột)

Ví dụ:

Cho các đa thức:

\(\begin{array}{l}f(x) =  - {x^3} - 7 + 5x - 6{x^2} - 4{x^3} + 8 - 5{x^5}+3{x^2}\\g(x) =  - x+2x - 1 + 2{x^4} + 3{x^3} + 2 - {x^4}\end{array}\)

a) Thu gọn các đa thức trên rồi sắp xếp chúng theo luỹ thừa giảm của biến.

b) Xác định bậc của mỗi đa thức.

c) Cho biết hệ số cao nhất và hệ số tự do của mỗi đa thức.

d) Tính f(x) + g(x) và f(x) - g(x).

Hướng dẫn giải

a)

\(\begin{array}{l}f(x) =  - 5{x^5} - 5{x^3} - 3x{}^2 + 5x + 1\\g(x)= {x^4} + 3{x^3} + x + 1\end{array}\).

b) Đa thức f(x) có bậc 5, đa thức g(x) có bậc 4.

c) Đa thức f(x) có hệ số cao nhất là -5, hệ số tự do là 1

Đa thức g(x) có hệ số cao nhất là 1, hệ số tự do là 1.

d)

\(\dfrac{{\begin{array}{*{20}{l}}
{f(x) =  - 5{x^5}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu}  - 5{x^3} - 3{x^2} + 5x + 1}\\
\begin{array}{l}
 + \\
g(x) = {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {x^4} + 3{x^3}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu}  + x + 1
\end{array}
\end{array}}}{{f(x) + g(x) =  - 5{x^5} + {x^4} - 2{x^3}{\mkern 1mu}  - 3{x^2} + 6x + 2}}\)

\(\dfrac{\begin{array}{l}f(x) =  - 5{x^5}\,\,\, - 5{x^3} - 3x{}^2 + 5x + 1\\ - \\g(x) = \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{x^4} + 3{x^3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + x + 1\end{array}}{{f(x) - g(x) =  - 5{x^5} - {x^4} - 8{x^3}\, - 3x{}^2 + 4}}\).

Câu 1: Cho hai đa thức \(P(x) = x^5 - 2x^4 + x^2 - x + 1\); \(Q(x) = 6 - 2x + 3x^3 + x^4 - 3x^5\). Tính \(P(x) - Q(x)\).

Hướng dẫn giải

\(P(x) - Q(x)\)

\(= (x^5 - 2x^4 + x^2 - x + 1) - (6 - 2x + 3x^3 + x^4 - 3x^5)\)

\(= x^5 - 2x^4 + x^2 - x + 1 - 6 + 2x - 3x^3 - x^4 + 3x^5\)

\(= (x^5 + 3x^5) + (-2x^4 - x^4) - 3x^3 + x^2 + (-x + 2x) + (1 - 6)\)

\(= 4x^5 - 3x^4 - 3x^3 + x^2 + x^5\)

Câu 2: Tìm đa thức \(h(x)\) sao cho \(f(x) – h(x) = g(x)\) biết:

a)

\(f(x) = {x^2} + x + 1\)

\(g(x) = 7{x^5} + {x^4} - 2{x^3} + 4\)

b)

\(f(x) = {x^4} + 6{x^3} - 4{x^2} + 2x - 1\)

\(g(x) = x + 3\)

Hướng dẫn giải

a)

\(h(x) = f(x) - g(x) \)

\(= {x^2} + x + 1 - 7{x^5} - {x^4} + 2{x^3} - 4 \)

\(=  - 7{x^5} - {x^4} + 2{x^3} + {x^2} + x - 3\).

b)

\(h(x) = {x^4} + 6{x^3} - 4{x^2} + 2x - 1 - x - 3\)

\(= {x^4} + 6{x^3} - 4{x^2} + x - 4\).

Câu 3: Tính hiệu \(f(x) – g(x)\) biết:

a)

\(f(x) = {x^5} - 4{x^4} - 2{x^2} - 7\)

\(g(x) =  - 2{x^5} + 6{x^4} - 2x{{\kern 1pt} ^2} + 6\).

b)

\(f(x) = 5{x^4} + 7{x^3} - 6{x^2} + 3x - 7\)

\(g(x) =  - 4{x^4} + 2{x^3} - 5{x^2} + 4x + 5\).

