Toán 9 Chương 2 Bài 5: Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

Định lý

Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn

Bài toán: Qua điểm A ngoài đường tròn (O) hãy dựng tiếp tuyến của đường tròn

Cách dựng:

Dựng M là trung điểm AO. Dựng đường tròn tâm M bán kính MO cắt (O) tại B, C. Kẻ AB, AC là các tiếp tuyến của (O)

Câu 1: Cho M và (O). Hãy vẽ tiếp tuyến của (O) đi qua M trong các trường hợp

a) M nằm ngoài đường tròn

b) M nằm trên đường tròn

Hướng dẫn giải

a) Dựng K là trung điểm OM. Sau đó vẽ đường tròn tâm K bán kính KM. (K;KM) cắt (O) tại A, B. Khi đó MA, MB chính là tiếp tuyến của đường tròn

b) Nối bán kính OM. Vẽ đường thẳng d vuông góc với OM tại M. d chính là tiếp tuyến của (O).

Câu 2: Cho (O;12) M cách O 20. Vẽ tiếp tuyến MA (A là tiếp điểm)

1) Tính MA

2) Vẽ dây AB vuông góc với OM. Chứng minh MB là tiếp tuyến

Hướng dẫn giải

1) Áp dụng định lý pi-ta-go: \(MA=\sqrt{MO^2-OA^2}=\sqrt{20^2-12^2}=16\)

2) Gọi H là giao điểm của AB với OM

Xét 2 tam giác OAH và OBH là 2 tam giác vuông tại H; OA=OB=R; OH chung nên \(\Delta OAH=\Delta OBH\Rightarrow HA=HB\)

Tam giác MAB có MH vừa là đường cao vừa là trung tuyến nên MAB cân tại M \(\Rightarrow \widehat{MAH}=\widehat{MBH}\)

ta lại có tam giác OAB cân nên: \(\widehat{OAB}=\widehat{OBA}\). Khi đó: \(\widehat{MBO}=\widehat{MBH}+\widehat{OBA}=\widehat{MAH}+\widehat{OAB}=90^{\circ}\)

Vậy MB là tiếp tuyến

Câu 3: Cho đường tròn (O) đường kính AB. C là một điểm trên đường tròn sao cho \(\widehat{CAB}=30^{\circ}\). M là điểm đối xứng với O qua B. Chứng minh MC là tiếp tuyến của (O)

Hướng dẫn giải

Tam giác ABC vuông tại C. \(\widehat{CAB}=30^{\circ}\Rightarrow \widehat{CBA}=60^{\circ}\) mà \(CO=OB\) nên tam giác COB đều suy ra CB=OB

Tam giác COM có trung tuyến CB và CB=OB=BM nên tam giác COM vuông tại C suy ra MC là tiếp tuyến của (O)

Câu 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là điểm đối xứng với H qua AB, AC. E,D là hình chiếu của H lên AB, AC

Chứng minh rằng: MN là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\widehat{BMA}=\widehat{BME}+\widehat{AME}=\widehat{BHE}+\widehat{AHE}=90^{\circ}\). Tương tự \(\widehat{ANC}=90^o\)

\(\widehat{MAN}=\widehat{MAB}+\widehat{BAC}+\widehat{CAN}=2.\widehat{BAC}=180^o\Rightarrow\) M, A, N thẳng hàng

Gọi K là trung điểm BC. Xét tứ giác MBCN có \(MB\parallel CN\) nên MBCN là hình thang.

KA là đường trung bình của hình thang nên \(KA\perp MN\) tại A. Nên MN là tiếp tuyến của (K;KA) (đường tròn đường kính BC)

Câu 2: Cho tam giác ABC nhọn với CE, BD là đường cao. H là giao điểm của CE và BD. 

a) Chứng minh A,E,H,D cùng thuộc một đường tròn đặt là (O)

b) Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh ME, MD là các tiếp tuyến của (O)

Hướng dẫn giải

a) Các tam giác AEH và ADH đều là các tam giác vuông lần lượt tại E và D với AH là cạnh huyền chung. Gọi O là trung điểm AH khi đó

(O;OA) sẽ đi qua các điểm A, E, H, D

b) Xét tam giác AOE có OA=OE nên tam giác AOE cân tại O suy ra \(\widehat{OEA}=\widehat{OAE}\)     (1)

Gọi F là giao điểm AH với BC. Vì H là trực tâm nên \(AF\perp BC\) tại F.

