Toán 9 Chương 2 Bài 4: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

a) Đường thẳng và đường tròn cắt nhau

Khi một đường thẳng a và đường tròn (O;R) có 2 điểm chung ta nói đường thẳng a và đường tròn (O;R) cắt nhau. Đường thẳng a gọi là cát tuyến của đường tròn (O;R). 

Khi đó: Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên a thì OH là khoảng cách từ O đến a và OH

b) Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau

Khi đường thẳng a và đường tròn (O;R) có 1 điểm chung tại C ta nói đường thẳng a và đường tròn (O;R) tiếp xúc nhau.

Ta còn nói đường thẳng a là tiếp tuyến của đường tròn. Điểm C gọi là tiếp điểm và OC chính là khoảng cách từ O đến a. Khi đó OH=R

Định lý: 

Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

c) Đường thẳng và đường tròn không giao nhau

Khi đường thẳng a và đường tròn (O) không có điểm chung nào thì ta nói đường thẳng a và đường tròn (O) không giao nhau

Cho đường thẳng a và (O;R). Đặt OH=d là khoảng cách từ O đến đường thẳng a. Khi đó:

• \(d=R\Leftrightarrow\) đường thẳng a có 1 điểm chung với (O;R) (hay đường thẳng a tiếp xúc với đường tròn (O;R))
• \(d>R\Leftrightarrow\) đường thẳng a không có điểm chung với đường tròn (O;R)

Câu 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB=6, AC=8. Vẽ đường tròn (B;6). Hãy xác định vị trí tương đối của AC, BC với (B;6)

Hướng dẫn giải

Vì \(BA\perp AC\) nên khoảng cách từ B đến AC chính bằng bán kính \(\Rightarrow\) AC tiếp xúc với (B;6)

BC đi qua B là tâm đường tròn nên khoảng cách từ B đến BC là 0 \(\Rightarrow\) BC cắt (B;6)

Câu 2: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(5;3). Hãy xác định vị trí tương đối của (A;4) đối với các trục tọa độ

Hướng dẫn giải

 Khoảng cách từ A đến Oy chính là \(d=x_{A}=5\) và khoảng cách từ A đến Ox là \(d'=y_{A}=3\)

Vì d>4>d' nên (A;4) cắt Ox và không giao nhau với Oy

Câu 3: Cho đường tròn (O;10). M là một điểm cách O một khoảng 22. Gọi H là điểm bất kì trên đoạn OM, d=OH, đường thẳng xy vuông góc OM đi qua H

Tìm d để xy cắt, tiếp xúc và không giao với (O;10)

Hướng dẫn giải 

Để xy cắt (O;10) thì \(0\leq d<10\)

Để xy tiếp xúc với (O;10) thì \(d=10\)

Để xy không giao với (O;10) thì \(10

Câu 1: Cho hình vuông ABCD. Trên đường chéo BD lấy H sao cho BH=BA, qua H vẽ đường thẳng vuông góc với BD cắt AD tại O.

a) So sánh OA; OH và HD

b) Xác định vị trí tương đối của BD với (O;OA) 

Hướng dẫn giải

a) Xét tam giác OHD có \(\widehat{OHD}=90^{\circ};\widehat{ODH}=45^{\circ}\) nên tam giác OHD vuông cân. Vậy OH=HD

Xét 2 tam giác OAB và OHB có OB chung; \(\widehat{OAB}=\widehat{OHB}=90^{\circ}; BA=BH\Rightarrow \Delta OHB=\Delta OAB(ch-cgv)\)

\(\Rightarrow AO=OH\)

b) khoảng cách từ O đến BD chính là OH. mà OH=OA nên BD tiếp xúc với (O;OA)

Câu 2: Cho đường tròn (O;5), Từ điểm M ngoài (O) vẽ hai tiếp tuyến MA, MB sao cho \(MA\perp MB\) tại M

a) Tính MA, MB

b) Gọi I là giao điểm của OM với (O). Kẻ tiếp tuyến với (O) tại I và cắt OA, OB lần lượt ở C và D. Tính CD

Hướng dẫn giải

a) Ta có: MA, MB là tiếp tuyến nên khoảng cách từ O đến MA và MB lần lượt là OA và OB ( do A,B là các giao điểm duy nhất với (O))

từ đó ta có: \(OA\perp MA, OB\perp MB\). Tứ giác OAMB có 3 góc vuông và OA=OB=R nên OAMB là hình vuông \(\Rightarrow MA=MB=R=5\)

b) Dễ dàng chứng minh được \(\Delta OAM=\Delta OBM\Rightarrow \widehat{BOM}=\widehat{AOM}=\frac{1}{2}\widehat{AOB}=45^{\circ}\)

Tam giác OID vuông tại I và có  \(\widehat{IOD}=45^{\circ}\Rightarrow\) tam giác OID vuông cân và OI=ID. Tương tự: OI=IC

\(\Rightarrow CD=2.OI=2.R=10\)

Câu 1: Trên mặt phẳng tọa độ cho điểm I có tọa độ (-3; 2). Nếu vẽ đường tròn tâm I bán kính bằng 2 thì đường tròn đó có vị trí như thế nào đối với các trục tọa độ?

Câu 2: Cho đường thẳng a. Tâm I của tất cả các đường tròn có bán kính 5cm và tiếp xúc với đường thẳng a nằm trên đường nào ?

Câu 3: Cho điểm A cách đường thẳng xy là 12cm. Vẽ đường tròn (A ; 13cm)

a. Chứng minh rằng đường tròn (A) có hai giao điểm với đường thẳng xy

b. Gọi hai giao điểm nói trên là B và C. Tính độ dài BC.

Câu 4: Cho đường tròn (O) bán kính bằng 2cm. Một đường thẳng đi qua điểm A nằm bên ngoài đường tròn và cắt đường tròn tại B và C, trong đó AB = BC. Kẻ đường kính COD. Tính độ dài AD.

Câu 1: Cho điểm A(3;4). Khi đó đường tròn (A;R=4) sẽ có dạng như thế nào?

A. Cắt Ox và tiếp xúc Oy

B. Cắt Oy và tiếp xúc Ox

C. Cắt cả Ox và Oy

D. Tiếp xúc Ox và không giao Oy

Câu 2: Cho đường tròn (O;6). Một điểm A cách O một khoảng là 10. Kẻ tiếp tuyến AB với (O) (B là tiếp điểm). Độ dài AB là:

A. 6

B. 7

C. 8

D. 9

Câu 3: Câu nào trong các câu sau đây là câu đúng:

A. Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn khi đường thẳng đó có 2 giao điểm với đường tròn

B. Đường thẳng cắt đường tròn khi đường thẳng đó có 1 giao điểm với đường tròn

C. Đường thẳng không giao nhau với đường tròn khi nó chỉ có 1 giao điểm với đường tròn

D. Đường thẳng cắt đường tròn khi đường thẳng đó có 2 giao điểm với đường tròn

Câu 4: Cho đường thẳng d. Tâm các đường tròn có bán kính là 2 và tiếp xúc với d nằm trên đường nào

A. Một đường thẳng song song với d và cách d một khoảng là 1

B. Một đường thẳng song song với d và cách d một khoảng là 2

C. Hai đường thẳng song song với d và cách d một khoảng là 4

D. Hai đường thẳng song song với d và cách d một khoảng là 2

Câu 5: Cho (O). Từ một điểm M ngoài (O) vé hai tiếp tuyến MA, MB sao cho \(\widehat{AMB}=60^{\circ}\). Biết chu vi của tam giác MAB là 18. Tính độ dài dây AB

A. \(9\)

B. \(9\sqrt{2}\)

C. \(6\sqrt{3}\)

D. \(6\)

Qua bài học này, các em nắm được một số nọi dung chính như sau:

• Hiểu được ba vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn, các khái niệm tiếp tuyến, tiếp điểm.
• Hiểu được định lí về tính chất tiếp tuyến, các hệ thức giữa khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng và bán kính đường tròn ứng với từng vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn.
• Bước đầu vận dụng kiến thức để trả lời các câu hỏi trong sách giáo khoa.