Toán 8 Chương 3 Bài 5: Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Điều kiện xác định của phương trình là tập hợp các giá trị của ẩn làm cho tất cả các mẫu trong phương trình đều khác 0. Điều kiện xác định của phương trình viết tắt là ĐKXĐ.

• Bước 1: Tìm điều kiện xác của phương trình
• Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.
• Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.
• Bước 4: Kết luận.

Trong các giá trị của ẩn tìm được ở bước 3, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định chính là các nghiệm của phương trình đã cho.

Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình sau:

\(\eqalign{& a)\,\,{x \over {x - 1}} = {{x + 4} \over {x + 1}}  \cr & b)\,\,{3 \over {x - 2}} = {{2x - 1} \over {x - 2}} - x \cr} \)

Hướng dẫn giải

a) \(x – 1 ≠ 0\) khi \(x ≠ 1\)

\(x + 1 ≠ 0\) khi \(x ≠ - 1\)

Vậy ĐKXĐ của phương trình \(\dfrac{x}{{x - 1}} = \dfrac{{x + 4}}{{x + 1}}\)  là \(x ≠ 1\) và \(x ≠ - 1\)

b) \(x – 2 ≠ 0\) khi \(x ≠ 2\)

Vậy ĐKXĐ của phương trình \(\dfrac{3}{{x - 2}} = \dfrac{{2x - 1}}{{x - 2}} - x\) là \(x ≠ 2\)

Giải các phương trình sau

\(\eqalign{& a)\,\,{x \over {x - 1}} = {{x + 4} \over {x + 1}}  \cr & b)\,\,{3 \over {x - 2}} = {{2x - 1} \over {x - 2}} - x \cr} \)

Hướng dẫn giải

a) \(\dfrac{x}{{x - 1}} = \dfrac{{x + 4}}{{x + 1}}\)

ĐKXĐ: \(x\ne 1\) và \(x\ne -1\) 

\( \Leftrightarrow \dfrac{{x\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 4} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)

\(\eqalign{
& \Rightarrow x\left( {x + 1} \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 4} \right) \cr
& \Leftrightarrow {x^2} + x = {x^2} + 4x - x - 4 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} + x = {x^2} + 3x - 4 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} + x - {x^2} - 3x = - 4 \cr
& \Leftrightarrow - 2x = - 4 \cr
& \Leftrightarrow x = \left( { - 4} \right):\left( { - 2} \right) \cr
& \Leftrightarrow x = 2 \text{(thỏa mãn ĐKXĐ)}\cr} \)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S = \{2\}\)

b) \(\dfrac{3}{{x - 2}} = \dfrac{{2x - 1}}{{x - 2}} - x\)

ĐKXĐ: \(x\ne2\)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {3 \over {x - 2}} = {{2x - 1} \over {x - 2}} - {{x\left( {x - 2} \right)} \over {x - 2}} \cr
& \Rightarrow 3 = 2x - 1 - x\left( {x - 2} \right) \cr
& \Leftrightarrow 3 = 2x - 1 - {x^2} + 2x \cr
& \Leftrightarrow 3 = - {x^2} + 4x - 1 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 + 1 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} - 2.x.2 + {2^2} = 0 \cr
& \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} = 0 \cr
& \Leftrightarrow x = 2\,\text{ (loại)} \cr} \)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S = \phi \)

Câu 1: Khi giải phương trình \(\displaystyle{{2 - 3x} \over { - 2x - 3}} = {{3x + 2} \over {2x + 1}}\) , bạn Hà làm như sau:

Theo định nghĩa hai phân thức bằng nhau, ta có :

\(\displaystyle  {{2 - 3x} \over { - 2x - 3}} = {{3x + 2} \over {2x + 1}}  \)

\(\displaystyle  \Leftrightarrow \left( {2 - 3x} \right)\left( {2x + 1} \right) \) \(\displaystyle= \left( {3x + 2} \right)\left( { - 2x - 3} \right)  \)

\(\displaystyle  \Leftrightarrow  - 6{x^2} + x + 2 =  - 6{x^2} - 13x - 6  \)

\(\displaystyle \Leftrightarrow 14x =  - 8    \Leftrightarrow x =  - {4 \over  7}  \)

Vậy phương trình có nghiệm \(\displaystyle x =  - {4 \over 7}\)

Em hãy cho biết ý kiến về lời giải của bạn Hà.

