Toán 9 Chương 2 Bài 7: Vị trí tương đối của hai đường tròn

- Hai đường tròn có hai điểm chung (h.85) được gọi là hai đường tròn cắt nhau. Hai điểmc chung đó gọi là hai giao điểm. Đoạn thẳng nối hai điểm đó gọi là dây cung

- Hai đường tròn chỉ có một điểm chung (h.86) được gọi là hai đường tròn tiếp xúc nhau. Điểm chung đó gọi là tiếp điểm

- Hai đường tròn không có điểm chung (h.87) được gọi là hai đường tròn không giao nhau

Cho hai đường tròn (O) và (O') có tâm không trùng nhau. Đường thẳng OO' gọi là đường nói tâm, đoạn thẳng OO' gọi là đoạn nối tâm.

Do đường kính là trục đối xứng của mỗi đường tròn nên đường nối tâm là trục đối xứng của hình gồm cả hai đường tròn đó

* Định lí: 

a) Nếu hai đường tròn cắt nhau thì hai giao điểm đối xứng với nhau qua đường nối tâm, tức là đường nối tâm là đường trung trực của dây chung

b) Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm

Câu 1: Cho 2 đường tròn (O;20) và (O';15) cắt nhau tại A và B. Tính đoạn nối tâm OO' biết rằng AB=24d 

Hướng dẫn giải

Ta có hai trường hợp sau xảy ra:

Gọi C là giao điểm của đường thẳng OO' với AB

TH1: O và O' khác phía với AB khi đó: \(OO'=OC+CO'\)

\(OC=\sqrt{OB^2-BC^2}\sqrt{20^2-12^2}=16\); \(CO'=\sqrt{O'B^2-BC^2}\sqrt{15^2-12^2}=9\)

\(\Rightarrow OO'=9+16=25\)

TH2: O và O' nằm cùng phía với AB khi đó: \(OO'=OC-CO'\)

\(OO'=16-9=7\)

Câu 2: Cho 2 đường tròn đồng tâm O, dây AB của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ ở C và D chúng minh AC=BD.

Hướng dẫn giải

Gọi E là trung điểm của CD suy ra OE vuông góc với CD hây OE vuông với AB nên E cũng là trung điểm của AB

mà AC=AE-EC; BD=BE-DE. Vậy ta luôn có AC=BD

Cho 2 đường tròn (O;R) và (O;r) cắt nhau tại hai điểm A và B. Vẽ đường kính AOC và AO'D

a) Chứng minh 3 điểm C, B, D thẳng hàng

b) Qua A vẽ cát tuyến cắt (O) và (O') lần lượt tại M, N. CMR: \(MN\leq CD\)

Hướng dẫn giải

a) Tam giác ABC có AC là đường kính nên tam giác ABC vuông tại B hay \(AB\perp CB\)

Tam giác ABD có AD là đường kính nên tam giác ABD vuông tại B hay \(AB\perp BD\)

\(\Rightarrow C,B,D\) cùng thuộc đường thẳng qua B và vuông góc với AB

b) Xét tam giác ACD có OO' là đường trung bình nên: \(OO'=\frac{1}{2}.CD\)

Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của O và O' lên MN. Khi đó E, F lần lượt là trung điểm AM và AN

suy ra \(EF=\frac{1}{2}.MN\). Ta đưa việc so sánh CD với MN qua so sánh OO' và EF

Xét 2 đoạn thẳng OE và O'F song song với nhau. EF vuông góc với cả hai đoạn thẳng nên EF là đoạn thẳng nhỏ nhất trong các đoạn nối từ 1 điểm trên OE tới 1 điểm trên O'F

\(EF\leq OO'\Rightarrow MN\leq CD\)

Câu 1: Cho hình bên, trong đó hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc với nhau tại A. Chứng minh rằng các tiếp tuyến Bx và Cy song song với nhau.

Câu 2: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B như hình bên.

Biết OA = 15cm, O’A = 13cm, AB = 24cm. Tính độ dài OO’.

Câu 3: Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc với nhau tại A như hình bên. Chứng minh rằng các bán kính OB và O’C song song với nhau.

Câu 4: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Kẻ các đường kính AOC, AO’D. Chứng minh rằng ba điểm C, B, D thẳng hàng và AB ⊥ CD

Câu 1: Cho 2 đường tròn (O;R) và (O';r), R>r

Trong các phát biểu sau phát biểu nào là phát biểu sai

A. Hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau khi và chỉ khi R-r

B. Hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài khi và chỉ khi OO'=R-r

C. Hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc trong khi và chỉ khi OO'=R-r

D. Hai đường tròn (O) và (O') gọi là ngoài nhau khi và chỉ khi OO'>R+r

Câu 2: Cho 3 đường tròn (A), (B), (C) có cùng bán kính R đôi một tiếp xúc nhau. Gọi D, E, F là các tiếp điểm. Diện tích tam giác DEF là:

A. \(\frac{R^2\sqrt{3}}{2}\)

B. \(\frac{R^2\sqrt{3}}{3}\)

C. \(\frac{R^2\sqrt{3}}{6}\)

D. \(\frac{R^2\sqrt{3}}{4}\)

Câu 3: Cho đường tròn (O;10) và (O';3). Biết OO'=8. Vị trí tương đối của hai đường tròn là

A. (O) chứa (O')

B. Cắt nhau

C. Tiếp xúc trong

D. Tiếp xúc ngoài

Câu 4: Cho hai đường tròn (O;5) và (O';5) cắt nhau tại A và B. Biết OO'=8. Độ dài dây cung chung AB là:

A. 4

B. 5

C. 6

D. 7

Câu 5: Cho đường tròn (O;9). Vẽ 6 đường tròn bằng nhau có bán kính R đều tiếp xúc với (O) và mỗi đường tròn đều tiếp xúc với 2 đường tròn khác bên cạnh nó. R=?

A. \(6\)

B. \(3\)

C. \(2\sqrt{3}\)

D. \(3\sqrt{3}\)

Qua bài học này, các em nắm được một số nội dung chính như sau:

• Biết ba vị trí tương đối của đường tròn và tính chất đường nối tâm của đường tròn.
• Nhận biết được khái niệm tiếp tuyến chung của hai đường tròn.