Toán 8 Chương 1 Bài 4: Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp)

\({(A + B)^3} = {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}\)

\({(A - B)^3} = {A^3} - 3{A^2}B + 3A{B^2} - {B^3}\)  

Việc chứng minh các hằng đẳng thức này cũng dựa trên việc nhân đa thức với đa thức.

Chẳng hạn như ở hằng đẳng thức lâp phương của một tổng ta có thể chứng minh như sau :

\(\begin{array}{l} {(A + B)^3} = (A + B){(A + B)^2}\\ = (A + B)({A^2} + 2AB + {B^2})\\ = {A^3} + 2{A^2}B + A{B^2} + {A^2}B + 2A{B^2} + {B^3}\\ = {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3} \end{array}\)

chúng ta cũng chứng minh tương tự cho hằng đẳng thức lập phương của một hiệu.

Câu 1. Tính nhanh:

a. \({97^3} + {3.97^2}.3 + {3.97.3^2} + {3^3}\)

b. \({16^3} - {3.16^2}.6 + {3.16.6^2} - {6^3}\) 

Hướng dẫn giải:

a.

\(\begin{array}{l} {97^3} + {3.97^2}.3 + {3.97.3^2} + {3^3}\\ = {\left( {97 + 3} \right)^3} = {100^3} = 1000000 \end{array}\)

b.

\(\begin{array}{l} {16^3} - {3.16^2}6 + {3.16.6^2} - {6^3}\\ = {\left( {16 - 6} \right)^3} = {10^3} = 1000 \end{array}\)

Câu 2. Khai triển biểu thức: \({\left( {x + y + 1} \right)^3}\)

Hướng dẫn giải:

\(\begin{array}{l} {\left( {x + y + 1} \right)^3}\\ = {\left[ {(x + y) + 1} \right]^3}\\ = {(x + y)^3} + 3{(x + y)^2} + 3(x + y) + 1\\ = {x^3} + 3{x^2}y + 3x{y^2} + {y^3} + 3\left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right) + 3x + 3y + 1\\ = {x^3} + 3{x^2}y + 3x{y^2} + {y^3} + 3{x^2} + 6xy + 3{y^2} + 3x + 3y + 1 \end{array}\)

Câu 3. Chứng minh rằng: \({\left( {x + y + z} \right)^3} = {x^3} + {y^3} + {z^3} + 3(x + y)(y + z)(z + x)\)

Hướng dẫn giải:

Ta có thể biến đổi vế phải như sau

\(\begin{array}{l} {x^3} + {y^3} + {z^3} + 3(x + y)(y + z)(z + x)\\ = {x^3} + {y^3} + {z^3} + 3(xy + xz + {y^2} + yz)(z + x)\\ = {x^3} + {y^3} + {z^3} + 3(xyz + x{z^2} + {y^2}z + y{z^2} + {x^2}y + {x^2}z + {y^2}x + xyz)\\ = {x^3} + {y^3} + {z^3} + 6xyz + 3x{z^2} + 3{y^2}z + 3y{z^2} + 3{x^2}y + 3{x^2}z + 3x{y^2}\\ = \left( {{x^3} + 3{x^2}y + + 3x{y^2} + {y^3}} \right) + \left( {3{x^2}z + 6xyz + 3{y^2}z} \right) + \left( {3x{z^2} + 3y{z^2}} \right) + {z^3}\\ = {(x + y)^3} + 3({x^2} + 2xy + {y^2})z + 3(x + y){z^2} + {z^3}\\ = {(x + y)^3} + 3{(x + y)^2}z + 3(x + y){z^2} + {z^3}\\ = {\left( {x + y + z} \right)^3} \end{array}\)

Bên cạnh đó các em cũng có thể biến đổi từ vế trái thành vế phải.

Câu 1. Tính nhanh:

a. \({56^3} + {3.56^2}.44 + {3.56.44^2} + {44^3}\)

b. \({35^3} - {3.35^2}.25 + {3.35.25^2} - {25^3}\)

Câu 2. Khai triển biểu thức: \({\left( {x + y + z} \right)^3}\)

Câu 1: Rút gọn đa thức \(9{x^2} - 2x + \frac{1}{9}\) ta được két quả nào sau đây?

A. \({\left( {x - \frac{1}{3}} \right)^2}\)

B. \({\left( {3x - \frac{1}{3}} \right)^2}\)

C. \({\left( {3x + \frac{1}{3}} \right)^2}\)

D. \(- {\left( {3x + \frac{1}{3}} \right)^2}\)

Câu 2: Biểu diễn biểu thức \(a^4+b^4\) theo a+b và ab

A. \({\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} - 2ab} \right]^2} + 2{a^2}{b^2}\)

B. \({\left( {a + b} \right)^4} + 4{a^2}{b^2}(a + b) + 6{a^2}{b^2}\)

C. \({\left( {a + b} \right)^3} - 3ab(a + b) + 3{a^2}{b^2}\)

D. \({\left( {a + b} \right)^4} - 4ab{\left( {a + b} \right)^2} + 2{a^2}{b^2}\)

 Câu 3: Trong các khai triển hằng đẳng thức sau, khai triển nào sai ?

A. \((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)

B. \((A+B)^3=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3\)

C. \((A-B)^3=A^3-3A^2B-3AB^2+B^3\)

D. \((A-B)^2=A^2-2AB+B^2\)

Câu 4: Cho \(A=-x^2-4x-1\)

Giá trị lớn nhất của biểu thức A là?

A. 3

B. 5

C. 7

D. 1

Qua bài giảng Những hằng đẳng thức đáng nhớ này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như: 

• Ghi nhớ được hằng đẳng thức lập phương của một tổng, lập phương của một hiệu.
• Vận dụng được các hằng đẳng thức đã học để giải các bài toán liên quan.