Toán 10 Chương 1 Bài 1: Mệnh đề

a) Mệnh đề

• Mỗi mệnh đề là một câu khẳng định hoặc đúng hoặc sai.

• Một mệnh đề không thể vừa đúng, vừa sai.

• Một câu khẳng định đúng gọi là mệnh đề đúng. Một câu khẳng định sai gọi là mệnh đề sai. 

Ví dụ:

"Số 4 là số hợp số" là một mệnh đề đúng.

27 không chia hết cho 9 là mệnh đề sai.

b) Mệnh đề chứa biến

Ví dụ: Xét các câu:

(a): “x + 1 = 2”

(b): “n là số tự nhiên”

Hãy tìm hai giá trị của x, n để (a), (b) nhận được một mệnh đề đúng và một mệnh sai.

Câu (a) và (b) là những ví dụ về mệnh đề chứa biến.

- Kí hiệu mệnh đề phủ định của mệnh đề P là \(\overline P \), ta có :

\(\overline P \) đúng khi P sai.

\(\overline P \) sai khi P đúng.

Ví dụ:

- Cho mệnh đề P: “\(\pi \) là một số nguyên”. Ta có: \(\overline P :\) “\(\pi \) không là một số nguyên”.

- Cho mệnh đề Q: “Trong một tam giác, cạnh đối diện góc lớn hơn thì lớn hơn”.

- Ta có: \(\overline Q :\) “Trong một tam giác, cạnh đối diện góc lớn hơn thì bé hơn”.

Ví dụ: Hãy xét dạng của mệnh đề “Nếu gió mùa đông Bắc về thì trời trở lạnh”.

- Mệnh đề “Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo và kí hiệu là \(P \Rightarrow Q\).

- Mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) chỉ sai khi P đúng Q sai.

- Các mệnh đề toán học thường có dạng \(P \Rightarrow Q\)

• P là giả thiết, Q là kết luận của định lí.

• Hoặc P là điều kiện đủ để có Q, hoặc Q là điều kiện cần để có P.

Ví dụ: Cho mệnh đề: “Nếu tam giác ABC có ba cạnh bằng nhau thì tam giác ABC là một tam giác đều”.

• GT: Tam giác ABC có ba cạnh bằng nhau.

• KL: ABC là một tam giác đều.

Ví dụ: Cho số thực x. Xét:

P: “ x là một số hữu tỉ”.

Q: “2x là một số hữu tỉ”.

a) Phát biểu mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) và \(Q \Rightarrow P\).

b) Xét tính đúng sai của hai mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) và \(Q \Rightarrow P\).

Ta có:

• \(P \Rightarrow Q\): “Nếu x là một số hữu tỉ thì 2x là một số hữu tỉ”. (Đúng)
• \(Q \Rightarrow P\): “Nếu 2x là một số hữu tỉ thì x là một số hữu tỉ”. (Đúng)

Định nghĩa:

• Mệnh đề \(Q \Rightarrow P\) được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề \(P \Rightarrow Q\).

• Nếu cả hai mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) và \(Q \Rightarrow P\) đều đúng thì ta nói P và Q là hai mệnh đề tương đương và kí hiệu \(P \Leftrightarrow Q\).

Cách đọc:

• P tương đương Q

• P là điều kiện cần và đủ để có Q

Ví dụ: Cho các mệnh đề sau:

 P: “Mọi số chẵn đề chia hết cho 2”.

 Q: “Có một số hữu tỷ nhỏ hơn nghịch đảo của nó”.

Hãy phát biểu mệnh đề phủ định của các mệnh đề trên. Xét tính đúng sai của các mệnh đề P, Q, \(\overline P \), \(\overline Q \).

Ta có:

• \(\overline P :\) “Có một số chẵn không chia hết cho 2”.
• \(\overline Q :\)  “Mọi số hữu tỷ đều lớn hơn hoặc bằng nghịch đảo của nó”.
• P đúng, \(\overline P \) sai
• Q đúng, \(\overline Q \) sai, chẳng hạn \(\frac{1}{3} < 3\).

- Kí hiệu \(\forall \) đọc là “với mọi”.

- Kí hiệu \(\exists \) đọc là “có một” (tồn tại một) hay “có ít nhất một”.

Nhận xét:

• Mệnh đề phủ định của \(''\forall x \in X,P(x)''\) là \(''\exists x \in X,\overline {P(x)} ''.\)

• Mệnh đề phủ định của \(''\exists x \in X,P(x)''\)là \(''\forall x \in X,\overline {P(x)} ''.\)

Ví dụ:

Mệnh đề P: “\(\exists n \in \mathbb{N}:{n^2} = n\)”

Tồn tại số tự nhiên n mà bình phương của nó bằng chính nó.

