Toán 9 Chương 4 Bài 6: Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

Nhắc lại bài cũ về phương trình bậc hai \(ax^2+bx+c=0(a\neq 0)\) có 2 nghiệm phân biệt

\(x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}; x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}\)

Ta có: \(x_1+x_2=\frac{-2b+\sqrt{\Delta }-\sqrt{\Delta }}{2a}=-\frac{b}{a}\)

\(x_1.x_2=\frac{b^2-\Delta }{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}\)

Định lý Vi-ét

Nếu \(x_1;x_2\) là hai nghiệm của phương trình \(ax^2+bx+c=0 (a\neq 0)\) thì:

\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\) và \(x_1.x_2=\frac{c}{a}\)

Tổng quát

• Nếu phương trình \(ax^2+bx+c=0 (a\neq 0)\) có \(a+b+c=0\) thì phương trình có một nghiệm là \(x_1=1\) và nghiệm kia là \(x_2=\frac{c}{a}\).
• Nếu phương trình \(ax^2+bx+c=0 (a\neq 0)\) có \(a-b+c=0\) thì phương trình có một nghiệm là \(x_1=-1\) và nghiệm kia là \(x_2=-\frac{c}{a}\).

Tìm 2 số khi biết tổng của chúng là S và tích của chúng là P. Giả sử 1 số là x thì số còn lại là \(S-x\)

Vì thế, tích của chúng được viết lại là: \(x(S-x)=P\Leftrightarrow x^2-Sx+P=0\)

Đặt \(\Delta =S^2-4P\)

Câu 1: Hãy tính \(x_1+x_2;x_1.x_2\)

\(\displaystyle{x_1} = {{ - b + \sqrt \Delta  } \over {2a}};\,{x_2} = {{ - b - \sqrt \Delta  } \over {2a}}\)

Hướng dẫn giải 

\(\eqalign{& {x_1} + {x_2} = {{ - b + \sqrt \Delta  } \over {2a}} + {{ - b - \sqrt \Delta  } \over {2a}} = {{ - 2b} \over {2a}} = {{ - b} \over a}  \cr & {x_1}.{x_2} = \left( {{{ - b + \sqrt \Delta  } \over {2a}}} \right).\left( {{{ - b - \sqrt \Delta  } \over {2a}}} \right) = {{ {(-b)^2} - \Delta } \over {4{a^2}}}  \cr &  = {{{b^2} - \left( {{b^2} - 4ac} \right)} \over {4{a^2}}} = {{4ac} \over {4{a^2}}} = {c \over a} \cr} \)  

Câu 2: Cho phương trình \(2x^2 – 5x + 3 = 0.\)

a) Xác định các hệ số \(a, b, c\) rồi tính \(a + b + c.\)

b) Chứng tỏ rằng \( x_1 = 1\) là một nghiệm của phương trình.

c) Dùng định lý Vi-ét để tìm \(x_2.\)

Hướng dẫn giải

a) Phương trình \(2x^2 – 5x + 3 = 0\) có các hệ số \(a = 2; b = -5; c = 3\)

\( \Rightarrow  a + b + c = 2 - 5 + 3 = 0\)

b) Thay \(x = 1\) vào phương trình ta được:

\(2.1^2 - 5.1 + 3 = 0 \Leftrightarrow 0=0\) (luôn đúng)

Vậy \(x_1 = 1\) là một nghiệm của phương trình

c) Theo định lí Vi-et ta có:

\(\displaystyle{x_1}.{x_2} = {c \over a} = {3 \over 2} \Rightarrow 1.{x_2} = {3 \over 2} \Rightarrow {x_2} = {3 \over 2}\)

Câu 1: Cho phương trình \(3x^2 +7x + 4 = 0.\)

a) Xác định các hệ số \(a, b, c\) rồi tính \(a - b + c.\)

b) Chứng tỏ rằng \( x_1 = -1\) là một nghiệm của phương trình.

c) Dùng định lý Vi-ét để tìm \(x_2.\)

Hướng dẫn giải

a) Phương trình \(3x^2 +7x + 4 = 0\) có các hệ số \(a = 3; b = 7; c = 4\)

\( \Rightarrow  a - b + c = 3 - 7 + 4 = 0\)

b) Thay \(x = -1\) vào phương trình ta được:

\(3.(-1)^2 +7.(-1) + 4 = 0 \Leftrightarrow 0=0\) (luôn đúng)

Vậy \(x_1 = -1\) là một nghiệm của phương trình

c) Theo định lí Vi-et ta có:

\(\displaystyle{x_1}.{x_2} = {c \over a} = {4 \over 3} \Rightarrow (-1).{x_2} = {4 \over 3} \Rightarrow {x_2} = {-4 \over 3}\)

Câu 2: Tìm hai số biết tổng của chúng bằng \(1\) và tích của chúng bằng \(5.\)

Hướng dẫn giải

Hai số cần tìm là hai nghiệm của phương trình \(x^2-x+5=0\) (*)

Ta có \( \Delta=(-1)^2-4.1.5=-19<0\) nên phương trình (*) vô nghiệm.

