Toán 9 Chương 3 Bài 2: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Cho hai phương trình bậc nhất hai ẩn \(ax+by=c\) và \(a'x+b'y=c'\). Khi đó ta có hệ phương trình trình bậc nhất hai ẩn \(\left\{\begin{matrix} ax+by=c\\ a'x+b'y=c' \end{matrix}\right. (I)\).

Nếu hai phương trình đã cho có nghiệm chung \((x_o;y_o)\) thì ta nói hệ \((I)\) có nghiệm \((x_o;y_o)\).

Nếu hai phương trình đã cho không có nghiệm chung thì ta nói hệ \((I)\) vô nghiệm.

Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó.

Cho \((d):ax+by=c\) và \((d'):a'x+b'y=c'\). Khi đó tập nghiệm của hệ \((I)\) được biểu diễn bởi tập hợp các điểm chung của \((d)\) và \((d')\).

Nếu \((d)\) cắt \((d')\) thì hệ \((I)\) có một nghiệm duy nhất

Nếu \((d)\) song song với \((d')\) thì hệ \((I)\) vô nghiệm

Nếu \((d)\) trùng với \((d')\) thì hệ \((I)\) có vô số nghiệm

Hai hệ phương trình tương đương nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm.

Câu 1: Cho hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} y=2x+1\\ y=x+2 \end{matrix}\right.\). Tìm số nghiệm của hệ đã cho.

Hướng dẫn giải: Vì hai đường thẳng \(y=2x+1\) và \(y=x+2\) cắt nhau (\(2 \neq 1\)) nên hệ đã cho có nghiệm duy nhất hay số nghiệm của hệ là 1.

Câu 2: Hỏi hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} x-2y=1\\ 2x-4y=2 \end{matrix}\right.\) có mấy nghiệm?

Hướng dẫn giải: Vì hai đường thẳng \(x-2y=1\) và \(2x-4y=2\) trùng nhau nên hệ đã cho có vô số nghiệm.

Câu 3: Cho hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} x+y=1\\ x-y=0 \end{matrix}\right.\). Hỏi cặp số \((1;0)\) có phải nghiệm của hệ không?

Hướng dẫn giải: Do \((1;0)\) là nghiệm của cả hai phương trình của hệ nên cũng là nghiệm của hệ

Câu 1: Cho hai hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} x-y=1\\ -2x+2y=2 \end{matrix}\right.(I)\)  và \(\left\{\begin{matrix} x+y=2\\ 2x+2y=4 \end{matrix}\right.(II)\). Hỏi hai hệ này có tương đương nhau không?

Hướng dẫn giải: Ta có \((1;0)\) là nghiệm của hệ \((I)\) nhưng không là nghiệm của \((II)\) nên hai hệ này không tương đương nhau (dù cả hai hệ đều có vô số nghiệm)

Câu 2: Tìm giá trị a để hai hệ phương trình sau tương đương \(\left\{\begin{matrix} x-2y=0\\ x+y=3 \end{matrix}\right.(I)\) và \(\left\{\begin{matrix} ax-y=1\\ 2x+y=5 \end{matrix}\right.(II)\), biết hệ \((I)\) có nghiệm là \((2;1)\)

Hướng dẫn giải: hệ \((I)\) và \((II)\) tương đương nhau nên nghiệm của hệ \((I)\) cũng là nghiệm của hệ \((II)\), khi đó \(\left\{\begin{matrix} a.2-1=1\\ 2.2+1=5 \end{matrix}\right. <=>a=1\)

Câu 1: Đoán nhận số nghiệm của hệ phương trình sau bằng hình học:

a) \(\left\{\begin{matrix} 2x-y=1\\ x-2y=-1 \end{matrix}\right.\)

b) \(\left\{\begin{matrix} 2x+y=4\\ -x+y=1 \end{matrix}\right.\)

Câu 2: Cho hai phương trình \(2x + y = 4\) và \(3x + 2y = 5\)

a) Tìm nghiệm tổng quát của mỗi phương trình trên

b) Vẽ các đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình trong mỗi một hệ trục tọa độ, rồi xác định nghiệm chung của chúng

Câu 3: Cho các hệ phương trình sau

a) \(\left\{\begin{matrix} x=2\\ 2x-y=3 \end{matrix}\right.\)

b) \(\left\{\begin{matrix} x+3y=2\\ 2y=4 \end{matrix}\right.\)

Trước hết, hãy đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình trên (giải thích rõ lí do). Sau đó, tìm tập nghiệm của các hệ đã cho bằng cách vẽ hình

Câu 4: Đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau, giải thích vì sao:

a) \(\left\{\begin{matrix} x + y = 2 & & \\ 3x + 3y = 2 & & \end{matrix}\right.\)

b) \(\left\{\begin{matrix} 3x -2 y = 1 & & \\ -6x + 4y = 0 & & \end{matrix}\right.\)

Câu 1: Hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} 2x+3y=2\\ x-y=1 \end{matrix}\right.\) có nghiệm là?

A. (0;1)

B. (1;0)

C. (1;1)

D. (0;0)

Câu 2: Tìm số nghiệm của hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} x+y=1\\ x+y=2 \end{matrix}\right.\).

A. 0

B. 1

C. vô số

D. 2

Câu 3: Cặp số nào là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} 2x+y=3\\ x-2y=-1 \end{matrix}\right.\)

A. (1;1)

B. (1;0)

C. (0;1)

D. (-1;0)

Câu 4: Cho hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} 2x+y=1\\ x-3y=5 \end{matrix}\right.\). Hỏi hệ có mấy nghiệm?

A. 3

B. 0

C. 1

D. 2

Qua bài học này các em nắm được một số nội dung chính như sau:

• Xác định được mối quan hệ giữa số nghiệm của một hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn và số giao điểm của đồ thị hai hàm bậc nhất.
• Biến đổi tương đương được hệ phương trình.
• Biết cách tìm công thức nghiệm tổng quát và vẽ đường biểu diễn tập nghiệm của một phương trình  bậc nhất hai ẩn.