Với mọi số nguyên:

Mệnh đề Q: “\(\forall x \in \mathbb{Z}:{x^2} = x\)”

Bình phương của mọi số nguyên x đều bằng chính nó.

Câu 1: Xét xem các phát biểu sau có phải là mệnh đề không? Nếu là mệnh đề thì cho biết đó là mệnh đề đúng hay sai?

a) \(\sqrt 3 \) không là số nguyên.

b) Trong Quốc là một nước thuộc châu Á phải kh?

c) Phương trình \({x^2} -4x + 3 = 0\) vô nghiệm.

d) Con chó kia đáng yêu quá!

e) 2x + 3 là một số dương.

f) Nếu n là số lẻ thì n chia hết cho 3.

g) Nếu n chia hết cho 2 thì n là số chẵn.

Hướng dẫn giải

a) Đây là mệnh đề đúng.

b) Đây là câu hỏi, không phải là mệnh đề.

c) Đây là mệnh đề sai vì phương trình có nghiệm x=1.

d) Đây là câu cảm thán, không phải là mệnh đề.

e) Đây là mệnh đề sai vì tồn tại x= -2 thì 2x + 3 = -1 là số âm.

f) Đây là mệnh đề sai vì n=1 là số lẻ nhưng không chia hết cho 3.

g) Đây là mệnh đề đúng.

Câu 2: Tìm mệnh đề đảo của các mệnh đề sau và cho biết mệnh đề đảo này đúng hay sai: “Nếu đường thẳng song song thì hai đường thẳng đó không có điểm chung”.

Hướng dẫn giải

Mệnh đề đã cho có dạng: \(P \Rightarrow Q\) trong đó P là “hai đường thẳng song song”, Q là “hai đường thẳng không có điểm chung”. Vậy mệnh đề đảo là: “Nếu hai đường thẳng không có điểm chung thì hai đường thẳng đó song song”. Mệnh đề này đúng.

Câu 1: Xét xem các phát biểu sau có phải là mệnh đề không? Nếu là mệnh đề thì cho biết đó là mệnh đề đúng hay sai?

a) \({x^2} + 2x + 2\) là một số âm.

b) Nếu n là số chẵn thì n chia hết cho 2.

c) Nếu n chia hết cho 8 thì n là số chẵn.

d) n là số lẻ nếu và chỉ nếu \(n^2\) chia hết cho 3.

Câu 2: Tìm mệnh đề đảo của các mệnh đề sau và cho biết mệnh đề đảo này đúng hay sai: “Tam giác cân có một góc bằng 60 độ là tam giác đều”.

Câu 3: Tìm mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau và cho biết chúng đúng hay sai.

a) \(P = ''\forall x \in R,{x^2} \ge 0''.\)

b) Q = “Có một tứ giác không có góc nào nhỏ hơn ”.

Câu 1: Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Hai tam giác có diện tích bằng nhau thì bằng nhau.

B. Hai tam giác bằng nhau thì có diện tích bằng nhau.

C. Tam giác có ba cạnh bằng nhau thì có ba góc bằng nhau. 

D. Tam giác có ba góc bằng nhau thì có ba cạnh bằng nhau.

Câu 2: Mệnh đề nào sau đây đúng? 

A. \(\exists n \in N,n < 0\)

B. \(\exists n \in Q,{x^2} = 2\)

C. \(\forall x \in R,{x^2} - x + 1 > 0\)

D. \(\forall x \in Z,\frac{1}{x} > 0\)

Câu 3: Mệnh đề \(\forall x \in R,{x^2} - 2 + a > 0\) với a là số thực cho trước. Tìm a để mệnh đề đúng

A. a < 2

B. \(a\le2\)

C. a = 2

D. a > 2

Câu 4: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?

A. \(\forall x \in \mathbb{N}:\) x chia hết cho 3

B. \(\exists x \in \mathbb{R}:{x^2} < 0\)

C. \(\forall x \in \mathbb{R}:{x^2} > 0\)

D. \(\exists x \in \mathbb{R}:x > {x^2}\)

Câu 5: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Một tam giác là tam giá vuông khi và chỉ khi nó có một góc bằng tổng hai góc còn lại.

B. Một tam giác là tam giác đều khi và chỉ khi nó có hai trung tuyến bằng nhau và có một góc bằng \({60^0}.\)

C. Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng đồng dạng và có một cạnh bằng nhau.

D. Tứ giác là hình chữ nhật khi và chỉ kho nó có 3 góc vuông.

Qua bài học này, các em cần đạt được những mục tiêu sau:

• Nắm được nội dung cơ bản nhất về khái niệm cơ bản nhất của mệnh đề.
• Xác định được các mệnh đề đảo, mệnh đề phủ định của một mệnh đề.