Câu 2: Các khẳng định sau đây đúng hay sai: 

a) Phương trình \(\displaystyle{{4x - 8 + \left( {4 - 2x} \right)} \over {{x^2} + 1}} = 0\) có nghiệm là \(x = 2\).

b) Phương trình \(\displaystyle{{\left( {x + 2} \right)\left( {2x - 1} \right) - x - 2} \over {{x^2} - x + 1}} = 0\) có tập nghiệm là \(S = \{ -2; 1 \}\).

c) Phương trình \(\displaystyle{{{x^2} + 2x + 1} \over {x + 1}} = 0\) có nghiệm là \(x = -1\).

d) Phương trình \(\displaystyle{{{x^2}\left( {x - 3} \right)} \over x} = 0\) có tập nghiệm là \(S = \{ 0; 3 \}\).

Câu 3: Giải các phương trình sau:

a) \(\displaystyle{{1 - x} \over {x + 1}} + 3 = {{2x + 3} \over {x + 1}}\)

b) \(\displaystyle{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}} \over {2x - 3}} - 1 = {{{x^2} + 10} \over {2x - 3}}\)

c) \(\displaystyle{{5x - 2} \over {2 - 2x}} + {{2x - 1} \over 2} = 1 - {{{x^2} + x - 3} \over {1 - x}}\)

Câu 4

a) Tìm \(x\) sao cho giá trị của biểu thức \(\displaystyle{{2{x^2} - 3x - 2} \over {{x^2} - 4}}\) bằng \(2.\)

b) Tìm \(x\) sao cho giá trị của hai biểu thức \(\displaystyle{{6x - 1} \over {3x + 2}}\) và \(\displaystyle{{2x + 5} \over {x - 3}}\) bằng nhau. 

c) Tìm \(y\) sao cho giá trị của hai biểu thức \(\displaystyle{{y + 5} \over {y - 1}} - {{y + 1} \over {y - 3}}\) và \(\displaystyle{{ - 8} \over {\left( {y - 1} \right)\left( {y - 3} \right)}}\) bằng nhau.

Câu 1: Điều kiện xác định của phương trình \(\frac{x}{{x - 2}} - \frac{{2x}}{{{x^2} - 1}} = 0\) là 

A. \(x \ne 1;x \ne  - 2\)

B. \(x \ne 0\)

C. \(x \ne 2\) và \(x \ne  \pm 1\)

D. \(x \ne  - 2;x \ne 1\)

Câu 2: Số nghiệm của phương trình \(\frac{{{\rm{x - 5}}}}{{x - 1}} + \frac{2}{{x - 3}} = 1\) là:

A. 3

B. 2

C. 0

D. 1

Câu 3: Điều kiện xác định của phương trình \(\frac{1}{{x - 2}} + 3 = \frac{{3 - x}}{{x - 2}}\) là 

A. \(x \ne 3\)

B. \(x \ne 2\)

C. \(x \ne -2\)

D. \(x \ne -3\)

Câu 4: Phương trình \(\frac{{6{\rm{x}}}}{{9 - {x^2}}} = \frac{x}{{x + 3}} - \frac{3}{{3 - x}}\) có nghiệm là

A. x = -3

B. x = -2

C. vô nghiệm 

D. vô số nghiệm 

Câu 5: Phương trình \(\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {{x^2} - 9} \right) = 0\) có bao nhiêu nghiệm 

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

Qua bài học này, các em nắm được một số nội dung chính như sau:

• Khái niệm điều kiện xác định của một phương trình, cách tìm điều kiện xác định của phương trình.
• Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu