Toán 7 Chương 3 Bài 4: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

- Đoạn  thẳng AM đối đỉnh A của tam giác ABC với trung điểm M của cạnh BC gọi là đường trung tuyến (xuất phát từ đỉnh A hoặc ứng với cạnh BC) của tam giác ABC.

- Đường thẳng AM cũng gọi là đường trung tuyến của tam giác ABC.

- Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến

- Đường trung tuyến của một tam giác là đoạn thẳng nối đỉnh và trung điểm cạnh đối diện

Định lý: Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách mỗi đỉnh một khoảng bằng $\frac{2}{3}$ độ dài trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

- Giao điểm của ba đường trung tuyến được gọi là trọng tâm của tam giác.

Ví dụ: Với G là trọng tâm của ΔABC ta có:

Câu 1: Cho $\Delta ABC$, AC > AB. Gọi BE và CD là các trung tuyến. Chứng minh: CD > BE.

Hướng dẫn giải

Gọi F là trung tuyến của BC thì ba đường trung tuyến AF, BE, CD cắt nhau ở M. Vì AC > AB nên $\widehat {{F_1}} > \widehat {{F_2}}$ (do $\Delta AFB$ và $\Delta AFC$có AF cạnh chung, FB = FC và AC > AB)

Từ $\widehat {{F_1}} > \widehat {{F_2}}$từ hai tam giác MFB và MFC có: MF cạnh chung, FB = FC ta suy ra MC > MB.

Hay $\frac{2}{3}CD > \frac{2}{3}BE.$ Vậy CD > BE.

Câu 2: Cho hai đường thẳng x’x và y’y cắt nhau ở O. Trên tia Ox lấy hai điểm A và B sao cho A nằm giữa O và B, AB = 20A. Trên y’y lấy 2 điểm L và M sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng LM. Nối B với L, B với M và gọi là P là trung điểm của đoạn thẳng MB, Q là trung điểm của đoạn thẳng LB. Chứng minh các đoạn thẳng LP và MQ đi qua A.

Hướng dẫn giải

Ta có O là trung điểm của LM (gt)

Suy ra BO là đường trung tuyến của $\Delta BLM\,{\,^{(1)}}$

Mặt khác BO = BA + AO vì A nằm giữa O, B hay BO = 2AO + AO = 3AO vì AB =2AO (gt)

Suy ra $AO = \frac{1}{3}BO\,\,hay\,\,BA = \frac{2}{3}BO{\,^{\,(2)}}$

Từ (1) và (2) suy ra A là trọng tâm của $\Delta BLM$ (tính chất của trọng tâm)

Mà LP và MQ là các đường trung tuyến của $\Delta BLM$ vì P là trung điểm của đoạn thẳng MB (gt) và O là trung điểm của đoạn thẳng LB (gt)

Suy ra các đoạn thẳng LP và MQ đều đi qua A (tính chất 3 đường trung tuyến).

Câu 3: Kéo dài trung tuyến AM của $\Delta ABC$ một đoạn thẳng MD có độ dài bằng $\frac{1}{3}$ độ dài AM. Gọi G là trọng tâm của $\Delta ABC$. So sánh các cạnh của $\Delta BGD$ với các trung tuyến của $\Delta ABC.$

Hướng dẫn giải

Gọi N, P lần lượt là trung điểm của AC, AB.

Ta có AM, BN, CP cắt nhau tại G(tính chất đường trung tuyến) và có

$BG = \frac{2}{3}BN;CG = \frac{2}{3}CP;AG = \frac{2}{3}AM.$

$\begin{array}{l}\Delta BMG = \Delta CMD\,\,(c.g.c) \Rightarrow GB = DC\\\Delta GMC = \Delta DMB\,\,(c.g.c) \Rightarrow GC = DB\end{array}$

Xét $\Delta BGD$ và $\Delta CDG$ có:

GB = DC

BD = DG

GD cạnh chung

Nên $\Delta BGD = \Delta CDG\,(c.c.c) \Rightarrow BD = CG = \frac{2}{3}CP$

Ta cũng có: $GD = \frac{2}{3}AM$

Ta có $\Delta BGD$ có các cạnh lần lượt bằng $\frac{2}{3}$ các trung tuyến của $\Delta ABC$

Câu 1: Cho $\Delta ABC$ có BM, CN là hai đường trung tuyến cắt nhau tại G. Kéo dài BM lấy đoạn ME = MG. Kéo dài CN lấy đoạn NF = NG. Chứng minh:

a) EF = BC

b) Đường thẳng AG đi qua trung điểm BC.

Câu 2: Cho $\Delta ABC$. Trên cạnh BC lấy điểm T sao cho $TB = \frac{2}{3}BC$. Trên tia đối của tia CA lấy điểm D sao cho CD = CA. Đường thẳng DT cắt cạnh AB tại E. Chứng minh EA = EB.

Câu 3: Cho $\Delta ABC,BC = a,CA = b,AB = c.$ Kẻ trung tuyến AM. Đặt $AM = {m_a}.$

Chứng minh rằng: $\frac{{b + c - a}}{2} < {m_a} < \frac{{b + c}}{2}$

Câu 1: Trong tam giác ABC có trung tuyến AM = 9cm và trọng tâm G. Độ dài đoạn AG là

A. 4,5cm

B. 3cm

C. 6cm

D. 4cm

Câu 2: Chọn câu sai:

A. Trong một tam giác có ba đường trung tuyến

B. Các đường trung tuyến của tam giác cắt nhau tại một điểm

C. Giao của ba đường trung tuyến của một tam giác gọi là trọng tâm của tam giác đó

D. Một tam giác có hai trọng tâm

Câu 3: Cho hình vẽ sau:

Điền số thích hợp vào chỗ chấm: BG = ...BE

A. 2

B. 3

C. $\frac{1}{3}$

D. $\frac{2}{3}$

Câu 4: Điền số thích hợp vào chỗ chấm: "Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng...độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy"

A. $\frac{2}{3}$

B. $\frac{3}{2}$

C. 2

D. 3

Câu 5: 

Cho hình vẽ sau:

Điền số thích hợp vào chỗ chấm: AG = ...GD

A. 2

B. 3

C. $\frac{1}{3}$

D. $\frac{2}{3}$

Qua bài học này, các em cần nắm được những nội dung sau:

• Nắm được định nghĩa, tính chất của đường trung tuyến trong tam giác.
• Áp dụng giải các bài toán có liên quan.