Toán 8 Chương 3 Bài 2: Định lí đảo và hệ quả của định lí Ta-lét

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh một tam giác và định ra trên hai cạnh ấy những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác. 

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh còn lại của một của một tam giác và song song với các cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh còn lại của tam giác đã cho.

Tam giác \(ABC\) có \(AB=6cm\); \(AC=9cm\).

Lấy trên cạnh \(AB\) điểm \(B'\), trên cạnh \(AC\) điểm \(C'\) sao cho \(AB'=2cm\); \(AC'=3cm\) (h8)

1) So sánh các tỉ số \(\dfrac{{AB'}}{{AB}}\) và \(\dfrac{{AC'}}{{AC}}\).

2) Vẽ đường thẳng \(a\) đi qua \(B'\) và song song với \(BC\), đường thẳng \(a\) cắt \(AC\) tại điểm \(C''\).

a) Tính độ dài đoạn thẳng \(AC''\).

b) Có nhận xét gì về \(C'\) và \(C''\) và về hai đường thẳng \(BC\) và \(B'C'\)?

Hướng dẫn giải

1)

\(\begin{array}{l}\dfrac{{AB'}}{{AB}} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\\\dfrac{{AC'}}{{AC}} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}\\ \Rightarrow \dfrac{{AB'}}{{AB}} = \dfrac{{AC'}}{{AC}}\end{array}\)

2)

a) Vì \(B'C''//BC\) , theo định lí Ta-lét ta có:

\(\dfrac{{AB'}}{{AB}} = \dfrac{{AC''}}{{AC}} = \dfrac{1}{3}\)

\( \Rightarrow AC'' = \dfrac{1}{3}AC = \dfrac{1}{3}.9 = 3\,cm\)

b) Ta có: \(AC' = AC'' = 3\,cm \Rightarrow C' \equiv C''\)

Do \(C' \equiv C'' \Rightarrow B'C' \equiv B'C''\)  nên \(B'C'//BC\)

Quan sát hình 9.

a) Trong hình đã cho có bao nhiêu cặp đường thẳng song song với nhau?

b) Tứ giác \(BDEF\) là hình gì?

c) So sánh các tỉ số \(\dfrac{{AD}}{{AB}};\dfrac{{AE}}{{AC}};\dfrac{{DE}}{{BC}}\) và cho nhận xét về mối liên hệ giữa các cặp cạnh tương ứng của hai tam giác \(ADE\) và \(ABC\).

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{AD}}{{AB}} = \dfrac{3}{{3 + 6}} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}\\\dfrac{{AE}}{{AC}} = \dfrac{5}{{5 + 10}} = \dfrac{5}{{15}} = \dfrac{1}{3}\\ \Rightarrow \dfrac{{AD}}{{AB}} = \dfrac{{AE}}{{AC}}\end{array}\)

Theo định lí Ta- lét đảo thì \(DE//BC\)

\(\begin{array}{l}\dfrac{{CE}}{{CA}} = \dfrac{{10}}{{10 + 5}} = \dfrac{{10}}{{15}} = \dfrac{2}{3}\\\dfrac{{CF}}{{CB}} = \dfrac{{14}}{{14 + 7}} = \dfrac{{14}}{{21}} = \dfrac{2}{3}\\ \Rightarrow \dfrac{{CE}}{{CA}} = \dfrac{{CF}}{{CB}}\end{array}\)  

Theo định lí Ta-lét đảo thì \(EF//AB\)

Trong hình vẽ đã cho có 2 cặp đường thẳng song song với nhau.

b) Tứ giác \(BDEF\) có \(BD//EF;DE//BF\)  nên \(BDEF\) là hình bình hành.

c) Vì \(BDEF\) là hình bình hành nên \(DE = BF = 7\)  (Tính chất hình bình hành).

Ta có: \(\dfrac{{DE}}{{BC}} = \dfrac{7}{{7 + 14}} = \dfrac{1}{3}\)

Do đó: \(\dfrac{{AD}}{{AB}} = \dfrac{{AE}}{{AC}} = \dfrac{{DE}}{{BC}} = \dfrac{1}{3}\)

Nhận xét: Hai tam giác \(ADE\)  và \(ABC\)  có các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ.

Câu 1: Cho tam giác \(ABC\) có cạnh \(BC = a.\) Trên cạnh \(AB\) lấy các điểm \(D\) và \(E\) sao cho \(AD = DE = EB.\) Từ \(D, E\) kẻ các đường thẳng song song với \(BC\), cắt cạnh \(AC\) theo thứ tự tại \(M, N\) (h.5)

Tính theo \(a\) độ dài của các đoạn thẳng \(DM\) và \(EN.\)

Câu 2: Hình 7 cho biết tam giác \(ABC\) vuông tại \(A,\) \(MN // BC, AB = 24cm,\) \(AM = 16cm,\) \(AN = 12cm.\) Tính độ dài \(x, y\) của các đoạn thẳng \(NC\) và \(BC\). 

Câu 3: Hình thang \(ABCD\; (AB // CD)\) có hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại \(O\) (h.8).

Chứng minh rằng: \(OA.OD = OB.OC.\)

Câu 4: Cho hình thang \(ABCD \;(AB // CD)\). Đường thẳng song song với đáy \(AB\) cắt các cạnh bên và các đường chéo \(AD, BD, AC\) và \(BC\) theo thứ tự tại các điểm \(M, N, P, Q\) (h.9)

Chứng minh rằng \(MN = PQ.\)

Câu 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G.A',B', C' là trung điểm của BC,CA ,AB.Phát biểu nào sau đây sai.

A. GA và GN tỉ lệ với GA' và GB'

B. GA và GA' tỉ lệ với AC và B'C

C. GB' và GC' tỉ lệ với GB và GA

D. Đường cao AH của tam giác ABC và đường cao GD của tam giác GBC tỉ lệ với AA'và GA'.

Câu 2: Cho M và N là hai điểm lần lượt thuộc hai cạnh AB và AC của tam giác ABC.Biết MN=6cm,AM=3cm,MB=5cm,AC=16cm,Cn=10cm. Độ dài của cạnh là:

A. BC=10cm

B. BC=9cm

C. BC=16cm

D. Một kết quả khác 

Câu 3: Cho tam giác ABC,M và N là hai điểm lần lượt thuộc cạnh AB, AC.Biết AM=2cm,MB=5cm,AN=3,2cm,NC=8cm,BC=14cm.Độ dài đoạn thẳng MN là:

A. MN=5,6cm

B. MN=4cm

C. MN=8cm

D. MN=5,2cm

Câu 4: Tính x trong hình vẽ bên:

A. x=4,5

B. x=3

C. x=2

D. Cả 3 câu trên đều sai 

Câu 5: Cho các số liệu như hình, AF và CD được tính và có đáp số là:

A. 7,5 và 1,2

B. 3 và 1,85

C. 4,5 và 2

D. Cả 3 câu trên đều sai 

Qua bài học này, các em nắm được một số nội dung chính như sau:

• Nắm nội dung của định lý đảo của định lý Talet .
• Vận dụng định lý để xác định các cặp đường thẳng song song trong hinhg vẽ với số liệu đã cho
• Hiểu được cách chứng minh hệ quả của định lý Talét, đặc biệt là phải nắm được các trường hợp có thể xảy ra khi đường thẳng B’C’ song song với cạnh BC
• Qua mỗi hình vẽ HS viết được tỉ lệ thức hoặc dãy các tỉ số bằng nhau.1