Toán 9 Chương 1 Bài 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Nhận xét: Từ định nghĩa trên, dễ thấy các tỉ số lượng giác của một góc nhọn luôn luôn dương. Hơn nữa ta có: \(\sin\alpha < 1, \cos\alpha <1\)

Chú ý: Nếu hai góc nhọn \(\alpha\) và \(\beta\) có \(\sin\alpha =\sin\beta\) ( hoặc \(\cos\alpha =\cos\beta , \tan\alpha =\tan\beta ,\cot \alpha =\cot \beta\) ) thì \(\alpha =\beta\) vì chúng là hai góc tương ứng của hai tam giác vuông đồng dạng.

Định lý: Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng cosin góc kia, tang góc này bằng cotang góc kia.

Cụ thể trong hình trên với \(\alpha\) và \(\beta\) là hai góc phụ nhau nên:  \(\sin\alpha =\cos\beta , \cos\alpha =\sin\beta, \tan \alpha =\cot\beta , \cot\alpha =\tan\beta\)

Chú ý: Từ nay khi viết các tỉ số lượng giác của một góc nhọn trong tam giác, ta bỏ kí hiệu "^". Chẳng hạn viết \(\sin A\) thay vì viết \(\sin\widehat{A}\)

Từ định nghĩa các tỉ số lượng giác của một góc nhọn ta có: \(\tan\alpha =\frac{\sin\alpha }{\cos\alpha }; \cot\alpha =\frac{\cos\alpha }{\sin\alpha }\)

và \(\tan\alpha .\cot\alpha =1 , \sin^2\alpha +\cos^2\alpha =1\); \(1+\tan^2\alpha =\frac{1}{\cos^2\alpha }; 1+cot^2\alpha =\frac{1}{sin^2\alpha }\)

(các công thức trên có thể chứng minh dễ dàng)

Câu 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB=6, BC=10. Tính sinB và cosB

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\cos B=\frac{AB}{BC}=\frac{6}{10}=0.6 ;AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=8 \Rightarrow \sin B=\frac{AC}{BC}=0.8\)

Câu 1. Chuyển các tỉ số lượng giác sau thành các tỉ số lượng giác của các góc nhỏ hơn \(45^{\circ}\) : \(\sin72^{\circ};\cos50^{\circ}; \tan68^{\circ}; \cot 88^{\circ}\)

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\sin72^{\circ}=cos18^{\circ};\cos50^{\circ}=\sin40^{\circ}; \tan68^{\circ}=\cot22^{\circ}; \cot88^{\circ}=\tan2^{\circ}\)

Câu 2. Cho tam giác ABC. Biết cosB=0,6. Tính các tỉ số lượng giác góc C.

Hướng dẫn giải

 Ta có: \(\sin C=\cos B=0.6\) và \(\cos C=sin B=\sqrt{1-\cos^2B}=0.8\)

\(\tan C=\frac{\sin C}{\cos C}=\frac{0.6}{0.8}=\frac{3}{4}\) và \(\cot C=\frac{\cos C}{\sin C}=\frac{0.8}{0.6}=\frac{4}{3}\)

Câu 3.

a) Rút gọn biểu thức: \(S=\cos^2\alpha +\tan^2\alpha .\cos^2\alpha\) 

b) chứng minh:  \(\frac{(\sin\alpha +\cos\alpha )^2-(\sin\alpha -\cos\alpha )^2}{\sin\alpha .\cos\alpha }=4\)

Hướng dẫn giải

a) \(S=\cos^2\alpha +\tan^2\alpha .\cos^2\alpha\)

\(=\cos^2\alpha+\frac{\sin^2\alpha }{\cos^2\alpha }.\cos^2\alpha \)

\(=\sin^2\alpha +\cos^2\alpha =1\)

b) \(VT=\frac{(1+2.\sin\alpha .\cos\alpha )-(1-2.\sin\alpha .\cos\alpha )}{\sin\alpha.\cos\alpha }=\frac{4.\sin\alpha .\cos\alpha }{\sin\alpha .\cos\alpha }=4\)

( Áp dụng: \(\sin^2\alpha +\cos^2\alpha =1\) )

Câu 4. Cho tam giác ABC nhọn. Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh đối diện với các đỉnh A, B, C. Chứng minh: \(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\)

Hướng dẫn giải

Kẻ AH vuông góc với BC ( \(H\in BC\) )

Khi đó: \(\sin B=\frac{AH}{c}\Rightarrow \sin B.c=AH\) và \(\sin C=\frac{AH}{b}\Rightarrow \sin C.b=AH\) 

từ đó ta có: \(\sin B.c=\sin C.b\Rightarrow \frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\) .

Tương tự kẻ đường cao BD ( \(D\in AC\) ) sẽ chứng minh được: \(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B} \Rightarrow \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\)

Câu 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, có AC=3, BC=5. Tính sinC và cosC.

Câu 2. Chuyển các tỉ số lượng giác sau thành các tỉ số lượng giác của các góc nhỏ hơn \({{45}^{{}^\circ }}\) : \(\sin {{83}^{{}^\circ }};\,\,\,\cos {{49}^{{}^\circ }};\,\,\,\tan {{79}^{{}^\circ }};\,\,\cot {{98}^{{}^\circ }}\)

Câu 3. Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết sinC=0,6. Tính các tỉ số lượng giác góc B.

Câu 4. Chứng minh các đẳng thức sau:

a) \({{\cos }^{4}}x-{{\sin }^{4}}x={{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x\)                    

b) \({{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{2}}x.{{\sin }^{2}}x+{{\sin }^{2}}x=2{{\sin }^{2}}x\)

c) \(\left( 1+\tan x \right)\left( 1+\cot x \right)-2=\frac{1}{\sin .\cos x}\)

Câu 5. Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = a, CA = b, AB = c. Chứng minh rằng: \(\tan \frac{B}{2}=\frac{b}{c+a}.\)

Câu 1. Tam giác OPQ có OP =7,2, OQ = 9,6, PQ =12. Tìm số đo các góc của tam giác

A. góc O = 60, P = 50, Q = 70       

B. góc O = 70, P = 50, Q = 60

C. góc O = 90, P = 53, Q = 37        

D. Một kết quả khác

Câu 2. Tam giác ABC có B=60 độ, C =45 độ và AB = 10. Chu vi tam giác ABC là

A. 35,9                 

B. 38,1

C. 42,5  

D. 48,3

Câu 3. Tam giác ABC vuông tại A có cosB = 0,8. Vậy cotC là:

A. \(5 \over 3\)   

B. \(3 \over 4\)  

C. \(3 \over 5\)  

D. \(3 \over 4\)  

Câu 4. Cho tam giác ABC vuông tại C. Biết \(\cos A=\frac{5}{13}\). Khi đó tan B=?

A. \(\frac{12}{13}\)

B. \(\frac{5}{12}\)

C. \(\frac{12}{5}\)

D. \(\frac{13}{12}\)

Câu 5. Cho góc nhọn \(\alpha\) biết rằng: \(\cos\alpha -\sin\alpha =\frac{1}{5}\) Giá trị của \(\tan\alpha\) là:

A. 1

B. \(\frac{1}{2}\)

C. \(\frac{4}{5}\)

D. \(\frac{3}{4}\)

Qua bài học này, các em cần nắm được những nội dung sau:

• Khái niệm tỉ số lượng giác của một góc nhọn.
• Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau.