Toán 9 Chương 4 Bài 6: Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

Nhắc lại bài cũ về phương trình bậc hai $ax^2+bx+c=0(a\neq 0)$ có 2 nghiệm phân biệt

$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}; x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}$

Ta có: $x_1+x_2=\frac{-2b+\sqrt{\Delta }-\sqrt{\Delta }}{2a}=-\frac{b}{a}$

$x_1.x_2=\frac{b^2-\Delta }{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}$

Định lý Vi-ét

Nếu $x_1;x_2$ là hai nghiệm của phương trình $ax^2+bx+c=0 (a\neq 0)$ thì:

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ và $x_1.x_2=\frac{c}{a}$

Tổng quát

• Nếu phương trình $ax^2+bx+c=0 (a\neq 0)$ có $a+b+c=0$ thì phương trình có một nghiệm là $x_1=1$ và nghiệm kia là $x_2=\frac{c}{a}$.
• Nếu phương trình $ax^2+bx+c=0 (a\neq 0)$ có $a-b+c=0$ thì phương trình có một nghiệm là $x_1=-1$ và nghiệm kia là $x_2=-\frac{c}{a}$.

Tìm 2 số khi biết tổng của chúng là S và tích của chúng là P. Giả sử 1 số là x thì số còn lại là $S-x$

Vì thế, tích của chúng được viết lại là: $x(S-x)=P\Leftrightarrow x^2-Sx+P=0$

Đặt $\Delta =S^2-4P$

Câu 1: Hãy tính $x_1+x_2;x_1.x_2$

$\displaystyle{x_1} = {{ - b + \sqrt \Delta  } \over {2a}};\,{x_2} = {{ - b - \sqrt \Delta  } \over {2a}}$

Hướng dẫn giải 

$\eqalign{& {x_1} + {x_2} = {{ - b + \sqrt \Delta  } \over {2a}} + {{ - b - \sqrt \Delta  } \over {2a}} = {{ - 2b} \over {2a}} = {{ - b} \over a}  \cr & {x_1}.{x_2} = \left( {{{ - b + \sqrt \Delta  } \over {2a}}} \right).\left( {{{ - b - \sqrt \Delta  } \over {2a}}} \right) = {{ {(-b)^2} - \Delta } \over {4{a^2}}}  \cr &  = {{{b^2} - \left( {{b^2} - 4ac} \right)} \over {4{a^2}}} = {{4ac} \over {4{a^2}}} = {c \over a} \cr}$  

Câu 2: Cho phương trình $2x^2 – 5x + 3 = 0.$

a) Xác định các hệ số $a, b, c$ rồi tính $a + b + c.$

b) Chứng tỏ rằng $x_1 = 1$ là một nghiệm của phương trình.

c) Dùng định lý Vi-ét để tìm $x_2.$

Hướng dẫn giải

a) Phương trình $2x^2 – 5x + 3 = 0$ có các hệ số $a = 2; b = -5; c = 3$

$\Rightarrow  a + b + c = 2 - 5 + 3 = 0$

b) Thay $x = 1$ vào phương trình ta được:

$2.1^2 - 5.1 + 3 = 0 \Leftrightarrow 0=0$ (luôn đúng)

Vậy $x_1 = 1$ là một nghiệm của phương trình

c) Theo định lí Vi-et ta có:

$\displaystyle{x_1}.{x_2} = {c \over a} = {3 \over 2} \Rightarrow 1.{x_2} = {3 \over 2} \Rightarrow {x_2} = {3 \over 2}$

Câu 1: Cho phương trình $3x^2 +7x + 4 = 0.$

a) Xác định các hệ số $a, b, c$ rồi tính $a - b + c.$

b) Chứng tỏ rằng $x_1 = -1$ là một nghiệm của phương trình.

c) Dùng định lý Vi-ét để tìm $x_2.$

Hướng dẫn giải

a) Phương trình $3x^2 +7x + 4 = 0$ có các hệ số $a = 3; b = 7; c = 4$

$\Rightarrow  a - b + c = 3 - 7 + 4 = 0$

b) Thay $x = -1$ vào phương trình ta được:

$3.(-1)^2 +7.(-1) + 4 = 0 \Leftrightarrow 0=0$ (luôn đúng)

Vậy $x_1 = -1$ là một nghiệm của phương trình

c) Theo định lí Vi-et ta có:

$\displaystyle{x_1}.{x_2} = {c \over a} = {4 \over 3} \Rightarrow (-1).{x_2} = {4 \over 3} \Rightarrow {x_2} = {-4 \over 3}$

Câu 2: Tìm hai số biết tổng của chúng bằng $1$ và tích của chúng bằng $5.$

Hướng dẫn giải

Hai số cần tìm là hai nghiệm của phương trình $x^2-x+5=0$ (*)

Ta có $\Delta=(-1)^2-4.1.5=-19<0$ nên phương trình (*) vô nghiệm.

