Toán 9 Chương 3 Bài 6: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình (tiếp theo)

Để giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình, chúng ta làm theo các bước sau:

Bước 1: Lập hệ phương trình

• Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn
• Biểu đạt các đại lượng khác nhau theo ẩn
• Dựa vào đề bài toán, lập phương trình theo dạng đã học

Bước 2: Giải hệ phương trình

Bước 3: So sánh kết quả tìm được và chọn nghiệm thích hợp

Dạng toán chuyển động

Dạng toán kết hợp các đại lượng hình học

Dạng toán làm việc chung 1 tập thể, làm việc cá nhân

Dạng toán nước chảy

Dạng toán tìm số

Dạng toán kết hợp vật lý, hóa học

Câu 1: Giải hệ phương trình (II) bằng cách đặt ẩn phụ ( \(u = \dfrac{1}{x};v = \dfrac{1}{y}\)) rồi trả lời bài toán đã cho.

\(\left( {II} \right)\,\,\left\{ \matrix{{\displaystyle{1 \over x}} = {\displaystyle{3 \over 2}}.{\displaystyle{1 \over y}} \hfill \cr {\displaystyle{1 \over x}} + {\displaystyle{1 \over y}} = {\displaystyle{1 \over {24}}} \hfill \cr}  \right.\)

Hướng dẫn giải: 

Đặt \(u = \dfrac{1}{x};v = \dfrac{1}{y}\), hệ (II) trở thành:

\(\eqalign{& \left( {II} \right)\,\,\left\{ \matrix{u = {\displaystyle{3 \over 2}}.v \hfill \cr u + v = {\displaystyle{1 \over {24}}} \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{u = {\displaystyle{3 \over 2}}v \hfill \cr {\displaystyle{3 \over 2}}v + v = {\displaystyle{1 \over {24}}} \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{u = {\displaystyle{3 \over 2}}v \hfill \cr {\displaystyle{5 \over 2}}v = {\displaystyle{1 \over {24}}} \hfill \cr}  \right.  \cr &  \Leftrightarrow \left\{ \matrix{u = {\displaystyle{3 \over 2}}v \hfill \cr v = {\displaystyle{1 \over {60}}} \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{u = {\displaystyle{1 \over {40}}} \hfill \cr v = {\displaystyle{1 \over {60}}} \hfill \cr}  \right. \cr} \) 

Khi đó ta có: 

\(\left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{{40}}\\
\dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{{60}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 40\\
y = 60
\end{array} \right.\) 

Vậy số ngày để đội A làm 1 mình xong đoạn đường đó là 40 ngày

Số ngày để đội B làm 1 mình xong đoạn đường đó là 60 ngày 

Câu 2: Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi là \(250m\). Tính diện tích của thửa ruộng ấy biết rằng dài giảm 3 lần và rộng tăng 2 lần thì chu vi không đổi.

Hướng dẫn giải: Gọi chiều rộng và chiều dài của thửa ruộng đó lần lượt là \(x,y(<0x

Theo đề, ta có hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} x+y=\frac{250}{2}\\ 2x+\frac{y}{3}=\frac{250}{2} \end{matrix}\right.\)

Giải hệ ta được \(\left\{\begin{matrix} x=50\\ y=75 \end{matrix}\right.\)

Vậy diện tích thửa ruông là \(xy=50.75=3750(m^2)\)

Câu 1: Hãy giải bài toán trên bằng cách khác (gọi x là số phần công việc làm trong một ngày của đội A; y là số phần công việc làm trong một ngày của đội B). Em có nhận xét gì về cách giải này? 

Hướng dẫn giải:

Gọi x là số phần công việc làm trong 1 ngày của đội A 

y là số phần công việc làm trong 1 ngày của đội B (x;y>0)

Một ngày cả hai đội làm được \(\dfrac {1}{24}\) công việc nên ta có phương trình:

\(x + y = \dfrac {1}{24}\)

Mỗi ngày phần việc của đội A gấp rưỡi đội B nên ta có phương trình

\(x=1,5y\)

Do đó, ta có hệ phương trình:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x + y = \dfrac{1}{{24}}\\
x = 1,5y
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 1,5y\\
1,5y + y = \dfrac{1}{{24}}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 1,5y\\
2,5y = \dfrac{1}{{24}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = \dfrac{1}{{60}}\\
x = 1,5.\dfrac{1}{{60}}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = \dfrac{1}{{60}}\\
x = \dfrac{1}{{40}}
\end{array} \right.\left( {tmđk} \right)
\end{array}\)

Trong 1 ngày, đội A làm được \(\dfrac{1}{{40}}\) công việc nên đội A làm 1 mình sẽ hoàn thành công việc trong 40 ngày

Trong 1 ngày, đội B làm được \(\dfrac{1}{{60}}\) công việc nên đội B làm 1 mình sẽ hoàn thành công việc trong 60 ngày

Nhận xét: 

Ở cách giải này thì chúng ta không cần đặt ẩn phụ để giải hệ phương trình.