Ta lại có: \(\widehat{OAE}=\widehat{MCE}\)  ( vì cùng phụ với \(\widehat{MBE}\)). mà \(\widehat{MCE}=\widehat{MEC}\)        (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat{MEC}=\widehat{OEA}\)nên: \(\widehat{MEO}=\widehat{MEC}+\widehat{CEO}=\widehat{OEA}+\widehat{CEO}=90^{\circ}\). Vậy ME là tiếp tuyến

Tương tự cho MD

Câu 1: Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Dùng thước và compa, hãy dựng các điểm B và C thuộc đường tròn (O) sao cho AB và AC là các tiếp tuyến của đường tròn (O).

Câu 2: Cho điểm A nằm trên đường thẳng d, điểm B nằm ngoài đường thẳng d. Dựng đường tròn (O) đi qua A và B nhận đường thẳng d làm tiếp tuyến

Câu 3: Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ đường tròn (B; BA) và đường tròn (C; CA), chúng cắt nhau tại điểm D (khác A). Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của đường tròn (B).

Câu 4: Cho tam giác ABC cân tại A, các đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Vẽ đường tròn (O) có đường kính AH. Chứng minh rằng:

a. Điểm E nằm trên đường tròn (O).

b. DE là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Câu 1: Trong các phát biếu dưới đây phát biểu nào đúng

A. Đường thẳng d được gọi là tiếp tuyến của (O) khi chúng có điêm chung

B. Đường thẳng d được gọi là tiếp tuyến khi d vuông góc với bán kính OA và OA

C. Đường thẳng d được gọi là tiếp tuyến của (O) khi d vuông góc với bán kính OA  và A thuộc đường tròn

D. Đường thẳng d được gọi là tiếp tuyến của (O) khi d vuông góc với OA tại A và OA>R

Câu 2: Cho đường tròn (O). A, B, C là 3 điểm thuộc đường tròn sao cho tam giác ABC cân tại A. Phát biểu nào sau đây đúng

Tiếp tuyến của đường tròn tại A là

A. Đi qua A và vuông góc AB

B. Đi qua A và song song AC

C. Đi qua A và song song BC

D. Đi qua A và vuông góc BC

Câu 3: Cho tam giác ABC có AH là đường cao ( H thuộc BC). Đường tròn (A;AH) sẽ có vị trí như thế nào với các cạnh của tam giác ABC

A. (A;AH) tiếp xúc với AB,AC và cắt BC

B. (A;AH) tiếp xúc với BC, AC và không cắt AB

C. (A;AH) cắt AB, AC và tiếp xúc với BC

D. (A;AH) cắt AB và tiếp xúc với BC, AC

Câu 4: Cho đường tròn (O;15), Dây AB không đi qua tâm. Qua O vẽ đường thẳng vuông góc với AB cắt tiếp tuyến tại A ở C và cắt AB ở D.Biết AB=24. Độ dài OC là: 

A. 12

B. 19

C. 25

D. 32

Câu 5: Cho tam giác ABC có AB=3, AC=4, BC=5. Khi đó:

A. AB là tiếp tuyến của (C;3)

B. AC là tiếp tuyến của (B;3)

C. AB là tiếp tuyến của (B;4)

D. AC là tiếp tuyến của (C;4)

Qua bài học này, các em nắm được một số nọi dung chính như sau:

• Hiểu các dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn.
• Vẽ được tiếp tuyến tại 1 điểm của đường tròn, vẽ được tiếp tuyến đi qua 1 điểm nằm bên ngoài đường tròn.
• Vận dụng được lí thuyết vào giải các bài tập liên quan.