Toán 7 Chương 4 Bài 5: Đa thức

- Đa thức là một tổng của những đơn thức. Mỗi đơn thức trong tổng gọi là một hạng tử của đa thức đó.

Ví dụ:

Đa thức $2x^2-xy+5x^2y-\frac{1}{2}y^2$ là các đa thức. Vì chúng có thể viết lại như sau: $(2x^2)+(-xy)+(5x^2y)+(\frac{-1}{2}y^2)$.

Với các hạng tử $2x^2;(-xy);5x^2y;(\frac{-1}{2}y^2)$

- Thông thường, để cho gọn, người ta thường kí hiệu đa thức bằng các chữ cái in hoa $A,B,C,M,N,P,Q,...$

Chú ý: Mỗi đơn thức được coi là một đa thức.

Để thu gọn đa thức, ta làm như sau:

• Bước 1: Nhóm các đơn thức đồng dạng với nhau.
• Bước 2: Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng trong từng nhóm.

Ví dụ: Thu gọn đa thức

$P = \frac{1}{3}{x^2}y + x{y^2} - xy + \frac{1}{2}x{y^2} - 5xy - \frac{1}{3}{x^2}y$

$P = \left( {\frac{1}{3}{x^2}y - \frac{1}{3}{x^2}y} \right) + \left( {x{y^2} + \frac{1}{2}x{y^2}} \right) + \left( { - xy - 5xy} \right)$

$P = \frac{3}{2}x{y^2} - 6xy$

Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn của đa thức đó.

Ví dụ: 

Đa thức $P=-xy-\frac{-2}{5}x^3+x^3y$ có bậc là $4$ (bậc của $x^3y$ cao nhất trong tất cả các hạng tử).

Chú ý:

• Số 0 cũng được gọi là đa thức không và nó không có bậc.
• Khi tìm bậc của một đa thức, trước hết ta phải thu gọn đa thức đó.

Thu gọn các đa thức và tìm bậc của đa thức

a) $3x{y^2}z + 2{x^2}yz - 4x{y^2}z - 5{x^2}yz - 2xyz$

b) $2{x^6} - x{y^6} + 3{x^2}{y^5} + 3x{y^6} + 2{x^2}{y^5}$

Hướng dẫn giải

a) Ta có 

$\begin{array}{l} 3x{y^2}z + 2{x^2}yz - 4x{y^2}z - 5{x^2}yz - 2xyz\\  = \left( {3x{y^2}z - 4x{y^2}z} \right) + \left( {2{x^2}yz - 5{x^2}yz} \right) - 2xyz\\  =  - x{y^2}z - 3{x^2}yz - 2xyz \end{array}$

b) Ta có

$\begin{array}{l} 2{x^6} - x{y^6} + 3{x^2}{y^5} + 3x{y^6} + 2{x^2}{y^5}\\  = 2{x^6} + \left( { - x{y^6} + 3x{y^6}} \right) + \left( {3{x^2}{y^5} + 2{x^2}{y^5}} \right)\\  = 2{x^6} + 2x{y^6} + 5{x^2}{y^5} \end{array}$

Câu 1: Tìm bậc của đa thức sau:

a) $5{x^3} - 2x + 3{x^2} + 5x - 2{x^2} - 3{x^3}$                   

b) $2{x^2} - \frac{1}{2}{x^3} - 3{x^2} + 3{x^3} - \frac{2}{3}{x^2}$

Câu 2: Thu gọn các đa thức sau và tìm bậc của đa thức:

a) $3x{y^2}z + 2{x^2}yz - 4x{y^2}z - 5{x^2}yz - 2xyz$

b) $2{x^6} - x{y^6} + 3{x^2}{y^5} + 3x{y^6} + 2{x^2}{y^5}$

Câu 3: Tính giá trị các đa thức:

a) $5{x^2}y - 5x{y^2} + xy$ tại x=-2, y=-1.

b) $\frac{1}{2}x{y^2} + \frac{2}{3}{x^2}y - xy + x{y^2} - \frac{1}{3}{x^2}y + 2xy$ tại x= 0,5; y=1.

Câu 1: Giá trị của đa thức $4{{\rm{x}}^2}y - \frac{2}{3}x{y^2} + 5{\rm{x}}y - x$ tại $x = 2;y = \frac{1}{3}$ là 

A. $\frac{{176}}{{27}}$

B. $\frac{{276}}{{27}}$

C. $\frac{{27}}{{17}}$

D. $\frac{{116}}{{27}}$

Câu 2: Đa thức $4{{\rm{x}}^2}y - 2{\rm{x}}{y^2} + \frac{1}{3}{x^2}y - x + 2{{\rm{x}}^2}y + x{y^2} - \frac{1}{3}x - 6{{\rm{x}}^2}y$ được rút gọn thành 

A. $\frac{1}{3}{x^2}y + {x^2}y - \frac{4}{3}x$

B. $\frac{1}{3}{x^2}y - {x^2}y - \frac{4}{3}x$

C. $\frac{1}{3}{x^2}y - {x^2}y + \frac{4}{3}x$

D. $\frac{-1}{3}{x^2}y - {x^2}y - \frac{4}{3}x$

Câu 3: Cho $A = 3{{\rm{x}}^3}{y^2} + 2{{\rm{x}}^2}y - xy,$ $B = 4xy - 3{{\rm{x}}^2}y + 2{{\rm{x}}^3}{y^2} + {y^2}$. Tính A + B

A. $-5{x^3}{y^2} - {x^2}y + 3{\rm{x}}y + {y^2}$

B. $5{x^3}{y^2} - {x^2}y + 3{\rm{x}}y + {y^2}$

C. $5{x^2}{y^2} - {x^2}y + 3{\rm{x}}y + {y^3}$

D. $5{x^3}{y^4} - {x^2}y + 3{\rm{x}}y + {y^3}$

Câu 4: Thu gọn đa thức $4{{\rm{x}}^2}y + 6{{\rm{x}}^3}{y^2} - 10{{\rm{x}}^2}y + 4{{\rm{x}}^3}{y^2}$

A. $- 14{{\rm{x}}^2}y + 10{{\rm{x}}^3}{y^2}$

B. $- 14{{\rm{x}}^2}y - 10{{\rm{x}}^3}{y^2}$

C. $- 6{{\rm{x}}^2}y - 10{{\rm{x}}^3}{y^2}$

D. $- 6{{\rm{x}}^2}y + 10{{\rm{x}}^3}{y^2}$

Câu 5: Thu gọn và tìm bậc của đa thức $12{\rm{x}}yz - 3{x^5} + {y^4} + 3{\rm{x}}yz + 2{{\rm{x}}^5}$ ta được 

A. Kết quả là đa thức $- {x^5} + 15{\rm{x}}yz + {y^4}$ có bậc là 6

B. Kết quả là đa thức $- {x^5} + 15{\rm{x}}yz + {y^4}$ có bậc là 5

C. Kết quả là đa thức $- {2x^5} + 15{\rm{x}}yz + {y^4}$ có bậc là 5

D. Kết quả là đa thức $- {x^5} - 15{\rm{x}}yz + {y^4}$ có bậc là 5

Qua bài học này, các em cần nắm được những nội dung sau:

• Nắm được khái niệm đa thức.
• Biết cách rút gọn đa thức.
• Xác định được bậc của đa thức.