Toán 8 Chương 3 Bài 4: Phương trình tích

Phương trình tích có dạng: \(A(x).B(x) = 0\)

Để giải phương trình này ta áp dụng công thức:

\(A(x).B(x) = 0 ⇔ A(x) = 0\) hoặc \(B(x) = 0\)

Bước 1: Đưa phương trình đã cho về dạng tổng quát \(A(x).B(x) = 0\) bằng cách: 

• Chuyển tất cả các hạng tử của phương trình về vế trái. Khi đó vế phải bằng 0.
• Rút gọn rồi phân tích đa thức ở vế phải thành nhân tử.

Bước 2: Giải phương trình tích rồi kết luận.

Phân tích đa thức \(P\left( x \right) = \left( {{x^2} - 1} \right) + \left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)\) thành nhân tử.

Hướng dẫn giải

\(\eqalign{& P\left( x \right) = \left( {{x^2} - 1} \right) + \left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)  \cr & P\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) + \left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)  \cr & P\left( x \right) = \left( {x + 1} \right)\left( {x - 1 + x - 2} \right)  \cr & P\left( x \right) = \left( {x + 1} \right)\left( {2x - 3} \right) \cr} \)

Giải phương trình \(\left( {{x^3} + {x^2}} \right) + \left( {{x^2} + x} \right) = 0\).

Hướng dẫn giải

\(\eqalign{
& \left( {{x^3} + {x^2}} \right) + \left( {{x^2} + x} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2}\left( {x + 1} \right) + x\left( {x + 1} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow (x^2+x)(x+1)=0\cr 
& \Leftrightarrow x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow x{\left( {x + 1} \right)^2} = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
x + 1 = 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
x = - 1 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy tập nghiệm của phương trình là : \(S = \{0; -1\}\) 

Cho phương trình \((x + 1 - 3m)(3x - 5 + 2m) = 0\)

a. Tìm các giá trị của m sao cho một trong các nghiệm của phương trình là x = 1.

b. Với mỗi m vừa tìm được ở câu a, hãy giải phương trình đã cho.

Hướng dẫn giải

a) Để phương trình nhận x = 1 làm một nghiệm điều kiện là:

(1+1 – 3m)(3.1 – 5 + 2m) = 0

\( \Leftrightarrow (2 - 3m)( - 2 + 2m) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2 - 3m = 0\\ - 2 + 2m = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{2}{3}\\m = 1\end{array} \right.\)

Vậy với \(m = \frac{2}{3}\) hoặc m = 1 thoả mãn điều kiện đầu bài.

b) Ta lần lượt thực hiện:

* Với \(m = \frac{2}{3}\) phương trình có dạng: \((x + 1 - 3.\frac{2}{3})(3x - 5 + 2.\frac{2}{3}) = 0\)

\( \Leftrightarrow (x - 1)(3x - \frac{{11}}{3}) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\3x - \frac{{11}}{3} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{{11}}{9}\end{array} \right.\)

Vậy với \(m = \frac{2}{3}\) phương trình có các nghiệm \(x = 1,x = \frac{{11}}{9}\)

* Với m = 1 phương trình có dạng: (x + 1 – 3.1)(3x – 5 + 2.1) = 0

\( \Leftrightarrow (x - 2)(3x - 3) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 = 0\\3x - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 1\end{array} \right.\)

Vậy với m = 1 phương trình có các nghiệm x = 2, x = 1.

Câu 1: Giải các phương trình sau

a) \(\left( {4x - 10} \right)\left( {24 + 5x} \right) = 0\)

b) \(\left( {3,5 - 7x} \right)\left( {0,1x + 2,3} \right) = 0\)

c) \(\displaystyle \left( {3x - 2} \right)\left[ {{{2\left( {x + 3} \right)} \over 7} - {{4x - 3} \over 5}} \right] = 0\)

d) \(\displaystyle\left( {3,3 - 11x} \right)\left[ {{{7x + 2} \over 5} + {{2\left( {1 - 3x} \right)} \over 3}} \right] \) \(= 0\)

Câu 2: Dùng máy tính bỏ túi để tính giá trị gần đúng các nghiệm của mỗi phương trình sau, làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba.

a) \(\left( {\sqrt 3  - x\sqrt 5 } \right)\left( {2x\sqrt 2  + 1} \right) = 0\)

b) \(\left( {2x - \sqrt 7 } \right)\left( {x\sqrt {10}  + 3} \right) = 0\)

Câu 3: Giải các phương trình sau :

a) \(\left( {x - 1} \right)\left( {5x + 3} \right) = \left( {3x - 8} \right)\left( {x - 1} \right)\)

b) \(3x\left( {25x + 15} \right) - 35\left( {5x + 3} \right) = 0\)

c) \(\left( {2 - 3x} \right)\left( {x + 11} \right) = \left( {3x - 2} \right)\left( {2 - 5x} \right)\)

d) \(\left( {2{x^2} + 1} \right)\left( {4x - 3} \right) = \left( {2{x^2} + 1} \right)\left( {x - 12} \right)\)

Câu 4: Giải các phương trình sau :

a) \(\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 5x - 2} \right) - \left( {{x^3} - 1} \right) = 0\)

b) \({x^2} + \left( {x + 2} \right)\left( {11x - 7} \right) = 4\)

c) \({x^3} + 1 = x\left( {x + 1} \right)\)

d) \({x^3} + {x^2} + x + 1 = 0\)

Câu 1: Tập nghiệm của phương trình \((x - 6)(x + 1) = 2(x + 1)\) là: 

A. S={-1}

B. S={8}

C. S={-1;8}

D. S=Ø

Câu 2: Nghiệm nào của phương trình \(x^{2}-9x+20=0\) là:

A. x=4

B. x=5

C. x=6

D. Một đáp số khác 

Câu 3: Phương trình \(x^{3}+5x^{2}+3x-9=0\) có số nghiệm là:

A. 1 nghiệm 

B. 2 nghiệm 

C. 3 nghiệm 

D. Vô nghiệm 

Câu 4: Phương trình \(x^{3}-4x^{2}+5x=0\) có số nghiệm là:

A. 1 nghiệm 

B. 2 nghiệm 

C. 3 nghiệm 

D. Vô nghiệm

Câu 5: Nghiệm của phương trình \(x^{2}+10x+21=0\) là:

A. x=-3

B. x=-7

C. x=-3; x= -7

D. x=-3; x= -5

Qua bài học này, các em nắm được một số nội dung chính như sau:

• Nắm vững khái niệm và phương pháp giải phương trình tích (dạng có 2 hay 3 nhân tử bậc nhất)
• Ôn tập các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, nhất là kĩ năng thực hành