Toán 8 Chương 2 Bài 5: Phép cộng các phân thức đại số

Quy tắc: Muốn cộng hai phân thức cùng mẫu thức ta cộng các tử thức với nhau, giữ nguyên mẫu thức.

\( \dfrac{A}{B}+\dfrac{C}{B}=\dfrac{A+C}{B}\)

Quy tắc: Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.

\( \dfrac{A}{B}+\dfrac{C}{D}=\dfrac{AD}{BD}+\dfrac{CB}{DB}=\dfrac{AD+BC}{BD}\)

Phép cộng các phân thức cũng có các tính chất sau:

- Giao hoán: \( \dfrac{A}{B}+\dfrac{C}{D}=\dfrac{C}{D}+\dfrac{A}{B}\)

- Kết hợp: \(\left( {\dfrac{A}{B} + \dfrac{C}{D}} \right) + \dfrac{E}{F} = \dfrac{A}{B} + \left( {\dfrac{C}{D} + \dfrac{E}{F}} \right)\)

Cộng các phân thức cùng mẫu:

a.\(\frac{{x - 5}}{5} + \frac{{1 - x}}{5}\)

b.\(\frac{{{x^2} - x}}{{xy}} + \frac{{1 - 4x}}{{xy}}\)

c.\(\frac{{5xy - 3x}}{{2{x^2}{y^3}}} + \frac{{5x - 7xy}}{{2{x^2}{y^3}}}\)

Hướng dẫn giải

a.

\(\begin{array}{l} \frac{{x - 5}}{5} + \frac{{1 - x}}{5}\\ = \frac{{x - 5 + 1 - x}}{5}\\ = \frac{{ - 4}}{5} \end{array}\)

b.

\(\begin{array}{l} \frac{{{x^2} - x}}{{xy}} + \frac{{1 - 4x}}{{xy}}\\ = \frac{{{x^2} - x + 1 - 4x}}{{xy}}\\ = \frac{{{x^2} - 5x + 1}}{{xy}} \end{array}\)

c.

\(\begin{array}{l} \frac{{5xy - 3x}}{{2{x^2}{y^3}}} + \frac{{5x - 7xy}}{{2{x^2}{y^3}}}\\ = \frac{{5xy - 3x + 5x - 7xy}}{{2{x^2}{y^3}}}\\ = \frac{{2x - 2xy}}{{2{x^2}{y^3}}}\\ = \frac{{2x(1 - y)}}{{2{x^2}{y^3}}}\\ = \frac{{1 - y}}{{x{y^3}}} \end{array}\)

Thực hiện quy đồng mẫu số rồi cộng các phân thức sau:

a. \(\frac{{1 - 2x}}{{2x}} + \frac{{2x}}{{2x - 1}} + \frac{1}{{4{x^2} - 2x}}\)  

b. \(\frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 2x}} + \frac{6}{{6 - 3x}} + \frac{1}{{x + 2}}\)  

Hướng dẫn giải

a.

\(\begin{array}{l} \frac{{1 - 2x}}{{2x}} + \frac{{2x}}{{2x - 1}} + \frac{1}{{4{x^2} - 2x}}\\ = \frac{{\left( {1 - 2x} \right)\left( {2x - 1} \right)}}{{2x\left( {2x - 1} \right)}} + \frac{{2x.2x}}{{2x\left( {2x - 1} \right)}} + \frac{1}{{2x\left( {2x - 1} \right)}}\\ = \frac{{\left( { - 4{x^2} + 4x - 1} \right) + 4{x^2} + 1}}{{2x\left( {2x - 1} \right)}}\\ = \frac{{4x}}{{2x\left( {2x - 1} \right)}}\\ = \frac{2}{{2x - 1}} \end{array}\)

b.

\(\begin{array}{l} \frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 2x}} + \frac{6}{{6 - 3x}} + \frac{1}{{x + 2}}\\ = \frac{{3{x^2}\left( {x + 2} \right)}}{{3x\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \frac{{ - 6x\left( {x + 2} \right)}}{{3x\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \frac{{3x\left( {x - 2} \right)}}{{3x\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\\ = \frac{{3{x^3} + 6{x^2} - 6{x^2} - 12x + 3{x^2} - 6x}}{{3x\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\\ = \frac{{3{x^3} + 3{x^2} - 18x}}{{3x\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\\ = \frac{{3x\left( {{x^2} + x - 6} \right)}}{{3x\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\\ = \frac{{{x^2} - 2x + 3x - 6}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\\ = \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\\ = \frac{{x + 3}}{{x + 2}} \end{array}\)

Tính A:

\(A = \frac{{2x}}{{{x^2} + 2xy}} + \frac{y}{{xy - 2{y^2}}} + \frac{4}{{{x^2} - 4{y^2}}}\)