Hướng dẫn giải

a)

\(f(x) - g(x) \)

\(= ({x^5} - 4{x^4} - 2{x^2} - 7) - ( - 2{x^5} + 6{x^4} - 2{x^2} + 6)\\ = ({x^5} + 2{x^5}) + ( - 4{x^4} - 6{x^4}) + ( - 2{x^2} + 2{x^2}) + ( - 7 - 6)\\ = 3{x^5} - 10{x^4} - 13\).

b)

\(\begin{array}{l}f(x) + g(x) \\= (5{x^4} + 7{x^3} - 6{x^2} + 3x - 7) - ( - 4{x^4} + 2{x^3} - 5{x^2} + 4x + 5)\\ = 5{x^4} + 7{x^3} - 6{x^2} + 3x - 7 + 4{x^4} - 2{x^3} + 5{x^2} - 4x - 5\\ = (5{x^4} + 4{x^4}) + (7{x^3} - 2{x^3}) + ( - 6{x^2} + 5{x^2}) + (3x - 4x) + ( - 7 - 5)\\ = 9{x^4} + 5{x^3} - {x^2} - x - 12\end{array}\).

Câu 1: Cho đa thức :

\(P(x) =  - 9{x^3} + 5{x^4} + 8{x^2} - 15{x^3} - 4{x^2} - {x^4} + 15 - 7{x^3}\)

Tính P(1), P(0), P(-1).

Câu 2: Cho đa thức: \(f(x) = 3{x^4} - 2{x^3} + 5{x^2} - 7x + 2\)

Hãy tìm đa thức g(x) là đa thức đối của đa thức f(x).

Câu 3: Cho các đa thức:

\(\begin{array}{l}A =  - 3{x^3} + 4{x^2} - 5x + 6\\B = 3{x^3} - 6{x^2} + 5x - 4\end{array}\)

a) Tính C=A+B, D=A-B, E=C-D.

b) Tính giá trị của các đa thức A, B, C, D tại x= -1.

Câu 1: Tìm đa thức h(x) biết f(x) - h(x) = g(x) biết \(f\left( x \right) = {x^2} + x + 1;g\left( x \right) = 4 - 2{{\rm{x}}^3} + {x^4} + 7{{\rm{x}}^5}\)

A. \(h\left( x \right) =  - 7{{\rm{x}}^5} - {x^4} + 2{{\rm{x}}^3} + {x^2} + x - 3\)
B. \(h\left( x \right) =  7{{\rm{x}}^5} - {x^4} + 2{{\rm{x}}^3} + {x^2} + x - 3\)
C. \(h\left( x \right) =  - 7{{\rm{x}}^5} - {x^4} - 2{{\rm{x}}^3} + {x^2} + x - 4\)
D. \(h\left( x \right) =  - 7{{\rm{x}}^5} - {x^4} + 2{{\rm{x}}^3} - {x^2} + x + 3\)

Câu 2: Tìm hệ số cao nhất của đa thức k(x) biết f(x) + k(x) = g(x) và f(x) = x⁴ -4x² + 6x³ +2x -1; g(x) = x + 3 

A. -1

B. 1

C. 4

D. 6

Câu 3: Tìm hệ số tự do của hiệu \(f(x) - 2.g(x)\) với \(f\left( x \right) = 5{{\rm{x}}^4} + 4{{\rm{x}}^3} - 3{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}} - 1\);\(g\left( x \right) =  - {x^4} + 2{{\rm{x}}^3} - 3{{\rm{x}}^2} + 4{\rm{x}} + 5\)

A. 7

B. 11

C. -11

D. 4

Câu 4: Cho \(f\left( x \right) = {x^5} - 3{{\rm{x}}^4} + {x^2} - 5\); \(g\left( x \right) = 2{{\rm{x}}^4} + 7{{\rm{x}}^3} - {x^2} + 6\). Tìm hiệu f(x) - g(x) rồi sắp xếp kết quả theo lũy thừa tăng dần của biến ta được 

A. 11 + 2x² - 7x³ - 5x⁴ + x⁵

B. -11 + 2x² - 7x³ - 5x⁴ + x⁵

C. - 5x⁴ + x⁵ + 11 + 3x² - 7x³ 

D. - 5x⁴ + x⁵ + 11 + 3x² - 7x³ 

Câu 5: Cho \(p\left( x \right) = 5{{\rm{x}}^4} + 4{{\rm{x}}^3} - 3{x^2} + 2{\rm{x}} - 1\); \(q\left( x \right) =  - {x^4} + 2{{\rm{x}}^3} - 3{{\rm{x}}^2} + 4{\rm{x}} - 5\)

Tính p(x) + q(x) rồi tìm bậcc của đa thức thu được  

A. p(x) + q(x) = 6x³ - 6x² + 6x - 6 có bậc là 6

B. p(x) + q(x) = 6x³ - 6x² + 6x - 6 có bậc là 4

C. p(x) + q(x) = 4x⁴ + 6x³ - 6x² + 6x - 6 có bậc là 4

D. p(x) + q(x) = 4x⁴ + 6x³ - 6x²​ - 6x + 6 có bậc là 4

Qua bài học này, các em cần nắm được những nội dung sau:

• Biết cộng trừ đa thức một biến.
• Làm được những bài tập liên quan.