Do đó không có hai số thỏa mãn điều kiện đề bài.

Câu 1: Giải phương trình rồi kiểm nghiệm hệ thức Vi-ét:

a) $3{x^2} - 2x - 5 = 0$

b) $5{x^2} + 2x - 16 = 0$

c) $\displaystyle {1 \over 3}{x^2} + 2x - {{16} \over 3} = 0$

d) $\displaystyle {1 \over 2}{x^2} - 3x + 2 = 0$

Câu 2: Không giải phương trình, dùng hệ thức Vi-ét, hãy tính tổng và tích các nghiệm của mỗi phương trình:

a) $2{x^2} - 7x + 2 = 0$

b) $2{x^2} + 9x + 7 = 0$

c) $\left( {2 - \sqrt 3 } \right){x^2} + 4x + 2 + \sqrt 2  = 0$

d) $1,4{x^2} - 3x + 1,2 = 0$

Câu 3: Tính nhẩm nghiệm của phương trình:

a) $7{x^2} - 9x + 2 = 0$

b) $23{x^2} - 9x - 32 = 0$

c) $1975{x^2} + 4x - 1979 = 0$

d) $\left( {5 + \sqrt 2 } \right){x^2} + \left( {5 - \sqrt 2 } \right)x - 10$$\,= 0$

Câu 4: Dùng hệ thức Vi-ét để tìm nghiệm $x_2$ của phương trình rồi tìm giá trị của $m$ trong mỗi trường hợp sau:

a) Phương trình ${x^2} + mx - 35 = 0$, biết nghiệm $x_1= 7$.

b) Phương trình ${x^2} - 13x + m = 0,$ biết nghiệm $x_1 = 12,5$.

c) Phương trình $4{x^2} + 3x - {m^2} + 3m = 0,$ biết nghiệm $x_1 = -2$.

Câu 1: Cho phương trình ẩn x có tham số m: $x^2-(2m+3)x+m^2-3=0$

Giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm đều âm là:

A. $-\frac{7}{4}\leq m\leq \sqrt{3}$

B. $-\frac{7}{4}\leq m<-\sqrt{3}$

C. $-\frac{7}{4}\leq m\leq -\sqrt{3}$

D. $m\geq \frac{-7}{4}$

Câu 2: Cho phương trình $-x^2+8x-17=0$. Tổng và tích của 2 nghiệm phương trình trên là: 

A. $S=8; P=17$

B. $S=-8; P=17$

C. $S=8; P=-17$

D. Không tìm được

Câu 3: Tổng và tích 2 nghiệm của phương trình $x^2+6x-2017=0$ lần lượt là:

A. $S=-6;P=2017$

B. $S=6;P=-2017$

C. $S=6;P=2017$

D. $S=-6;P=-2017$

Câu 4: Viết phương trình bậc hai, biết phương trình đó có nghiệm kép $x=5$

A. $x^2+10x+25=0$

B. $x^2+10x-25=0$

C. $x^2-10x+25=0$

D. $x^2-10x-25=0$

Câu 5: Cho phương trình bậc hai ẩn x tham số m: $x^2-(2m+1)x+m^2+m-6=0$

Giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu là:

A. $m>2$

B. $m>-3$

C. $m>2$ hoặc $m<-3$ 

D. \(-3

Qua bài học này, học sinh cần:

• Phát biểu được hệ thức Vi-ét. Biết cách biểu diễn tổng các bình phương, các lập phương của hai nghiệm qua các hệ số của phương trình.
• Vận dụng được những ứng dụng của hệ thức Vi-ét để:
• Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai trong các trường hợp a + b + c = 0; a - b + c = 0 hoặc các trường hợp mà tổng và tích của hai nghiệm là những số nguyên với giá trị tuyệt đối không lớn lắm.
• Tìm được hai số biết tổng và tích của chúng.