Toán 10 Chương 6 Bài 2: Giá trị lượng giác của một cung

Trên đường tròn lượng giác, cho điểm $M\left( {{x_o},{y_o}} \right)$ sao cho cung lượng giác AM có sđ$AM = \alpha$. Khi đó:

$\begin{array}{l} \sin \alpha  = \overline {OK}  = {y_0}\\ \cos \alpha  = \overline {OH}  = {x_0}\\ \tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}{\rm{ }}\left( {\cos \alpha  \ne 0} \right)\\ \cot \alpha  = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}{\rm{ }}\left( {\sin \alpha  \ne 0} \right) \end{array}$

Định nghĩa: Các giá trị $\sin \alpha ,\cos \alpha {\rm{, tan}}\alpha {\rm{, cot}}\alpha$ được gọi là các giá trị lượng giác của cung . Ta cũng gọi trục tung là trục sin, còn trục hoành là trục côsin.

Chú ý:

• Các định nghĩa trên cũng áp dụng cho các góc lượng giác.
• Nếu ${0^ \circ } \le \alpha  \le {180^ \circ }$ thì các giá trị lượng giác của góc $\alpha$ chính là các giá trị lượng giác của góc đó.

1.1.2. Hệ quả

1) $\sin \alpha$ và $\cos \alpha$ xác định với mọi $\alpha  \in R$.

$\begin{array}{l} \sin \left( {\alpha  + k2\pi } \right) = \sin \alpha ,\forall k \in Z\\ \cos \left( {\alpha  + k2\pi } \right) = \cos \alpha ,\forall k \in Z \end{array}$

2) $- 1 \le \sin \alpha  \le 1, - 1 \le \cos \alpha  \le 1$

3) Với mọi $m \in R$ mà $- 1 \le m \le 1$ đều tồn tại $\alpha$ và $\beta$ sao cho $\sin \alpha  = m$ và $\cos \alpha  = m$

4) $\tan \alpha$ xác định với mọi $\alpha  \ne \frac{\pi }{2} + k\pi {\rm{  }}\left( {k \in Z} \right)$

5) $\cot \alpha$ xác định với mọi $\alpha  \ne k\pi {\rm{  }}\left( {k \in Z} \right)$

6) Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác 

Ý nghĩa hình học của $\tan \alpha$ và $\cot \alpha$

$\tan \alpha  = \overline {AT}$

Trục  t'At được gọi là trục tang.

$\cot \alpha  = \overline {BS}$

Trục  s'Bs được gọi là trục côtang.

Chú ý: 

$\begin{array}{l} \tan \left( {\alpha  + k\pi } \right) = \tan \alpha \\ \cot \left( {\alpha  + k\pi } \right) = \cot \alpha  \end{array}$

$\begin{array}{l} si{n^2}\alpha  + co{s^2}\alpha  = 1\\ 1 + {\tan ^2}\alpha  = \frac{1}{{co{s^2}\alpha }},\alpha  \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in Z\\ 1 + co{t^2}\alpha  = \frac{1}{{si{n^2}\alpha }},\alpha  \ne k\pi ,k \in Z\\ \tan \alpha .\cot \alpha  = 1,\alpha  \ne \frac{{k\pi }}{2},k \in Z \end{array}$

Các điểm cuối của hai cung AM và AM' đối xứng nhau qua trục hoành nên ta có:

$\begin{array}{l} \cos ( - \alpha ) = \,\cos \alpha \\ \sin ( - \alpha ) = \,\, - \sin \alpha \\ \tan ( - \alpha ) =  - \tan \alpha \\ \cot ( - \alpha ) =  - \cot \alpha  \end{array}$

2) Cung bù nhau: $\alpha$ và $\pi  - \alpha$

Các điểm cuối của hai cung AM và AM' đối xứng với nhau qua trục tung, nên ta có:

$\begin{array}{l} \sin (\pi  - \alpha ) = \,\,\,\,\,\,\sin \alpha \\ \cos (\pi  - \alpha ) =  - \cos \alpha \\ \tan (\pi  - \alpha ) =  - \tan \alpha \\ \cot (\pi  - \alpha ) =  - \cot \alpha  \end{array}$

3) Hơn kém nhau $\pi$: $\pi$ và $\left( {\alpha  + \pi } \right)$

Các điểm cuối của hai cung đối xứng nhau qua gốc tọa độ, nên ta có:

$\begin{array}{l} \sin (\alpha  + \pi ) =  - \sin \alpha \\ \cos (\alpha  + \pi ) =  - \cos \alpha \\ \tan (\alpha  + \pi ) = \,\,\,\,\,\tan \alpha \\ \cot (\alpha  + \pi ) = \,\,\,\,\,\cot \alpha  \end{array}$

4) Cung phụ nhau: $\alpha$ và $\alpha  - \frac{\pi }{2}$

Các điểm cuối của hai cung đối xứng nhau qua đường phân giác d của góc xOy, nên ta có:

$\begin{array}{l} \sin \,\left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \cos \alpha \\ \cos \,\left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \sin \alpha \\ \tan \,\left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \cot \alpha \\ \cot \,\left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \tan \alpha  \end{array}$

Chú ý: Để ghi nhớ các công thức trên dễ dàng ta học thuộc câu: “cos-đối, sin-bù, phụ-chéo, hơn kém nhau- tan và cot”. 