Do đó không có hai số thỏa mãn điều kiện đề bài.

Câu 1: Giải phương trình rồi kiểm nghiệm hệ thức Vi-ét:

a) \(3{x^2} - 2x - 5 = 0\)

b) \(5{x^2} + 2x - 16 = 0\)

c) \(\displaystyle {1 \over 3}{x^2} + 2x - {{16} \over 3} = 0\)

d) \(\displaystyle {1 \over 2}{x^2} - 3x + 2 = 0\)

Câu 2: Không giải phương trình, dùng hệ thức Vi-ét, hãy tính tổng và tích các nghiệm của mỗi phương trình:

a) \(2{x^2} - 7x + 2 = 0\)

b) \(2{x^2} + 9x + 7 = 0\)

c) \(\left( {2 - \sqrt 3 } \right){x^2} + 4x + 2 + \sqrt 2  = 0\)

d) \(1,4{x^2} - 3x + 1,2 = 0\)

Câu 3: Tính nhẩm nghiệm của phương trình:

a) \(7{x^2} - 9x + 2 = 0\)

b) \(23{x^2} - 9x - 32 = 0\)

c) \(1975{x^2} + 4x - 1979 = 0\)

d) \(\left( {5 + \sqrt 2 } \right){x^2} + \left( {5 - \sqrt 2 } \right)x - 10 \)\(\,= 0\)

Câu 4: Dùng hệ thức Vi-ét để tìm nghiệm \(x_2\) của phương trình rồi tìm giá trị của \(m\) trong mỗi trường hợp sau:

a) Phương trình \({x^2} + mx - 35 = 0\), biết nghiệm \(x_1= 7\).

b) Phương trình \({x^2} - 13x + m = 0,\) biết nghiệm \(x_1 = 12,5\).

c) Phương trình \(4{x^2} + 3x - {m^2} + 3m = 0,\) biết nghiệm \(x_1 = -2\).

Câu 1: Cho phương trình ẩn x có tham số m: \(x^2-(2m+3)x+m^2-3=0\)

Giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm đều âm là:

A. \(-\frac{7}{4}\leq m\leq \sqrt{3}\)

B. \(-\frac{7}{4}\leq m<-\sqrt{3}\)

C. \(-\frac{7}{4}\leq m\leq -\sqrt{3}\)

D. \(m\geq \frac{-7}{4}\)

Câu 2: Cho phương trình \(-x^2+8x-17=0\). Tổng và tích của 2 nghiệm phương trình trên là: 

A. \(S=8; P=17\)

B. \(S=-8; P=17\)

C. \(S=8; P=-17\)

D. Không tìm được

Câu 3: Tổng và tích 2 nghiệm của phương trình \(x^2+6x-2017=0\) lần lượt là:

A. \(S=-6;P=2017\)

B. \(S=6;P=-2017\)

C. \(S=6;P=2017\)

D. \(S=-6;P=-2017\)

Câu 4: Viết phương trình bậc hai, biết phương trình đó có nghiệm kép \(x=5\)

A. \(x^2+10x+25=0\)

B. \(x^2+10x-25=0\)

C. \(x^2-10x+25=0\)

D. \(x^2-10x-25=0\)

Câu 5: Cho phương trình bậc hai ẩn x tham số m: \(x^2-(2m+1)x+m^2+m-6=0\)

Giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu là:

A. \(m>2\)

B. \(m>-3\)

C. \(m>2\) hoặc \(m<-3\) 

D. \(-3

Qua bài học này, học sinh cần:

• Phát biểu được hệ thức Vi-ét. Biết cách biểu diễn tổng các bình phương, các lập phương của hai nghiệm qua các hệ số của phương trình.
• Vận dụng được những ứng dụng của hệ thức Vi-ét để:
• Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai trong các trường hợp a + b + c = 0; a - b + c = 0 hoặc các trường hợp mà tổng và tích của hai nghiệm là những số nguyên với giá trị tuyệt đối không lớn lắm.
• Tìm được hai số biết tổng và tích của chúng.