Câu 2: Cho tam giác vuông, biết rằng tăng mỗi cạnh góc vuông lên \(2cm\) thì diện tích tăng lên \(17cm^2\). Nếu giảm lần lượt các cạnh góc vuông một cạnh \(3cm\), một cạnh \(1cm\) thì diện tích giảm đi \(11cm^2\). Tìm các cạnh của tam giác vuông đó.

Hướng dẫn giải: 

Gọi hai cạnh góc vuông là \(x,y(x\geq y>3)\)

Theo đề: tăng mỗi cạnh góc vuông lên \(2cm\) thì diện tích tăng lên \(17cm^2\), ta có phương trình:

\(\frac{1}{2}(x+2)(y+2)=\frac{1}{2}xy+17\)

Giảm lần lượt các cạnh góc vuông một cạnh \(3cm\), một cạnh \(1cm\) thì diện tích giảm đi \(11cm^2\), ta có phương trình:

\(\frac{1}{2}(x-3)(y-1)=\frac{1}{2}xy-11\)

Giải hệ hai phương trình ta có: \(\left\{\begin{matrix} x+y=15\\ x-3y=25 \end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=5\\ y=10 \end{matrix}\right.\)

Vậy độ dài 3 cạnh của tam giác đó là \(5;10;5\sqrt{5} (cm)\)

Câu 1: Một sân trường hình chữ nhật có chu vi 340m. Ba lần chiều dài hơn bốn lần chiều rộng là 20m. Tính chiều dài và chiều rộng của sân trường.

Câu 2: Trong phòng học có một số ghế dài. Nếu xếp mỗi ghế ba học sinh thì sáu học sinh không có chỗ. Nếu xếp mỗi ghế bốn học sinh thì thừa một ghế. Hỏi lớp có bao nhiêu ghế và bao nhiêu học sinh?

Câu 3: Hai người thợ cùng xây một bức tường trong 7 giờ 12 phút thì xong (vôi vữa và gạch có công nhân khác vận chuyển). Nếu người thứ nhất làm trong 5 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì cả hai xây được \({3 \over 4}\) bức tường. Hỏi mỗi người làm một mình thì bao lâu xây xong bức tường?

Câu 4: Trên một cánh đồng cấy 60 ha lúa giống mới và 40 ha lúa giống cũ. Thu hoạch được tất cả 460 tấn thóc). Hỏi năng suất mỗi loại lúa trên một ha là bao nhiêu biết rằng 3 ha trồng lúa mới thu hoạch được ít hơn 4 ha trồng lúa cũ là 1 tấn.

Câu 1: Trong tháng đầu, hai tổ công nhân sản xuất 800 chi tiết máy. Sang tháng thứ hai, tổ I vượt mức 15%, tổ II vượt mức 20%. Vì vậy đã sản xuất được 945 chi tiết máy. Vậy trong tháng đầu, mỗi tổ công nhân sản xuất được:

A. \(600;400\)

B. \(400;600\)

C. \(300;500\)

D. \(500;300\)

Câu 2: Một miếng đất hình chữ nhật có chu vi là 500m. Tính diện tích miếng đất biết rằng nếu giảm chiều dài 3 lần, tăng 2 lần chiều rộng thì chu vi không đổi:

A. \(1500(m^2)\)

B. \(3000(m^2)\)

C. \(15000(m^2)\)

D. \(30000(m^2)\)

Câu 3: Hai vòi nước chảy chung vào một bể thì sau \(4\frac{4}{5}\) giờ thì đầy bể. Mỗi giờ, lượng nước vòi I chảy bằng \(\frac{3}{2}\) lượng nước ở vòi II. Vậy mỗi vòi chảy riêng thì bao lâu đầy bể?

A. Vòi I là 8h, vòi II là 12 giờ

B. Vòi I là 12h, vòi II là 8 giờ

C. Vòi I là 12h, vòi II là 16 giờ

D. Vòi I là 16h, vòi II là 12 giờ

Câu 4: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục là 3 và tích hai chữ số đó lớn hơn tổng hai chữ số là 17.

A. \(36\)

B. \(47\)

C. \(58\)

D. \(69\)

Câu 5: Tìm một số có hai chữ số, biết rằng chữ số hàng đơn vị bé hơn chữ số hàng chục là 7, tổng bình phương của chữ số hàng chục và đơn vị là 65.

A. 81

B. 92

C. 70

D. 69

Qua bài học giúp học sinh:

• Nắm được cách giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
• HS có kĩ năng giải các dạng toán trong SGK.