Câu 1: Tính $\sin \frac{{25\pi }}{4}$, $cos\left( { - {{240}^o}} \right)$

Hướng dẫn giải

Ta có $\frac{{25\pi }}{4} = \frac{\pi }{4} + 3.2\pi$

Suy ra $\sin \frac{{25\pi }}{4} = \sin \frac{\pi }{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$

Tương tự $- {240^0} = {120^0} - {360^0}$

Suy ra $cos\left( { - {{240}^o}} \right) = cos{120^ \circ } =  - \frac{1}{2}$

Câu 2: Cho $\sin \alpha  = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ với $0 < \alpha  < \frac{\pi }{2}$.  Tính $\cos \alpha$

Hướng dẫn giải

Ta có $si{n^2}\alpha  + co{s^2}\alpha  = 1$

$\begin{array}{l}  \Rightarrow {\cos ^2}\alpha  = 1 - {\sin ^2}\alpha \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 1 - {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} = \frac{1}{4}\\  \Rightarrow \cos \alpha  =  \pm \frac{1}{2} \end{array}$

Vì $0 < \alpha  < \frac{\pi }{2}$ nên $\cos \alpha >0$ $\Rightarrow \cos \alpha  = \frac{1}{2}$

Câu 3: Rút gọn biểu thức sau

$A = \cos ({90^0} - x).\sin ({180^0} - x) - \sin ({90^0} - x).\cos ({180^0} - x)$

Hướng dẫn giải

Sử dụng công thức cung phụ nhau và cung bù nhau

Ta có $A = \cos ({90^0} - x).\sin ({180^0} - x) - \sin ({90^0} - x).\cos ({180^0} - x)$

$\begin{array}{l}  = \sin x.\sin x - \cos x.( - \cos x)\\  = {\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1 \end{array}$

Câu 1: Cho 0 < α < π/2. Xác định dấu của các giá trị lượng giác sau

a) $\sin \left( {\alpha - \frac{\pi }{2}} \right)$)          b) ${\rm{cos}}\left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right)$

c) ${\rm{Cot}}\left( {\frac{{3\pi }}{2}{\rm{ }} - {\rm{ }}\alpha } \right)$          d) ${\rm{tan}}\left( {\alpha {\rm{ }} + {\rm{ }}\pi } \right)$

Câu 2: Cho ${\rm{tan}}\alpha + {\rm{cot}}\alpha = m$, hãy tính theo m

a) ${\rm{tan}}2\alpha + {\rm{cot}}2\alpha$

b) ${\rm{tan}}3\alpha + {\rm{cot}}3\alpha$

Câu 1: Kết quả rút gọn của biểu thức ${\left( {\frac{{\sin \alpha  + \tan \alpha }}{{{\rm{cos}}\alpha {\rm{ + 1}}}}} \right)^2} + 1$ bằng:

A. 2

B. 1+tan$\alpha$

C. $\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}$

D. $\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}$

Câu 2: Giá trị của $M = {\cos ^2}{15^0} + {\cos ^2}{25^0} + {\cos ^2}{35^0} + {\cos ^2}{45^0} + {\cos ^2}{105^0} + {\cos ^2}{115^0} + {\cos ^2}{125^0}$ là:

A. M=4

B. M=$\frac{7}{2}$

C. M=$\frac{1}{2}$

D. $M = 3 + \frac{{\sqrt 2 }}{2}.$

Câu 3: Cho ${\rm{cos}}\alpha  =  - \frac{2}{5}\,\,\,\left( {\pi  < \alpha  < \frac{{2\pi }}{3}} \right)$. Khi đó $\tan \alpha$ bằng: 

A. $\frac{{\sqrt {21} }}{5}$

B. $\frac{-{\sqrt {21} }}{2}$

C. $\frac{-{\sqrt {21} }}{5}$

D. $\frac{{\sqrt {21} }}{3}$

Câu 4:  Cho $\sin a + \cos a = \frac{5}{4}$. Khi đó $\sin a.\cos a$ có giá trị bằng:

A. 1

B. $\frac{9}{32}$

C. $\frac{3}{16}$

D. $\frac{5}{4}$

Câu 5: Nếu $\cos x + \sin x = \frac{1}{2}$ và ${0^0} < x < {180^0}$ thì $\tan x{\rm{ = }} - \frac{{p + \sqrt q }}{3}$ với cặp số nguyên (p, q) là:

A. (–4; 7)

B. (4; 7)

C. (8; 14)

D. (8; 7)

Qua bài học này, các em cần nắm được những nội dung sau:

• Tính được giá trị lượng giác của một cung.
• Nắm được phương pháp giải một số dạng toán cơ bản liên quan.