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(\begin{array}{l} A = \frac{{2x}}{{{x^2} + 2xy}} + \frac{y}{{xy - 2{y^2}}} + \frac{4}{{{x^2} - 4{y^2}}}\\ = \frac{{2xy\left( {x - 2y} \right)}}{{xy\left( {x - 2y} \right)\left( {x + 2y} \right)}} + \frac{{xy\left( {x + 2y} \right)}}{{xy\left( {x - 2y} \right)\left( {x + 2y} \right)}} + \frac{{4y}}{{xy\left( {x - 2y} \right)\left( {x + 2y} \right)}}\\ = \frac{{2xy\left( {x - 2y} \right) + xy\left( {x + 2y} \right) + 4xy}}{{xy\left( {x - 2y} \right)\left( {x + 2y} \right)}}\\ = \frac{{\left( {2x - 4y + x + 2y + 4} \right)}}{{\left( {x - 2y} \right)\left( {x + 2y} \right)}}\\ = \frac{{3x - 2y + 4}}{{\left( {x - 2y} \right)\left( {x + 2y} \right)}}\\ = \frac{{3x - 2y + 4}}{{\left( {x - 2y} \right)\left( {x + 2y} \right)}} \end{array}\)

Câu 1: Cộng các phân thức cùng mẫu thức

a) \(\displaystyle {{1 - 2x} \over {6{x^3}y}} + {{3 + 2y} \over {6{x^3}y}} + {{2x - 4} \over {6{x^3}y}}\)

b) \(\displaystyle {{{x^2} - 2} \over {x{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} + {{2 - x} \over {x{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)

c) \(\displaystyle {{3x + 1} \over {{x^2} - 3x + 1}} + {{{x^2} - 6x} \over {{x^2} - 3x + 1}}\)

d) \(\displaystyle {{{x^2} + 38x + 4} \over {2{x^2} + 17x + 1}} + {{3{x^2} - 4x - 2} \over {2{x^2} + 17x + 1}}\)

Câu 2: Cộng các phân thức khác mẫu thức:

a) \(\displaystyle {5 \over {6{x^2}y}} + {7 \over {12x{y^2}}} + {{11} \over {18xy}}\)

b) \(\displaystyle {{4x + 2} \over {15{x^3}y}} + {{5y - 3} \over {9{x^2}y}} + {{x + 1} \over {5x{y^3}}}\)

c) \(\displaystyle {3 \over {2x}} + {{3x - 3} \over {2x - 1}} + {{2{x^2} + 1} \over {4{x^2} - 2x}}\)

Câu 3: Dùng quy tắc đổi dấu để tìm mẫu thức chung rồi thực hiện phép cộng:

a) \(\displaystyle {4 \over {x + 2}} + {2 \over {x - 2}} + {{5x - 6} \over {4 - {x^2}}}\)

b) \(\displaystyle {{1 - 3x} \over {2x}} + {{3x - 2} \over {2x - 1}} + {{3x - 2} \over {2x - 4{x^2}}}\)

Câu 4: Cộng các phân thức: 

a) \(\dfrac{1}{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)}}\) + \(\dfrac{1 }{ {\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}}\) + \(\dfrac{1}{ {\left( {z - x} \right)\left( {x - y} \right)}}\) 

\(\dfrac{4}{{\left( {y - x} \right)\left( {z - x} \right)}} + \dfrac{3}{{\left( {y - x} \right)\left( {y - z} \right)}}\) + \(\dfrac{3 }{{\left( {y - z} \right)\left( {x - z} \right)}}\)

Câu 1: Kết quả của phép tính \(\frac{1}{x} + \frac{1}{{x + 1}} = ?\)

A. \(\frac{2}{{2x + 1}}\,\)

B. \(\frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}}\)

C. \(\frac{{2x + 1}}{{x\left( {x + 1} \right)}}\)

D. \(\,\,\,\,\frac{{x + 1}}{{x\left( {x + 1} \right)}}\)

Câu 2: Chọn ý sai

A.  Muốn cộng hai phân thức có cùng mẫu thức ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức

B.  Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau ta qui đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu vừa tìm được

C.  Muốn cộng hai phân thức có cùng mẫu thức ta cộng các tử thức với nhau và cộng các  mẫu thức với nhau

D. Hai phân thức được gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng 0

Câu 3: Mẫu thức chung của ba phân thức \(\frac{{{x^3}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x - z} \right)}};\frac{{{y^3}}}{{\left( {y - x} \right)\left( {y - z} \right)}};\frac{{{z^3}}}{{\left( {z - x} \right)\left( {z - y} \right)}}\) là?

A. \(\left( {x - y} \right)\left( {x - z} \right)\left( {y - z} \right)\)

B. \(\left( {x - y} \right)\left( {x - z} \right)\)

C. \(\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\)

D. \(\left( {x - z} \right)\left( {y - z} \right)\)

Câu 4: Kết quả của phép tính \(\frac{{5x}}{{x - 2}} + \frac{{x + 4}}{{x - 2}} = ?\)

A. \(\frac{{6x + 4}}{{2x - 4}}\)

B. \(\frac{{5x\left( {x + 4} \right)}}{{x - 2}}\)

C. \(\frac{{5x\left( {x + 4} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\)

D. \(\frac{{6x + 4}}{{x - 2}}\)

Câu 5: Điền vào chỗ trống  \(\frac{1}{{{x^2} - 4}} + \frac{5}{{x + 2}} = \frac{{5x - 9}}{{.......}}\)

A. \(({x^2} - 4)(x+2)\)

B. \(x+2\)

C. \({x^2} - 4\)

D. \(x-2\)

Qua bài học này, các em nắm được một số nội dung chính như sau:

• Nắm vững quy tắc cộng các phân thức đại số.
• Biết cách trình bày quá trình thực hiện một phép tính cộng
• Biết nhận xét để có thể áp dụng tính chất giao hoán, kết hợp của phép cộng làm cho