Toán 8 Chương 3 Bài 8: Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

Hai tam giác vuông đồng dạng với nhau nếu:

• Tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia
• Tam giác vuông này có hai cạnh góc vuông tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia.

Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.

Nếu hai tam giác đồng dạng với nhau thì:

• Tỉ số hai đường cao tương ứng bằng tỉ số đồng dạng.
• Tỉ số hai đường phân giác tương ứng bằng tỉ số đồng dạng.
• Tỉ số hai đường trung tuyến tương ứng bằng tỉ số đồng dạng.
• Tỉ số các chu vi bằng tỉ số đồng dạng.
• Tỉ số các diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng.

Hãy chỉ ra các cặp tam giác đồng dạng trong hình 47.

Hướng dẫn giải

Hai tam giác vuông \(ΔDEF\) và \(ΔD’E’F’\) có 

\(\dfrac{{DE}}{{DF}} = \dfrac{{D'E'}}{{D'F'}} = \dfrac{1}{2}\)

\(⇒ ΔDEF \) đồng dạng \(ΔDE'F'\) (hai cạnh góc vuông tỉ lệ)

Áp dụng định lí Py – ta – go vào tam giác vuông \(A'B'C'\) và \(ABC\) ta được:

\(\eqalign{
& A'C{'^2} = B'C{'^2} - A'B{'^2} \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {5^2} - {2^2} = 21 \cr
& \Rightarrow A'C' = \sqrt {21} \cr
& A{C^2} = B{C^2} - A{B^2} \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {10^2} - {4^2} = 84 \cr
& \Rightarrow AC = \sqrt {84}=2\sqrt{21} \cr} \)

Hai tam giác vuông \(ABC\) và \(A’B’C’\) có

\(\dfrac{{AB}}{{A'B'}} = \dfrac{{AC}}{{A'C'}} = 2\) 

\( \Rightarrow  ΔABC\) đồng dạng \(ΔA’B’C’ \) (hai cạnh góc vuông tỉ lệ)

Tam giác ABC có độ dài các cạnh là \(3cm, 4cm, 5cm\). Tam giác A'B'C' đồng dạng với tam giác ABC và có diện tích là \(54c{m^2}\)

Tính độ dài cách cạnh của tam giác \(A'B'C'\).

Hướng dẫn giải

Xét \(∆ABC\) có \(AB=3cm,AC=4cm,BC=5cm\).

Ta có:

\({3^2} + {4^2} = 25 = {5^2} \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại \(A\) (định lí Pitago đảo)

Nên \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC = \dfrac{1}{2}.3.4 = 6c{m^2}\) 

Vì \(∆ABC ∽ ∆A'B'C'\) (gt)

\(\dfrac{{AB}}{{A'B'}} = \dfrac{{BC}}{{B'C'}} = \dfrac{{AC}}{{A'C'}}\) (tính chất hai tam giác đồng dạng)

\(  \Rightarrow \dfrac{S_{ABC}}{S_{A'B'C'}} = {\left( {\dfrac{{AB}}{{A'B'}}} \right)^2}\) (tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng)

Do đó: \( \dfrac{6}{54} =  {\left( {\dfrac{{AB}}{{A'B'}}} \right)^2}\)

\(\eqalign{
& \Rightarrow {\left( {{{AB} \over {A'B'}}} \right)^2} = {1 \over 9} \cr
& \Rightarrow {{AB} \over {A'B'}} = {1 \over 3} \cr
& \Rightarrow A'B' = 3AB = 3.3 = 9cm \cr} \)

Tức là độ dài mỗi cạnh của tam giác \(A'B'C'\) gấp \(3\) lần độ dài mỗi cạnh của cạnh của tam giác \(ABC\).

Vậy ba cạnh của tam giác \(A'B'C'\) là \(A'B'=9cm,A'C'= 12cm, \)\(\,B'C'=15cm\).

Câu 1: Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A,\) \(AC = 9cm, BC = 24cm.\) Đường trung trực của \(BC\) cắt đường thẳng \(AC\) tại \(D\), cắt \(BC\) tại \(M\) (h.30). Tính độ dài của đoạn thẳng \(CD.\)

Câu 2: Cho hình thang vuông \(ABCD\) (\(\widehat A = \widehat D = 90^\circ \)) \(AB = 6cm, CD = 12cm,\) \(AD = 17cm.\) Trên cạnh \(AD,\) đặt đoạn thẳng \(AE = 8cm\) (h.31). Chứng minh \(\widehat {BEC}= 90^o\).

Câu 3: Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A, \;AC = 4cm, BC = 6cm.\) Kẻ tia \(Cx\) vuông góc với \(BC\) (tia \(Cx\) và điểm \(A\) khác phía so với đường thẳng \(BC\)).Lấy trên tia \(Cx\) điểm \(D\) sao cho \(BD = 9cm\) (h.32)

Chứng minh rằng \(BD // AC.\)

Câu 4: Trên hình 33 hãy chỉ ra các tam giác đồng dạng. Viết các cặp tam giác đồng dạng  theo thứ tự các đỉnh tương ứng và giải thích vì sao chúng đồng dạng.

Câu 1: Nếu hai tam giác đồng dạng với nhau thì: Chọn phát biểu sai trong các phát biểu sau?

A. Tỉ số hai đường cao tương ứng bằng tỉ số đồng dạng.

B. Tỉ số hai đường phân giác tương ứng bằng tỉ số đồng dạng.

C. Tỉ số hai đường trung tuyến tương ứng bằng tỉ số đồng dạng.

D. Tỉ số các chu vi bằng 2 lần tỉ số đồng dạng.

Câu 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, chân đường cao AH của tam giác ABC chia cạnh huyền BC thành hai đoạn BH=4cm và HC=9cm. Tính diện tích tam giác ABC

A. 39cm²

B. 36cm²

C. 78cm²

D. 18cm²

Câu 3: Cho tam giác ABC vuông ở A có BC=25 và \(\frac{AB}{AC}=\frac{3}{4}\). Tính AB, AC

A. AB=16; AC=15

B. AB=15; AC=20

C. AB=10; AC=12

D. AB=20; AC=15

Câu 4: Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh được:

A. \(BH.BD-CH.CE=BC^{2}\)

B. \(CH.CE-BH.BD=BC^{2}\)

C. \(BH.BD-CH.CE=2BC^{2}\)

D. Cả a,b,c đều sai 

Câu 5: Cho tam giác đều DEF nội tiếp trong tam giác đều ABC sao cho \(DE \perp BC\). Tỉ số diện tích tam giác DEF và tam giác ABC là:

A. \(\frac{1}{6}\)

B. \(\frac{1}{4}\)

C. \(\frac{1}{3}\)

D. \(\frac{2}{5}\)

Qua bài học này, các em nắm được một số nội dung chính như sau:

• Nắm được các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông
• Vận dụng chứng minh hai tam giác vuông đồng dạng, tính tỉ số về đường cao, tỉ số về diện tích