Toán 10 Chương 1 Bài 2: Tổng và hiệu của hai vectơ

Định nghĩa:

• Cho hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\). Lấy một điểm A nào đó, rồi xác định điểm B và C sao cho \(\vec {AB}=\vec {a}\); \(\vec {BC}=\vec {b}\). Khi đó \(\vec {AC}\) là tổng của hai vectơ  \(\vec a\) và \(\vec b\).

• Ta viết: \(\vec {AC}=\vec{a}+\vec{b}\).

Ta có các tính chất sau:

• Tính chất giao hoán: \(\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}\).

• Tính chất kết hợp: \((\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})\).

• Tính chất vectơ-không \(\vec{a}+\vec{0}=\vec{a}\).

a) Quy tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C bất ki, ta luôn có: 

\(\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}\)

b) Quy tắc hình bình hành: Cho ABCD là hình bình hành, ta luôn có:

\(\vec{AB}+\vec{AD}=\vec{AC}\)

• Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì \(\vec{MA}+\vec{MB}=\vec{0}\)

• Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì \(\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{0}\)

Nếu tổng của hai vectơ  \(\vec a\) và \(\vec b\) là vectơ không, thì ta nói vectơ  \(\vec a\) là vectơ đối của vectơ  \(\vec b\), hoặc ngược lại  vectơ \(\vec b\) là vectơ đối của vectơ  \(\vec a\)

Định nghĩa:

• Vectơ đối của vectơ \(\vec a\) là vectơ ngược hướng với  vectơ \(\vec a\) và có cùng độ lớn với vectơ \(\vec a\).

• Vectơ đối của vectơ-không cũng là chính nó.

Quy tắc hiệu vectơ: Nếu \(\vec{AB}\) là một vectơ đã cho và 1 điểm O bất kì, ta luôn luôn có:

\(\vec{AB}=\vec{OB}-\vec{OA}\)

Câu 1: Vẽ hình bình hành ABCD. Hãy nhận xét về độ dài và hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \)

Về độ dài: hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \) có cùng độ dài

Về hướng: hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \) có hướng ngược nhau.

Câu 2: Cho \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow 0 \). Hãy chứng tỏ \(\overrightarrow {BC} \) là vectơ đối của \(\overrightarrow {AB} \)

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow 0 \\
\Rightarrow \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow 0 + \overrightarrow {CB} \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {AB} + \left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CB} } \right) = \overrightarrow {CB} \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BB} = \overrightarrow {CB} \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CB} = - \overrightarrow {BC} \\
\Rightarrow \overrightarrow {AB} = - \overrightarrow {BC}
\end{array}\)

Vậy \(\overrightarrow {BC}\) là véc tơ đối của \(\overrightarrow {AB} \).

Câu 1: Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng: \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD}  = \vec 0\)

Câu 2: Cho tứ giác ABCD. AC và BD cắt nhau tại O. Chứng minh rằng nếu \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD}  = \vec 0\) thì

a) \(\overrightarrow {AO}  = \overrightarrow {OC} .\)

b) \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD}  = \overrightarrow 0 \)

Câu 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có \(AB = \sqrt 5 ,AC = 2\sqrt 5 \). Độ dài vectơ \({\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} }\) bằng:

A. \(\sqrt 5 \)

B. \(5\sqrt 5 \)

C. 25

D. 5

Câu 2: Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Cặp vectơ nào trong số các cặp vectơ sau đây không bằng nhau?

A. \(\overrightarrow {NC}  + \overrightarrow {MC} \) và \(\overrightarrow {AD} \)

B. \(\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {CD} \) và \(\overrightarrow {ND} \)

C. \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {NC} \) và \(\overrightarrow {MB} \)

D. \(\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {AN} \) và \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} \)

Câu 3: Cho tam giác ABC. Vectơ \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} \) có giá trị chứa đường thẳng nào sau đây?

A. Tia phân giác của góc A

B. Đường cao hạ từ đỉnh A của tam giác ABC

C. Đường trung tuyến qua A của tam giac ABC

D. Đường thẳng BC

Câu 4: Cho 2 điểm phân biệt A và B. Tập hợp các điểm O thỏa mãn \(\vec{OA}=\vec{OB}\) là:

A. Trung điểm của AB

B. Là 1 khoảng cách sao cho OA=2OB

C. Mọi vị trí

D. Không tồn tại O

Câu 5: Vectơ đối của tổng sau \(\vec{a}+\vec{b}-\vec{c}\) là:

A. \(\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}\)

B. \(\vec{b}-\vec{c}+\vec{a}\)

C. \(\vec{c}-\vec{b}-\vec{a}\)

D. \(\vec{a}-\vec{c}+\vec{b}\)

Qua bài học này, các em cần nắm được những nội dung sau:

• Cách xác định tổng, hiệu hai véctơ, quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành.
• Các tính chất của tổng véctơ, tính chất của véctơ - không.